Шпаргалка по "Математическому моделированию"

Основи  мат.моделюв.(ММ)

1.Загальні  поняття

2.Методи  системного розв’яз.задач.

М. Як метод  наукового дослідження

Методи: експеримент. і теоретичні.

Експеримент.пов’язані  з безпосер.контактом з об’єктом дослідж. Суттю теорет.методів є  побудова цілісної картини явищ на основі узагальн.експерим.фактів. теорет.методи не пов’яз. з взаємодією з об’єктом. ММ є одним з методів теорет.дослідж. Суть ММ: заміна реального явища деякою схемою,яка вивч. потім мат.методами. ММ інтенсивно розвивається, часом без ММ не можливо керувати виробн.процесом.

Поняття системи

Будемо  розгляд. методи ММ як методи моделювання  с-м. Під с-мою будемо розуміти організов. сукупність ел-тів, пов’яз.між собою  істотними зв’язками, завдяки яким с-ма не є просто сукупністю ел-тів, а принципово новим якісним утворенням. Будемо пов’яз. з поведінкою с-ми набір чисел р₁,р₂,..,р_н, які будемо наз. пар-рами с-ми. Пар-ри, які однозначно задають стан с-ми, наз. пар-рами с-ми. Будемо розглядати лише с-ми, які х-зуються скінченною к-тю пар-рів р₁,р₂,..,р_н. Для скорочення запису використовуємо вектор стану параметрів с-ми р=(р₁,р₂,..,р_н). Якщо стан с-ми змінюється з часом, то пар-ри стану є ф-ями часу. Процес змінення с-ми із часом наз. еволюцією с-ми. Еволюція с-ми описується вектор-функцією. Дамо геометр.тлумачення поняття еволюціі с-ми. Введемо н-вимірний простір з координ. р₁,р₂,..,р_н . Очевидно, кожному стану с-ми відповідає точка з цього простору. Такий простір наз.фазовим простором с-ми. Коли стан с-ми змінюється з часом, то відпов. точка фазового простору описує в цьому просторі деяку криву, яка наз. траєкторією с-ми. В реальних умовах пар-ри стану с-ми не можуть набувати деяких значень. Виділимо у фазовому просторі обдасть G, всі точки якої відповід.можливим станам с-ми. Така область наз.припустимою областю с-ми. Кожна траєкторія с-ми лежить в припустимій області.

Процес  мат.моделювання (ММ)

Загальні  методологічні принципи

Розглянемо  ММ як процес, що складається з послідовності  етапів:

Попередній  аналіз с-ми формул, мети моделювання→формулювання припущень, спрощень, гіпотез→формулювання співвіднош. мат.задачі→аналіз мат.задачі→розробка або вибір методів розв’яз. мат.задачі→створення алгоритму розв’язання→розробка прогр.забезпеч.→оцінка адекв.мат.моделі→обчислювальний експер.→формулюв. висновків та рекомендацій.

Реальне ММ є процесом, коли більшість етапів виконується не один раз.

Формулювання  мети моделювання

Формулюв.принципів, гіпотез, спрощень, перехід до ідеаліз.схеми.

Грунтуючись на аналізі і сформульованій меті моделюв., відкидаються другорядні зв’язки с-ми, спрощують їх та роблять певні гіпотези про можливу поведінку с-ми. Після зроблених припущень, спрощ. та гіпотез, замість реальної с-ми виникає умовна с-ма, якої не має в дійсності, така с-ма значно простіше, але зберігає основні риси з погляду мети ММ. Одну і ту саму с-му можна приводити до різних ідеал.схем, в залежності від мети моделювання. Такі ідеалізовані схеми наз. мат. моделями.

Перехід від конкретних систем до дискретизації  та континуалізації

Дискретиз.-заміна складної с-ми сукупністю дискретних точок, а континуалізація – дискретної реальної с-ми неперервним середовищем.

Формулювання  мат.задачі

Після створення  ідеалізованої схеми постає проблема опису закономірності ф-ня такої  с-ми за допомогою мат.співвідношень. Сукупність таких мат.співвідношень утворює мат.задачу, що що відповідає мат.моделі. q₁,q₂,..,q_n – навколишній світ, p₁,p₂,..,p_n – система. p₁,p₂,..,p_n – параметри стану с-ми. q₁,q₂,..,q_n – пар-ри стану навколишнього світу.

