1. Поняття системи. Кількісні характеристики системи. Фазовий простір.

Розглянемо приклади систем:

1. Сонячна система. Має певний склад: 9 планет, супутники, комети, астероїди і інші дрібні тіла, певну структуру: будь-який складник має певне конкретне положення. Ці тіла утворюють систему, бо між ними існують стійкі, тривалі зв‘язки, що мають гравітаційний характер.

2. Комп‘ютер

3. Організм людини

4. Промислове підприємство

5. Людство. Елементи – люди, зв‘язки – сімейні, психологічні, соціальні тощо. Лише за наявності таких зв‘язків людство існує як система.

Підсумовуючи  ці приклади введемо поняття системи.

Під системою будемо розуміти організовану сукупність елементів, пов‘язаних між собою істотними та стійкими внутрішніми зв‘язками, завдяки чому ця сукупність є якісно новим утворенням, відмінним від простого об‘єднання елементів.

Кількісні характеристики системи.

Нехай система  з часом змінює свій стан. Пов‘яжемо  з будь-яким станом системи певний набір числових параметрів. Виділимо серед них такий набір параметрів, який однозначно визначає стан системи. Ці параметри називаються параметрами стану системи. Наприклад за параметри стану ідеального газу можна взяти тиск, температуру, об‘єм. В сонячній системі параметрами стану є координати і швидкості елементів системи.

Оскільки з  часом стан системи змінюється, то параметри стану є функціями  часу

.

Введемо вектор-функцію  стану системи:

.

Процес зміни  станів системи з часом називається еволюцією системи, яка описується вектор-функцією . Це означає, що вивчення системи зводиться до вивчення вектор-функції .

Дамо геометричне  тлумачення поняттю еволюції системи. Введемо n-вимірний евклідовий простір з координатами , який називається фазовим простором системи.

Очевидно, будь-якому  стану системи відповідає певна  точка фазового простору. Обернене твердження невірне, оскільки параметри  стану не можуть набувати будь-яких значень.

Побудуємо в  фазовому просторі область , всі точки  якої відповідають можливим станам системи. І цю область називатимемо припустимою областю системи.

Коли стан системи  змінюється з часом, то точка, яка  зображує стан системи, рухається в  фазовому просторі і описує деяку лінію. Ця лінія називається траєкторією системи. Траєкторія і є геометричним образом еволюції системи.

Очевидно, що будь-яка  траєкторія системи повністю лежить в припустимій області системи.

2. Процес математичного моделювання.

Під мат. моделюванням розуміють застосуванням математики поза її межами  з метою вивчення навколишнього світу. Під моделлю розуміють опис конкретного явища або системи. які містять основні риси, необхідні для дослідження цього явища або системи.

Математична модель - це модель, яка записана мовою математики і по суті є деякою математичною задачею.

Всі методи дослідження  можна поділити на:

1) теоретичні  – немає взаємодії з об‘єктом дослідження, і аналіз ґрунтується на попередніх експериментальних даних шляхом осмислення і узагальнення;

2) експериментальні – дослідник безпосередньо взаємодіє з об‘єктом дослідження за допомогою своїх органів відчуття або приладів.

Математичне моделювання  будемо розглядати як теоретичний метод  вивчення складних систем, в яких велика кількість зв‘язків має різну природу. Метод м.м. є синтетичним методом, який поєднує окремі результати дослідження природи і суспільства.

Складні системи - це системи, які складаються з  елементів підсистем, що розвиваються по власним законам, взаємодіють між собою, утворюючи складну організацію.

Розглянемо мат. моделювання як процес, процедуру виконання певних дій. Будемо уявляти процес математичного моделювання у вигляді послідовності наступних етапів:

1. формулювання  мети ММ, попереднє вивчення системи;

2. формулювання припущень, спрощень, гіпотез і перехід до ідеалізованої схеми;

3. формулювання співвідношень математичної задачі

4. аналіз математичної задачі;

5. вибір або розробка методів розв¢язання мат. задачі;

6. побудова алгоритму  розв‘язання задачі;

7. розробка програмного  забезпечення;

8. оцінка адекватності  мат. моделі;

9. обчислювальний  експеримент;

10. формулювання практичних висновків та рекомендацій.

Зазначимо, що процес математичного моделювання є  процесом ітераційним, і деякі його ділянки проходяться по декілька разів.

3. Вивчення об’єкта  моделювання, формулювання  мети дослідження,  перехід до ідеалізованої схеми.

При вивченні великих  систем вважається, що одні процеси  та властивості не є важливими, а  інші є суттєвими для даної  моделі.

Формулювання, припущень, спрощень і перехід до ІС. Припущення полягають в тому, що частина зв‘язків системи, пов‘язаних з метою моделювання, вважається неістотною та відкидається. Гіпотези полягають в тому, щоб прийняти якісь попередні припущення про можливий розв‘язок системи. Внаслідок зроблених припущень, спрощень і гіпотез, ми від реальної системи переходимо до уявної системи, якої насправді немає, але яка містить основні риси поведінки реальних систем. Така уявна система називається ідеалізованою схемою.

