Автор работы: Пользователь скрыл имя, 18 Марта 2013 в 12:35, контрольная работа
Верхняя цена игры равна -1.
Так как верхняя цена игры не равна нижней цене игры, следовательно, оптимальное решение в чистых стратегиях не найдено. Необходимо искать решение в смешанных стратегиях.
Цена игры v: -5 v -1.
Необходимо ко всем элементам матрицы прибавить число, равное по модулю наименьшему элементу матрицы, т.е. 6 . Тогда, цена исходной игры v = v1 -6, где v1 - цена игры получившейся матрицы.
X 3 = (1/41, 8/41, 0, 0, 0, 0, 0)
Значение функции L для данного решения: L (X 3) = 9/41 |
L = |
9/41 |
-2/41 x3 |
-3/41 x4 |
-24/41 x5 |
-5/41 x6 |
-4/41 x7 |
Учитывая, что все x i 0 по условию задачи, наибольшее значение функции равно свободному члену 9/41. |
x1 = 1/41 |
x2 = 8/41 |
x3 = 0 |
x4 = 0 |
x5 = 0 |
Решение задачи: |
y1 = 5/41 |
y2 = 4/41 |
Максимальное значение функции прямой задачи равно минимальному значению функции двойственной задачи. |
Lmax = 9/41 , Fmin = 9/41 |
Найдем цену игры v1 . |
v1 = 1 / Fmax = 1 / Lmin = 41/9 |
Следовательно, цена исходной игры равна : |
v = v1 - 6 = 41/9 - 6 = -13/9. |
Оптимальное решение игры. |
p*1 = y1 * v1 = 5/41 * 41/9 = 5/9 |
p*2 = y2 * v1 = 4/41 * 41/9 = 4/9 |
q*1 = x1 * v1 = 1/41 * 41/9 = 1/9 |
q*2 = x2 * v1 = 8/41 * 41/9 = 8/9 |
q*3 = x3 * v1 = 0 * 41/9 = 0 |
q*4 = x4 * v1 = 0 * 41/9 = 0 |
q*5 = x5 * v1 = 0 * 41/9 = 0 |
Ответ: |
P* = (5/9, 4/9) |
Q* = (1/9, 8/9, 0, 0, 0) |
Цена игры v = -13/9. |
Проигрыш игрока А составит 13/9 ден.ед. |
Выигрыш игрока В составит 13/9 ден.ед. |
Игрок А: |
использует стратегию A1 на 55,56% |
использует стратегию A2 на 44.44% |
Игрок B: |
использует стратегию B1 на 11.11% |
использует стратегию B2 на 88.89% |
использует стратегии B3, B4, B5 на 0 %
|
Задача 2.
Количество чистых стратегий игрока А равно 5 . Количество чистых стратегий игрока В равно 2 . |
Стратегии игрока B |
Минимальный элемент в строке | |||
B1 |
B2 | |||
Стратегии игрока A |
A1 |
0 |
-6 |
-6 |
A2 |
-1 |
-3 |
-3 | |
A3 |
4 |
-7 |
-7 | |
A4 |
-4 |
5 |
-4 | |
A5 |
-7 |
9 |
-7 | |
Нижняя цена игры равна -3. |
Стратегии игрока B |
Минимальный элемент в строке | |||
B1 |
B2 | |||
Стратегии игрока A |
A1 |
0 |
-6 |
-6 |
A2 |
-1 |
-3 |
-3 | |
A3 |
4 |
-7 |
-7 | |
A4 |
-4 |
5 |
-4 | |
A5 |
-7 |
9 |
-7 | |
Максимальный элемент в столбце |
4 |
9 |
||
Верхняя цена игры равна 4. |
Так как верхняя цена игры не равна нижней цене игры, следовательно, оптимальное решение не найдено. Необходимо искать решение в смешанных стратегиях. Цена игры: -3 v 4. Необходимо ко всем элементам матрицы прибавить число, равное по модулю наименьшему элементу матрицы, т.е. 7. Тогда, цена исходной игры v = v1 -7, где v1 - цена игры получившийся матрицы.
Смешанную стратегию первого игрока обозначим как P=(p1, p2, p3, p4, p5), где p1 + p2 + p3 + p4 + p5 = 1 и p1 , p2 , p3 , p4 , p5 0 Смешанную стратегию второго игрока обозначим как Q=(q1, q2) , где q1 + q2 = 1 и q1 , q2 0 Если P* = ( p*1 , p*2 , p*3 , p*4 , p*5 ) и Q* = ( q*1 , q*2 ) являются оптимальным решением, то должны выполняться две следующие системы неравенств: | ||||||||||||||||||||||
|
7 p*1 |
+ 6 p*2 |
+ 11 p*3 |
+ 3 p*4 |
v1 | ||
p*1 |
+ 4 p*2 |
+ 12 p*4 |
+ 16 p*5 |
v1 |
|
7 q*1 |
+ q*2 |
v1 | |
6 q*1 |
+ 4 q*2 |
v1 | ||
11 q*1 |
v1 | |||
3 q*1 |
+ 12 q*2 |
v1 | ||
16 q*2 |
v1 |
Разделим почленно первую систему на v1 (цену игры). |
Введем новые обозначения: |
y1 = p*1 / v1 , y2 = p*2 / v1 , y3 = p*3 / v1 , y4 = p*4 / v1 , y5 = p*5 / v1 |
Рассмотрим сумму: |
y1 + y2 + y3 + y4 + y5 = p*1 / v1 + p*2 / v1 + p*3 / v1 + p*4 / v1 + p*5 / v1 = 1/v1 * ( p*1 + p*2 + p*3 + p*4 + p*5 ) = 1/v1 |
|
Выражение 1/v1 будет стремиться к минимуму. |
Требуется найти минимум линейной функции F = y1 + y2 + y3 + y4 + y5 при следующей системе ограничений: |
|
7 y1 |
+ 6 y2 |
+ 11 y3 |
+ 3 y4 |
1 | ||
y1 |
+ 4 y2 |
+ 12 y4 |
+ 16 y5 |
1 |
Разделим почленно вторую систему на v1 (цену игры). |
Введем новые обозначения: |
x1 = q*1 / v1 , x2 = q*2 / v1 |
Рассмотрим сумму: |
x1 + x2 = q*1 / v1 + q*2 / v1 = 1/v1 * ( q*1 + q*2 ) = 1/v1 |
|
Выражение 1/v1 будет стремиться к максимуму. |
Требуется найти максимум линейной функции L = x1 + x2 при следующей системе ограничений: |
|
7 x1 |
+ x2 |
1 | |
6 x1 |
+ 4 x2 |
1 | ||
11 x1 |
1 | |||
3 x1 |
+ 12 x2 |
1 | ||
16 x2 |
1 |
|
Полученные задачи являются парой симметричных взаимно двойственных задач. Решив одну из них, мы автоматически получим решение второй. |
К левой части неравенства 1 системы ограничений прибавляем неотрицательную переменную x3 , тем самым мы преобразуем неравенство 1 в равенство. |
К левой части неравенства 2 системы ограничений прибавляем неотрицательную переменную x4 , тем самым мы преобразуем неравенство 2 в равенство. |
К левой части неравенства 3 системы ограничений прибавляем неотрицательную переменную x5 , тем самым мы преобразуем неравенство 3 в равенство. |