Базисные  неизвестные единственным образом  выражаются через свободные неизвестные.

      Если  свободным неизвестным приданы конкретные числовые значения и через них выражены базисные неизвестные, то полученное решение называется частным решением.

      Если  свободные неизвестные выражены через параметры, то получается решение, которое называется общим решением.

      Все бесконечное множество решений системы можно получить, придавая свободным неизвестным любые числовые значения и находя соответствующие значения базисных неизвестных.

      Если  всем свободным неизвестным приданы  нулевые значения, то полученное решение  называется базисным.

      Одну  и ту же систему иногда можно привести к разным наборам базисных неизвестных. Так, например, можно поменять местами 3-й и 4-й столбцы в матрице (6). Тогда базисными будут неизвестные  x₁, x₂, x₄, а свободными – x₃ и x₅. Рекомендуем читателю самостоятельно привести последнюю систему к такому виду, чтобы свободными неизвестными были x₁ и x₂, а базисными – x₃, x₄, x₅.

      Если  получены два различных набора базисных неизвестных при различных способах нахождения решения одной и той  же системы, то эти наборы обязательно содержат одно и то же число неизвестных, называемое рангом системы.

      Рассмотрим  еще одну систему, имеющую бесконечно много решений:

       .

Проведем  преобразование расширенной матрицы  системы по методу Гаусса:

       .

Как видно, мы не получили трапецеидальной матрицы, однако последнюю матрицу можно  преобразовать, поменяв местами  третий и четвертый столбцы:

       .

Эта матрица  уже является трапецеидальной. У  соответствующей ей системы две  свободных неизвестных – x₃, x₅ и три базисных – x₁, x₂, x₄. Решение исходной системы представляется в следующем виде:

       .

      Приведем  пример не имеющей решения системы:

       .

Преобразуем матрицу системы по методу Гаусса:

       .

      Последняя строка последней матрицы соответствует  не имеющему решения уравнению 0x₁ + 0x₂ + 0x₃ = 1. Следовательно, исходная система несовместна.

      Сформулируем  теперь кратко суть метода Гаусса. Полагая, что в системе  коэффициент  a₁₁ отличен от нуля ( если это не так, то следует на первое место поставить уравнение с отличным от нуля коэффициентом при x₁ и переобозначить коэффициенты), преобразуем систему следующим образом: первое уравнение оставляем без изменения, а из всех остальных уравнений исключаем неизвестную x₁ с помощью эквивалентных преобразований описанным выше способом.

      В полученной системе

  ,

считая, что  (что всегда можно получить, переставив уравнения или слагаемые внутри уравнений и переобозначив коэффициенты системы), оставляем без изменений первые два уравнения системы, а из остальных уравнений, используя второе уравнения, с помощью элементарных преобразований исключаем неизвестную x₂. Во вновь полученной системе

      

при условии  оставляем без изменений первые три уравнения, а из всех остальных с помощью третьего уравнения элементарными преобразованиями исключаем неизвестную x₃.

      Этот  процесс продолжается до тех пор, пока не реализуется один из трех возможных случаев:

      1) если в результате приходим к системе, одно из уравнений которой имеет нулевые коэффициенты при всех неизвестных и отличный от нуля свободный член, то исходная система несовместна;

      2) если в результате преобразований получаем систему с матрицей коэффициентов треугольного вида, то система совместна и является определенной;

      3) если получается система с трапецеидальной матрицей коэффициентов (и при этом не выполняется условие пункта 1), то система совместна и неопределенна.

§3. Элементы теории матриц

      В предыдущем разделе было введено  определение матрицы A размерности p ´ q как прямоугольной таблицы:

       .

Можно пользоваться сокращенной формой записи:

      A = (a_ij); i = 1, 2, 3, ¼, p; j = 1, 2, 3, ¼, q.

      Две матрицы одинаковой размерности  p ´ q называются равными, если в них одинаковые места заняты  равными числами (на пересечении i-й строки и

j-го столбца в одной и в другой матрице стоит одно и то же число; i=1, 2, ..., p; j=1, 2, ..., q).

      Пусть A = (a_ij) – некоторая матрица и a – произвольное число, тогда aA = (aa_ij), то есть при умножении матрицы A на число a все числа, составляющие матрицу A, умножаются на число a.

      Пусть A и B – матрицы одинаковой размерности A = (a_ij), B = (b_ij), тогда их сумма A + B – матрица C = (c_ij) той же размерности, определяемая из формулы c_ij = a_ij + b_ij, то есть при сложении двух матриц попарно складываются одинаково расположенные в них числа.