Вкажемо два основні прийоми перехід до ІС:

1) дискретизація,  суть якої полягає в тому, що  неперервні системи ми уявляємо  як сукупність окремих дискретних  точок;

2) континуалізація,  що полягає в переході від  дискретних систем до неперервно-розподілених в просторі ІС. Ідея континуалізації використовується для того, щоб використати в мат. моделюванні методи мат. аналізу (зокрема, диф., інтегральні рівняння).

4. Формулювання математичної задачі. Поняття коректності

Суть этапа  – при помощи мат структур (уравнений и неравенств и т.п.) записать зависимости которые характеризуют внутренние связи ИС (идеализированной схемы) и внешние связи ИС и  окружающего мира 
 

 

(рис. – это  идеализированная система) 

Співвідношення які описують зв‘язки між параметрами стану с-ми називаються визначальними співвідношеннями їх можна поділити на 3 групи

1) фундаментальні

2) феноменологічні

3) емпіричні 

Фундаментальные законы являются более глубокими законами природы, которые не могут быть получены из других законов. Это утверждение имеет исторический характер и относится к определённому этапу научного познания мира. Феноменологические законы получаются в результате анализа и обобщения экспериментальных данных. Феном. Законы могут быть обоснованы на обосновании фундаментальных законов. Они возникают как обобщение большого кол-ва общих факторов. Закон Гука: Гук рассматривал растяжение пружины.

Эмпирические  формулируются на основе серии экспериментов для данной системы в данных условиях. Касаются достаточно узкого круга явлений и не требуют пояснения.

Пусть Р - давление,* - плотность (вертикальная ось), используя определенный метод аналитической аппроксимации, строим r=j(Р) в определенном диапазоне. Это пример эмпирической зависимости. 

В состав математической модели еще входят соотношения, которые  характеризуют связь нашей системы  с окружающим миром. Как правило они имеют характер граничных или дополнительных условий  .

Корректность  МЗ: С точки зрения Адамара ММ считается корректной, если

1) задача имеет  решение; 

2) решение единственно; 

3) решение непрерывно  зависит от условий задачи.  

5. Класифікація математичної задачі, математичні аналогії. Оцінка складності.

Построив математическую модель, переходим к определённой мат. задаче. Очень важно отнести эту задачу  к определённому классу мат. зад. Какие преимущества даёт классификация математических задач:

1) Сокращение  объёма необходимой литературы.

2) После классификации  МЗ в наше распоряжение поступает  уже разработанный аппарат исследования.

3) Можем воспользоваться  опытом решения задач такого  класса: оценить время, нужное  для решения задачи, получить определенное представление о характере результата, оценить возможные трудности.

4) Даёт возможность  обратиться соотв. специалистам. Очень часто разные прикладные проблемы сводятся к одним и тем же мат. задачам. Т. е., математика устанавливает связь между разными проблемами, такая связь наз. мат. аналогией. Пример мат. аналогии:

(амортизатор)

 

и колебательный контур

обе эти системы  описываются одним уравнением

 

Рассмотрим уравнение Пуассона

1) прогиб мембраны  краевое условие.

2) скручивание  вала.

3) задача про равновесие кучи песка.

Это уравнение  описывает движение идеальной несжимаемой жидкости, так называемые потенциальные течения такой жидкости. Это уравнение описывает процесс фильтрации жидкости. Так же разделение потенциала гравитационного  и электрического полей, стационарное разделение тепла в теле.

Под оценкой сложности МЗ подразумевают оценку того, можно ли данную задачу решить в полной мере с допустимой точностью за допустимое время. Рассмотрим некоторые точки зрения, с которых следует оценивать сложность МЗ.

1) сложность  класса задач

2)линейность/нелинейность

3)мерность задачи

4) стационарность или эволюционность

5)задача прямая или обратная или оптимизированная

1) Характер МЗ. (является ли задача задачей для конечных уравнений или для обычных диф. уравнений, или для уравнений в частных производных.)

2) Линейные задачи. Различие в сложности между линейными и нелинейными задачами очень существенно. Большинство известных методов решения относятся к линейным задачам.

Линейными называются системы, для которых справедлив принцип суперпозиции, который означает, что результат действия 2-х внешних влияний есть сумма результатов от действия каждого внешнего влияния на систему

3) Мерность задачи. Мерность связана с кол-вом неизвестных функций или неизвестных дискретных параметров от кот эта функция зависит. С ростом мерности существенно возрастает сложность задачи. Как правило, она не линейна. В дискретных задачах под мерностью понимают количество искомых значений дискретных параметров.

4) Зависимость от  времени. Бывают МЗ, в которых решение не зависит от времени, а является функциями только пространственных переменных. Такие задачи называются стационарными или статическими. Бывают задачи, в которых решение существенно зависит от времени. Такие задачи наз. динамичными или эволюционными. Динамичные задачи сложнее статических. 

5) Направленность МЗ. С точки зрения направленности задачи бывают: прямые, обратные и оптимизационные.

 Прямая задача – задача нахождения решения при заданных условиях; задача состоит в том,

что задан состав системы, ее структура, связи между элементами и внешние воздействия. Надо найти эволюцию системы (например: дано -тело, материалы изготовления, найти - температуру в середине).