Глава 1. Начала линейной алгебры

§ 1. Системы линейных уравнений

      Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде:

  . (1)

      Здесь x₁, x₂, ¼, x_n – неизвестные величины, a_ij (i = 1,2, ¼, m; 
j =1, 2, ¼, n) – числа, называемые коэффициентами системы (первый индекс фиксирует номер уравнения, второй — номер неизвестной), b₁, b₂, ¼, b_m –числа, называемые свободными членами.

      Решением системы будем называть упорядоченный набор чисел x₁, x₂, ¼, x_n, обращающий каждое уравнение системы в верное равенство.

      Решить  систему — значит найти все ее решения или доказать, что ни одного решения нет.

      Система, имеющая решение, называется совместной.

      Если  система имеет только одно решение, то она называется определенной. Система, имеющая более чем одно решение, называется неопределенной (совместной и неопределенной).

      Если  система не имеет решений, то она  называется несовместной.

      Система, у которой все свободные члены  равны нулю 
(b₁ = b₂ =¼= b_n = 0), называется однородной. Однородная система всегда совместна, так как набор из n нулей удовлетворяет любому уравнению такой системы.

      Если  число уравнений системы совпадает  с числом неизвестных (m=n), то система называется квадратной.

      Две системы, множества решений которых совпадают, называются эквивалентными или равносильными (совпадение множеств решений означает, что каждое решение первой системы является решением второй системы, и каждое решение второй системы является решением первой).

      Две несовместные системы считаются эквивалентными.

      Преобразование, применение которого превращает систему  в новую систему, эквивалентную  исходной, называется эквивалентным или равносильным преобразованием. Примерами эквивалентных преобразований могут служить следующие преобразования: перестановка местами двух уравнений системы, перестановка местами двух неизвестных вместе с коэффициентами у всех уравнений, умножение обеих частей какого-либо уравнения системы на отличное от нуля число.

§ 2. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

      Рассмотрим  квадратную систему

       . (1)

У этой системы коэффициент a₁₁ отличен от нуля. Если бы это условие не выполнялось, то чтобы его получить, нужно было бы переставить местами уравнения, поставив первым то уравнение, у которого коэффициент при x₁ не равен нулю.

      Проведем  следующие преобразования системы:

      1) поскольку a₁₁¹0, первое уравнение оставим без изменений;

      2) вместо второго уравнения запишем уравнение, получающееся, если из второго уравнения вычесть первое, умноженное на 4;

      3) вместо третьего уравнения запишем разность третьего и первого, умноженного на 3;

      4) вместо четвертого уравнения запишем разность четвертого и первого, умноженного на 5.

      Полученная  новая система эквивалентна исходной и имеет во всех уравнениях, кроме  первого, нулевые коэффициенты при x₁ (это и являлось целью преобразований 1 – 4):

       . (2)

      Можно доказать, что замена любого уравнения системы новым, получающимся прибавлением к данному уравнению любого другого уравнения системы, умноженного на любое число, является эквивалентным преобразованием системы.

      Для приведенного преобразования и для  всех дальнейших преобразований не следует  целиком переписывать всю систему, как это только что сделано. Исходную систему можно представить в  виде таблицы

       . (3)

      Прямоугольную таблицу, состоящую из p строк и q столбцов, будем называть матрицей размера p´q:

       .

      Числа a_ij называются элементами матрицы. Первый индекс фиксирует номер строки, а второй – номер столбца, в которых стоит данный элемент. Если p = q, то есть число столбцов матрицы равно числу строк, то матрица называется квадратной. Элементы a_ii образуют главную диагональ матрицы.

      Матрица (3) называется расширенной матрицей для исходной системы уравнений. Если из расширенной матрицы удалить столбец свободных членов, то получится матрица коэффициентов системы, которую иногда называют просто матрицей системы.

      Очевидно, что матрица коэффициентов квадратной системы является квадратной матрицей.

      Каждую  систему m линейных уравнений с n неизвестными можно представить в виде расширенной матрицы, содержащей m строк и n+1 столбцов. Каждую матрицу можно считать расширенной матрицей или матрицей коэффициентов некоторой системы линейных уравнений. Системе (2) соответствует расширенная матрица

       .

      Преобразуем эту матрицу следующим образом:

      1) первые две строки оставим без изменения, поскольку элемент a₂₂ не равен нулю;

      2) вместо третьей строки запишем разность между второй строкой и удвоенной третьей;

      3) четвертую строку заменим разностью между удвоенной второй строкой и умноженной на 5 четвертой.

      В результате получится матрица, соответствующая  системе, у которой неизвестная  x₁ исключена из всех уравнений, кроме первого, а неизвестная x₂ — из всех уравнений кроме первого и второго:

       .