      Матрицу A можно умножить на матрицу B, то есть найти матрицу C = AB, если число столбцов n матрицы A равно числу строк матрицы B, при этом матрица C будет иметь столько строк, сколько строк у матрицы A и столько столбцов, сколько столбцов у матрицы B. Каждый элемент матрицы C определяется формулой

       . 

Элемент  c_ij  матрицы-произведения C  равен сумме произведений элементов i-

строки  первой  матрицы- сомножителя  на  соответствующие  элементы  j-го

столбца второй матрицы-сомножителя.

      Из  сказанного следует, что если можно  найти произведение матриц AB, то произведение BA, вообще говоря, не определено.

      Приведем  примеры перемножения матриц:

            1) =

= =

= ;

            2) = (8, 4).

      Если  AB и BA одновременно определены, то, вообще говоря, эти произведения не равны. Это означает, что умножение матриц не коммутативно. Продемонстрируем это на примере.

       .

      Для алгебраических действий над матрицами  справедливы следующие законы:

      1) A + B = B + A;

      2) a (A + B) = aA + aB;

      3) (A + B) + C = A + (B + C);

      4) (AB)C = A(BC);

      5) A(B + C) = AB + AC.

      Матрица, состоящая из одной строки, называется вектором (вектором-строкой). Матрица, состоящая из одного столбца, также называется вектором (вектором-столбцом).

      Пусть имеется матрица A = (a_ij) размерности m ´ n, n-мерный вектор-столбец X и m-мерный вектор-столбец B:

       ;  .

      Тогда матричное равенство

      AX = B, (1)

если  расписать его поэлементно, примет вид:

       .

      Таким образом, формула (1) является записью системы m линейных уравнений с n неизвестными в матричной форме. Ниже будет показано, что, записывая систему в сжатом виде, кроме краткости написания мы получаем и другие очень важные преимущества.

      Пусть имеются две квадратные матрицы  одинаковой размерности:

       .

      Требуется найти матрицу X, удовлетворяющую матричному уравнению

            AX = D.

      Из  правила умножения матриц следует, что матрица X должна быть квадратной матрицей той же размерности, что и матрицы A и D:

       .

Из правила умножения матриц и из определения равенства матриц следует, что последнее матричное уравнение распадается на три системы линейных уравнений:

       ;

       ; (2)

       .

Все три  системы (2) имеют одинаковые матрицы коэффициентов, что дает возможность решать их одновременно, введя матрицу

  .

Здесь первые четыре столбца образуют расширенную  матрицу первой системы, первые три  столбца вместе с пятым столбцом образуют расширенную матрицу второй системы, а первые три столбца вместе с шестым – расширенную матрицу третьей системы.

      Применим  для решения метод Жордана-Гаусса который является модификацией метода Гаусса.

      Первый  шаг преобразования матрицы по методу Жордана-Гаусса совпадает с первым шагом преобразований по методу Гаусса. Оставляем без изменений первую строку матрицы, а во второй и третьей “организуем” нули в первом столбце:

  .

Теперь, следуя методу Жордана-Гаусса, оставляем без изменения лишь вторую строку (так как a₂₂ ¹ 0) и получаем с помощью второй строки в первой и третьей строках во втором столбце нули. Для этого вместо первой строки пишем сумму первой строки, умноженной на 5, и второй строки, умноженной на –2. Вместо третьей строки пишем сумму третьей строки , умноженной на 5, и второй строки, умноженной на –1 После деления полученной третьей строки на 2 получаем матрицу

       .

Чтобы в первой и второй строках в  третьем столбце получить нули, проведем следующие преобразования последней матрицы. Оставив третью строку без изменений, заменим вторую строку разностью второй строки и утроенной третьей, а первую – суммой первой и третьей строк. После деления первой и второй строк преобразованной матрицы на 5 получится матрица

       . (3)

      При преобразовании системы по методу Жордана-Гаусса матрица коэффициентов приводится (если это возможно) к такому виду, что на главной диагонали стоят  единицы, а над главной диагональю и под главной диагональю – нули.

      Если  взять первые четыре столбца матрицы (3), то получится матрица, в которую  преобразовалась расширенная матрица  первой из систем уравнений (2). Из нее  следует: x₁₁=2; x₂₁=–5; x₃₁=10. Матрица, образованная первыми тремя столбцами вместе с пятым столбцом матрицы (3), дает решение второй системы уравнений (2): x₁₂=2; x₂₂=1; x₃₂=–3. И, наконец, матрица, образованная первыми тремя столбцами вместе шестым столбцом матрицы (3), дает решение третьей системы уравнений (2): x₁₃=3; x₂₃=–4; x₃₃=12.