20. Імітаційне моделювання. Метод Монте-Карло.

Для реальних складних систем традиційне ММ не завжди може бути здійснено, через те, що:

1.  с-ма має  величезну кількість елементів  і відповідну величину внутрішніх  зв¢язків.

2. в реальних  с-мах багато зв’язків має невизначених характер. Їх не м-на формалізувати у вигляді мат співвідношень

3. зовнішні впливи найчастіше мають спадковий характер, тому вивчення повинне відбуватися з урахуванням випадкових процесів.

Основні принципи ІМ:

1. декомпозиція  за часом 

2. структурна  декомпозиції

3. подання еволюції  с-ми за допомогою алгоритму  для ЕВМ

декомпозиція за часом означає, що процес еволюції системи розбивається на послідовні етапи, а сама еволюція розгляд як перехід системи з одного дискретного стану у інший через малі проміжки часу.

Це дозволяє використовувати не загальні закономірності розвитку системи, а закони переходу з одного стану в інший, що набагато легше реалізувати.

Структурна декомпозиція: система розбивається на сукупність простих підсистем, які вивчаються незалежно одна від одної. Для того, щоб це було ефективно, необхідно, щоб підмножини були між собою слабко пов’язані. Це дозволяє декільком колективам одночасно вести паралельні розрахунки.

Після 1. та  2.  3. імітується  у вигляді алгоритмічного пакету.

(метод “статистичних  випробувань”, запропонований американськими математиками у перші роки після світової війни).

Приклад :

Нехай система  описується параметрами стану p. Нехай  на систему діють випадкові впливи, що характеризуються параметром q.

Нехай між параметрами p і q існує певний зв’язок . Оскільки зовнішні впливи є випадковими, то . В основі характеристики ВВ є функція розподілу. Будемо вважати, що функція розподілу ВВ q відома, позначимо її F(q). Оскільки q – ВВ, а р пов’язано з q функціональною залежністю, то q є ВВ.

Етапи методу МК:

1. Генерація послід. чисел, що реалізують ВВ, розподілену за законом F(q).
2. Обчислення відповідних значень ВВ p.
3. Статистичний аналіз отриманої  величини р.

Нехай є датчик чисел, що дозволяє отримати реалізацію ВВ, розподіленої за законом F(q). За допомогою цього датчика отримаємо набір реалізацій

, ,...,

На 3) сукупність чисел р1,р2,...,рn розглядається  як вибірка для ВВ. Використовуючи методи математичної статистики, знаходимо емпіричну ф розподілу, відповідні числові характеристики.

1 етап. Будувати  окремі датчики для заданого  розподілу немає сенсу. Ідея : зробити датчик для деяк стандартного  датчика, а розподіл отримувати  на основі цього датчика за деяким законом. Вибирається рівномірний розподіл ВВ на [0,1] , отримуємо послідовність реалізацій до значень

 

Отже, знаходження  величини з необхідним законом розподілу зводиться до розв’язання одного рівняння з однією невідомою.

На 1-му етапі  розвитку методу МК будувалися фізичні  датчики, що використовували фізичні явища, що відбувалися в спектр схемах, для генерації рівномірно розподілених даних. Пізніше з’явилися програмні датчики (ПД) псевдовипадкових чисел.

ПД принципово не можуть видавати випадкові числа, однак отримана з їх допомогою  числова послідовність має властивості, близькі до властивостей послідовностей, розподілених за рівномірним законом. Ця послідовність через деякий час починає повторюватися, тобто має певний період. Тобто користуватися цим датчиком можна лише в межах одного періоду . Сучасні датчики мають великий період.

21. Керування системи. Оптимальне керування.

Розглянемо клас цілеспрямованих систем, створених для досягнення певної мети. Вона повинна піддаватися певним впливу, керуючим впливам.

Сама система  називається об’єктом керування. Джерело впливів – суб’єкт ( може не входити в систему)

Будемо розрізняти керуючі впливи і відповідні реакції системи. Тому поряд з параметрами стану системи вводяться параметри, що характеризують параметри впливу – параметри керування: , ,..., . Вважаємо їх функціями часу : U = U(t)

Оскільки керуючи  впливи визнач еволюцію системи, то між параметрами керування і стану повинен існувати певний зв’язок. Цей зв’язок визначається механізмом керування системи.

Найчастіше цей  зв’язок описується системою ДР

Взагалі кажучи, існує клас траєкторій для досягнення цілей системи. Тому виникає питання, якою ціною досягти ціль.

Введемо простір  керувань

 

Виділимо підмножину тих керувань, що приводять до досягнення цілей системи. Поставимо тепер будь-якій траєкторії з у відповідність певне число, тобто задамо на функціонал І(к) , який називається якістю керування. Будемо вважати, що функціонал побудований так, що більшим значенням функціоналу відповідають кращі значення з точки зору прийнятого критерію. Тоді під оптимальним керуванням будемо вважати таке керування , для якого . Оптимальному керуванню відповідає певна траєкторія системи, яка називається програмною траєкторією

Задача оптимального керування системою полягає у знаходженні оптимального керування та відповідної програмної траєкторії.

ПР. Поставимо  у відповідність будь-якій траєкторії керування витрати на здійснення цього керування. Тоді задача мінімізації витрат полягає у знаходженні такого керування, при якому витрати на його здійснення будуть найменшими.

Виведення супутника  на орбіту.

Ключове значення – витрати пального (за рахунок  викиду переробленого пального через сопла ракета поверталась).

Задача оптимальної  швидкості полягає в досягненні цілі за найкоротший час.