Теперь  исключим  неизвестную x₃ из четвертого уравнения. Для этого последнюю матрицу преобразуем так:

      1) первые три строки оставим без изменения, так как a₃₃ ¹ 0;

      2) четвертую строку заменим разностью между третьей, умноженной на 39, и четвертой:

       .

      Полученная  матрица соответствует системе

       . (4)

Из последнего уравнения этой системы получаем x₄ = 2. Подставив это значение в третье уравнение, получим x₃ = 3. Теперь из второго уравнения следует, что x₂ = 1, а из первого — x₁ = –1. Очевидно, что полученное решение единственно (так как единственным образом определяется значение x₄, затем x₃ и т. д.).

      Назовем элементарными преобразованиями матрицы  следующие преобразования:

      1) перемена местами двух строк;

      2) умножение строки на число,  отличное от нуля;

      3) замена строки матрицы суммой этой строки с любой другой строкой, умноженной на некоторое число.

      Если  матрица A является расширенной матрицей некоторой системы, и путем ряда элементарных преобразований матрица A переводится в матрицу B, являющуюся расширенной матрицей некоторой другой системы, то эти системы эквивалентны.

      Назовем квадратную матрицу, у которой на главной диагонали стоят числа, отличные от нуля, а под главной диагональю – нули, треугольной матрицей. Матрица коэффициентов системы (4) – треугольная матрица.

      Если  с помощью элементарных преобразований матрицу  коэффициентов квадратной системы можно  привести к треугольной  матрице, то система  совместна и определенна.

      Рассмотрим  другой пример:

       . (5)

Проведем  следующие преобразования расширенной  матрицы системы:

      1) первую строку оставим без  изменения;

      2) вместо второй строки запишем разность между второй строкой и удвоенной первой;

      3) вместо третьей строки запишем разность между третьей строкой и утроенной первой;

      4) четвертую строку заменим разностью  между четвертой и первой;

      5) пятую строку заменим разностью  пятой строки и удвоенной первой.

      В результате преобразований получим  матрицу

       .

Оставив без изменения первые две строки этой матрицы, приведем ее элементарными  преобразованиями к следующему виду:

       .

Если  теперь, следуя методу Гаусса, который  также называют и методом последовательного  исключения неизвестных, с помощью третьей строки привести к нулю коэффициенты при x₃ в четвертой и пятой строках, то после деления всех элементов второй строки на 5 и деления всех элементов третьей строки на 2 получим матрицу

.

Каждая  из двух последних строк этой матрицы соответствует уравнению 0x₁+0x₂+0x₃+0x₄+0x₅ = 0. Это уравнение удовлетворяется любым набором чисел x₁, x₂, ¼, x₅, и его следует удалить из системы. Таким образом, система с только что полученной расширенной матрицей эквивалентна системе с расширенной матрицей вида

       . (6)

Последняя строка этой матрицы соответствует  уравнению  
x₃ – 2x₄ + 3x₅ = –4. Если неизвестным x₄ и x₅ придать произвольные значения: x₄ = r; x₅ = s, то из последнего уравнения системы, соответствующей матрице (6), получим x₃ = –4 + 2r – 3s. Подставив выражения x₃, x₄, и x₅ во второе уравнение той же системы, получим x₂ = –3 + 2r – 2s. Теперь из первого уравнения можно получить x₁ = 4 – r + s. Окончательно решение системы представляется в виде

       .

      Рассмотрим  прямоугольную матрицу A, у которой число столбцов m больше, чем число строк n. Если матрицу A можно разделить вертикальной чертой на две матрицы: стоящую слева треугольную матрицу размера m и стоящую справа прямоугольную матрицу, то матрицу A назовем трапециевидной или трапецеидальной. Очевидно, что матрица (6) — трапециевидная матрица.

      Если  при применении эквивалентных преобразований к системе уравнений хотя бы одно уравнение приводится к виду

            0x₁ + 0x₂ + ¼0x_n = b_j  (b_j ¹ 0),

то система  несовместна или противоречива, так как ни один набор чисел  x₁, x₂, ¼, x_n не удовлетворяет этому уравнению.

      Если  при преобразовании расширенной  матрицы системы матрица коэффициентов  приводится к трапецеидальному виду и при этом система не получается противоречивой, то система совместна и является неопределенной, то есть имеет бесконечно много решений.

      В последней системе можно получить все решения, придавая конкретные числовые значения параметрам r и s.

      Те  переменные, коэффициенты при которых  стоят на главной диагонали трапецеидальной матрицы (это значит, что эти коэффициенты отличны от нуля), называются базисными. В рассмотренном выше примере это неизвестные x₁, x₂, x₃. Остальные неизвестные называются свободными. В рассмотренном выше примере это неизвестные x₄, и x₅. Свободным неизвестным можно придавать любые значения или выражать их через параметры, как это сделано в последнем примере.