Конспект лекций по "Линейной алгебре"

      Дадим определение определителя

квадратной матрицы n-го порядка или просто определителя n-го порядка. (В дальнейшем, принимая во внимание введённое обозначение, под элементами, строками и столбцами определителя матрицы будем подразумевать элементы, строки и столбцы этой матрицы.)

      Сформулируем понятие n! (читается эн факториал): если n – натуральное (целое положительное) число, то n! – это произведение всех натуральных чисел от 1 до n.

      n! = 1×2×3×¼×(n – 1) n.

      Например,

      5! = 1×2×3×4×5 = 120.

      Замечание: в некоторых книгах вместо термина "определитель" используется термин "детерминант" и определитель матрицы A обозначается detA.

      Определителем n-го порядка называется сумма n! слагаемых. Каждое слагаемое представляет собой произведение n элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца определителя² . (Произведения отличаются одно от другого набором элементов.) Перед каждым произведением ставится

знак "+" или "-". Покажем, как  определить, какой нужно ставить знак перед

произведением.

      Так как в каждом произведении присутствует один элемент из 1-й строки, один элемент из 2-ой и т.д., то произведение в общем виде можно записать так:

      a_1i×a_2j×a_3k×¼×a_ns.

      Здесь  i, j, k, ¼, s – номера столбцов, в которых стоят элементы, выбранные из 1-й, 2-й, 3-й, ... n-й строк, соответственно. Ясно из сказанного выше, что каждое из чисел i, j, k, ¼, s равно какому-либо из чисел 1, 2, ..., n, и что все числа i, j, k, ¼, s – различные.

      Расположенные в данном порядке

      i, j, k, ¼, s,

эти числа образуют "перестановку" из чисел 1, 2, ..., n (перестановкой называется заданный порядок в конечном множестве).

      Взаимное расположение двух чисел в перестановке, когда большее стоит впереди меньшего называется инверсией. Например, в перестановке три инверсии; в перестановке – шесть инверсий.

      Перестановка называется четной, если в ней четное число инверсий и нечетной, если число инверсий нечетное.

      Теперь можно сформулировать правило: произведение a_1i×a_2j×a_3k×¼×a_ns берется со знаком "+", если вторые индексы образуют четную перестановку, и со знаком "-", если нечетную.

      Из определения определителя можно вывести следующие его свойства.

      1. Если поменять местами две строки определителя (два столбца), то получим новый определитель, равный исходному, умноженному на .