Нехай на основі сформульованого критерію керування, побудований I(u) і знайдене оптимальне керування та відповідна програмна траєкторія. Однак проблема реалізації програмного керування непроста з ряду причин:

1.під час еволюції  системи програмна траєкторія не може бути реалізована, оскільки на систему діють випадкові фактори, які насамперед не можна врахувати.

2. розраховане оптимальне керування не може бути точно відтворене механізмом керування.

3. більшість задач ОК розв’язують чисельними методами і відповідне ОК містить певну похибку.

Тому реальне керування системами має 2-стадійний характер

• на 1 стадії керування ще до початку руху  по траєкторії визначається  оптимальне керування  та програмна траєкторія І це ОК закладається  в механізм керування.
• Під час руху реальна траєкторія відхиляється від програмної під час руху.

2-га стадія  керування здійснюється вже в процесі еволюції системи : фіксується відхилення реальної траєкторії від програмної і здійснюються коригувальні впливи. Таке корегувальне керування здійснюється за додаткових принципів зворотних зв’язків і не може бути побудов до початку еволюції системи

ПР. Момент імпульсу, що не дає велосипеду впасти.

 

22. Коригувальне керування. Дві стадії керування.

Керовані системи, крім власного механізму керування мають ще коригувальні механізми керування. Ці механізми керування починають працювати під час еволюції системи і діють таким чином, щоб при відхиленні траєкторії від програмної повернути систему в окіл програмної траєкторії. Таким чином керування реальних систем має 2-стадійний характер: -

1) ще до початку  еволюції системи знаходяться оптимальне керування і відповідна програмна траєкторія.

2). Здійснюється коригувальне керування під час еволюції системи. Коригувальне керування здійснюється по принципу зворотного зв’язку. Коригувальне керування має свої власні механізми відмінні від механізмів основного керування. Визначення оптимального керування і визначення коригувального керування приводять до різних математичних задач. Оптимальне керування ми можемо знайти заздалегідь, а коригувальне керування здійснюється в режимі реального часу.

23. Конфліктно-керовані системи.

Розглянемо систему, в якій діють декілька суб’єктів керування . Всі з низ мають власну ціль. Досягнення цілі потребує певних ресурсів. Можлива ситуація, коли система не може виконувати свої цілі

ПР 

 

Технологічні  процеси на цих підприємствах вимагають великої кількості прісної води . Вода очищується і знову в озеро. Ціль підприємства – прибуток. Досягнення максимального прибутку може бути за рахунок збільш випуску продукції і зменшення витрат. Збільш обсягів виробництва – більше води – Знищ озеро. – Неможливо тоді буде і само підприємство. Тому Підприємства зацікавлені в збереженні озера. – Колективна ціль.

Такі системи, в яких діють декілька суб’єктів керування називають конфліктно-керованими.

24.Ієрархічні системи

Розглянемо системи  керування, в яких керування системою лише одним суб’єктом керування неможливо. Тому в таких складних системах використовується ідея декомпозиції (децентралізації) керування: коли процес прийняття рішень розподіляється на декількох суб’єктів керування.

Такий розподіл відбувається так, щоб існуючий суб’єкт керування мав компетенцію, можливості, ресурси для відповідального прийняття рішень. Щоб розглядати таку структуру керування, треба здійснити структуризацію самої системи.

Розглянемо системи  керування, що мають ієрархічну структуру. Це означає, що система розбивається на підсистеми і між ними встановлюється відношення підпорядкованості. Будь-яка система має сій рівень підпорядкованості. Зобразимо таку систему у вигляді дерева:

Будь-якої з підсистем має свого суб’єкта керування і ціль керування. На досягнення цієї цілі і направлені зусилля суб’єкта керування. Однак система має і загальну ціль. Досягнення такої цілі неможливе без підпорядкування суб’єктів більш низького рівня суб’єктам більш високого рівня. Тобто між суб’єктами керування встановлюється відношення підпорядкування у вигляді певної ієрархії.

Зрозуміло, що будь-який суб’єкт керування повинен мати певну самостійність в межах своїх повноважень для більш ефективного керування, з іншого боку цілі підсистеми повинні бути підпорядковані цілям підсистеми більш високого рівня.

Виділяють декілька класів ІС:

• Віялові;
• Ромбовидні;

В віялових системах існуючий суб’єкт керування більш низького рівня можуть підпорядковуватись суб’єктам керування більш високого рівня.

Для ефективного  функціонування  ієрархічних систем необхідний вмілий розподіл повноважень між суб’єктами керування  різних рівнів, який з одного боку  не сковував ініціативу суб’єктів більш низьких рівнів , а з іншого забезпечував би гарантію проти дезінтеграції системи, коли цілі більш низького суб’єкта  керування суперечать загальній цілі.

 

1. Розробляється проект  нової ПЕОМ, формалізуються параметри ц. функції обмеження проекту. Запропонуйте прийом згортання цільових функцій.

Нехай маємо  дві цілі:

1. Потужність, позначимо її p.

2. Ціна, позначимо  її с. 

Потрібно p->max, c->min, або p->max  –c->max. Одержали невизначеність цілей. Їх можна згорнути таким чином.

0.5*p/p0-0.5c/c0->max

3. Розгляньте задачу  розв’язування СЛАР, мотивуйте вибір  того чи іншого прямого або наближеного методу в залежності від порядку системи та кількості ненульових елементів у матриці системи.

Якщо система 2-3-го порядку – метод Крамера, якщо маємо домінування за головною діагоналлю – метод простої ітерації або Зейделя. Якщо система 3-діагональна – метод прогонки, якщо матриця системи симетрична відносно головної діагоналі– метод квадратного кореня.