Прогнозирование производительности труда на основетрендовых моделей

                               (1.15)

     где [] – целая часть числа, то с 5%-ым уровнем значимости гипотеза принимается. K0 определяется в зависимости от n: 

     Таблица 3

     Зависимость параметра K₀ от  n

     

     - если хотя бы одно из этих неравенств нарушается, то гипотеза о наличии тенденции во временном ряду yt отвергается. 

     Критерий  серий

     Технология  использования критерия серий:

     1) уровни временного ряда  расположить по возрастанию и найти выборочную медиану y_med ряда:

                      (1.16)

     2) сравнить каждое значение ряда yt с ymed и сформировать последовательность St, состоящую из знаков «+» и «-» по правилу:

                  (1.17)

     3) выделить серии. Серией называется  последовательность подряд идущих знаков «+» или «–». Подсчитать Kmax (протяженность самой длинной серии) и V (общее число серий);

     4) проверить выполнение гипотезы:

     - если следующие неравенства верны

      ,                                (1.18)

     где [] – целая часть числа, то с 5%-ым уровнем значимости гипотеза принимается;

     - если хотя бы одно из этих неравенств нарушается, то гипотеза о наличии тенденции во временном ряду yt отвергается. 

     Методы  механического сглаживания:

     Метод простой скользящей средней

     Для вычисления сглаженных уровней ряда при нечетном значении интервала сглаживания применяется формула:

                               (1.19)

     В случае четного значения интервала  сглаживание осуществляется по формуле: 

                   (1.20)

     В результате использования метода простой  скользящей средней получается n-m+1 сглаженных значений уровней ряда; при этом первые p и последние p уровней ряда теряются (не сглаживаются). 

     Метод взвешенной скользящей средней

     Метод взвешенной скользящей средней отличается от предыдущего метода сглаживания тем, что уровни, входящие в интервал сглаживания, суммируются с разными весами. Используется формула средней арифметической взвешенной:

                                                       (1.21)

     Значения  весовых коэффициентов для различных  длин отрезков m и порядка полинома приведены в таблице.

     Таблица 4

     Значение  некоторых весовых коэффициентов формуле метода скользящего среднего

       

     Метод экспоненциального  сглаживания

     Сглаживание уровней ряда осуществляется по формуле:

                                 (1.22)

     где - параметр сглаживания (0 < <1) . Величина (1- ) называется коэффициентом дисконтирования.

     При вычислении начальное значение параметра принимается либо равным значению уровня ряда y₁, либо равным средней арифметической нескольких первых членов ряда, например, y1, y2, y3:

                                              (1.23) 
 

     Обоснование выбора уравнения  тренда и оценивание его параметров

     Выбор функции может быть осуществлен  несколькими способами:

     логический  анализ явления (процесса); визуальный анализ уровней  ряда;

     формальный  анализ ретроспективного ряда динамики.

     Содержание логического анализа сводится к тому, чтобы понять природу динамики изучаемого явления (процесса). При проведении этого этапа стараются получить ответы на следующие вопросы:

     - Каковы темпы развития процесса? В каком направлении пойдет развитие процесса в будущем?

     - Возможно ли изменение темпов в периоде упреждения прогноза?

     - Следует ли ожидать в развитии процесса скачкообразного изменения?

     - Могут ли возникнуть точки перегиба?

     - Существуют ли пределы развития экономического явления?

     При визуальном анализе строят график, характеризующий изменение показателя в периоде предыстории, и сопоставляют этот график с графиками выбранного класса функций.

     При формальном анализа выбор функции тренда может быть осуществлен в ходе анализа цепных абсолютных приростов уровней ряда (первых разностей ), абсолютных ускорений, уровней ряда (вторых разностей ), цепных коэффициентов роста ( ). Если примерно одинаковы , ряд имеет линейный тренд; если же примерно постоянны , то для описания тенденции следует выбрать параболу второго порядка; если примерно равны Kt, следует использовать экспоненциальную или степенную функцию.

     Одним из методов определения порядка  полинома является метод последовательных разностей. 

     Метод последовательных разностей

     Последовательно для k = 1, 2, … вычислить разности : 

                             (1.24)

     Поведение разностей анализируется в зависимости  от их порядка k.

     Если, начиная с некоторого k, разности стабилизируются, оставаясь приблизительно на одном уровне при дальнейшем росте k, это значение k и будет давать порядок сглаживающего полинома, то есть p. 

     Оценка  параметров уравнения тренда методом наименьших квадратов

     Для оценки параметров модели a₀, a₁,… чаще всего используется метод наименьших квадратов (МНК). Идея МНК заключается в том, чтобы определить вид функции в наибольшей степени соответствующей эмпирическим данным. Такая кривая должна обеспечить наименьшее значение суммы

                                      (1.25)

     Таким образом, меняя вид теоретических  кривых , подбирают наименьшее значение S .

     При этом следует иметь в виду, что  МНК применим лишь в случае линейной зависимости функции и параметров. В том случае, когда во временных рядах проявляются тренды, описываемые функциями, нелинейными по параметрам, их оценка проводится с помощью МНК после линерализующих преобразований или нелинейного МНК. Наиболее часто при прогнозировании социально-экономических явлений, имеющих тенденцию, применяют три вида функций: полиномиальные, экспоненциальные, S – образные.

     Рассмотрим  типы функций, наиболее часто используемые для выравнивания экономических временных рядов.

     Полиномиальные  функции различных порядков имеют следующий вид:

                                               (1.26)

     где p – порядок полинома.

     Из  полиномиальных функций в экономике  чаще всего используют полиномы первой, второй и третьей степени:

                                (1.27)

     Параметры указанных полиномов имеют экономическую интерпретацию. Параметр a₀ характеризует уровень ряда при 0 = t ,

     параметр a₁ – средний прирост, параметр 2 a₂ – скорость изменения

     среднего  прироста, параметр a₃ – изменение ускорения роста.

     Простая экспонента

                                                    (1.28)

     преобразуется к линейному виду

      .                                         (1.29)

     Степенная функция

                                                                              (1.30)

     преобразуется к линейному виду

      .                                     (1.31)

     Логарифмическая функция

                                                (1.32)

     S-образная  кривая

                                                  (1.33)

     приводится  к виду

                                        (1.34) 

     Прогнозирование уровней временного ряда