Таким образом вычисление определителя 4-го порядка сведено к вычислению только одного определителя 3-го порядка:

     Пусть теперь D — определитель 5-го порядка: 

      Предположим, что мы решили разложить его по первому столбцу. Можно поступить следующим образом. Оставим первую строку без изменений. Вторую строку умножим на 3 и прибавим к ней первую, умноженную на –2. При этом обязательно за знак определителя выносится множитель (см. свойство 3). Вместо третьей строки пишем сумму третьей и умноженной на первой. Четвертую строку умножаем на 3 и прибавляем первую, умноженную на –4, опять вынося множитель за знак определителя. Пятую строку умножаем на 3, прибавляем к ней первую, умноженную на –5 и опять выносим за знак определителя. Теперь получим

Теперь вычисление определителя 5-го порядка сведено к вычислению только одного определителя 4-го порядка.

      Таким образом, пользуясь свойствами определителя и методом Лапласа, можно вычисление определителя n-го порядка свести к вычислению лишь одного определителя порядка n – 1.

§5. Вычисление обратной матрицы

      Пусть A = (a_ij) – квадратная матрица с определителем, не равным нулю. Тогда существует обратная матрица A^–1, которая вычисляется по формуле

       .

      Последняя формула означает, что в i-й строке и j-м столбце обратной матрицы располагается алгебраическое дополнение элемента, стоящего в j-й строке и в i-м столбце исходной матрицы, деленное на определитель исходной матрицы.

      Напомним здесь, что A_pq = (–1)^p+qM_pq, где M_pq называется минором и представляет собой определитель, получающийся из определителя detA вычеркиванием p-й строки и q-го столбца.

      Рассмотрим пример:

             .

      Еще раз подчеркнем, что обратная матрица существует только для квадратной матрицы с определителем, отличным от нуля!

§6. Правило Крамера решения квадратных систем линейных уравнений.

      Пусть мы имеем квадратную систему линейных уравнений:

       .

      Ее можно записать в матричной форме:

            AX = B,

где

       .

      Если определитель матрицы A не равен нулю, то система имеет единственное решение, определяемое формулами:

      Здесь D_i – определитель n-го порядка, получающийся из определителя D матрицы A коэффициентов системы заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

      Например,

      Отметим, что если определитель матрицы А коэффициентов квадратной системы линейных уравнений равен нулю, то возможен один из двух случаев: либо система несовместна, либо она совместна и неопределенна.