Вивчення  поведінки ідеалізов.схеми зводиться  до вивч.пар-рів стану як ф-ій часу. Ці пар-ри повинні задовольняти співвіднош.мат.моделі. ці співвіднош.можна поділити на групи в залежності від зв’язків, які вони описують. Звернемо увагу на визначальні співвіднош.-описують внутр.зв’язки с-ми і повєязують між собою пар-ри стану с-ми. Визначальні співвіднош.за рівнем глибини можна поділити на: фундаментальні з-ни, феноменологічні з-ни, емпірічні залежності. Фундам.з–ни описують найбільш глибокі зв’язки в світі і не можуть бути описані за допомогою інших з-нів (певні постулати – початкова с-ма тверджень). Феноменологічні з-ни описують широке коло явищ і формулюються як узагальнення широкоекспериментальних даних. Емпірічні залежн.описують вузьке коло явищ і опираються на конкр.експерим.дані у конкретних умовах. Крім визначальних також існують співвіднош., що пов’язують поведінку с-ми з зовнішнім впливом. Найчастіше такі співвіднош.мають хар-р крайових умов. Існують математичні співвіднош., які за своєю природою не потребують якогось експеримент.обгрунтування, наприклад швидкість: v=ds/dt. Отримана с-ма співвідношень називається мат.задачею.

Аналіз  мат.задачі

Далі описуємо мат.заадчу з погляду таких аспектів: корректність, рівнеь складності, класифікація, можливі мат.аналогії, розумне узагальнення задачі.

Коректність мат.задачі

Коректність мат.задачі (за Адамаром) – задача коректна, якщо виконуються 3 умови: розв’язок  задачі існує, розв’язок єдиний, розвєязок  задачі неперервно залежить від умов задачі. При моделюванні реальних явищ і с-м відповідні моделі повинні  містити х-ки цих явищ та с-м: розміри, масу, к-ти і т.д. всі ці х-ки можна отримати експериментально, вони будуть наближеними величинами. Неперервність залежність – невеликі зміни хар-к викликають невеликі зміни розв’язку мат.задачі.

Теореми існування розв’язку  мат.задачі

(тільки  приклади некоректних задач)

Класифікація  мат.задач

Аналіз  мат.задачі, що виникла при ММ, включений  до одного з класів відомих мат.задач. Така класифікація дозволяє скористатися вже відомими методами та р-татами при  розв’язанні задач даного класу, звужує коло вивчення л-ри і спрощує спілкування з фахівцями певної галузі, дає змогу оцінити можливий час для розв’яз.задачі. важливе значення в ММ відіграють мат.аналогії, коли різні за своєю природою системи і явища описуються однаковими мат.задачами. це відкриває можливість вивчення одних проблем за допомогою вивчення інших.

Оцінка  складності мат.задачі

Будемо  розглядати складність мат.задачі за критеріями:

1. складність відповідного класу задач,
2. лінійні або нелінійні задачі,
3. вимірність задачі,
4. стаціонарні та еволюційні задачі,
5. задачі прямі, обернені та оптимізаційні

Лінійні задачі-виконується принцип суперпозиції (приклад із масами і пружинками: сума результатів від дії кожного  фактору окремо). Найчастіше лін.с-ми описуються лін.співвідношеннями, які  є лін.відносно невідомих величин. Як правило, лін.мат.задачі набагато простіші ніж нелінійні. Це приводить до появи спрощених постановок з метою отримання лінійних задач.

Вимірність  задачі

З одного боку під вимірністю розуміють к-ть незалежних просторових змінних в диференціальних та інтегральних р-нях (ДР і ІР) або к-ть невідомих величин у дискретних задачах (к-ть невідомих у с-мі лін.алгебр.р-нь (СЛАР), к-ть невідомих параметрів у задачах оптимізації). При зростанні к-ті просторових змінних різко зростає складність задачі.

Стаціонарні та нестаціонарні  задачі

Задача  наз.стаціонарною, якщо шукані величини не залежать від часу, тобто є  ф-ями лише просторових координат. Нестаціонарні задачі використ. в  мат.моделях для опису процесів, що істотно змінюються з часом. Нестаціон.задачі, як правило, набагато складніші. Виділяють так звані квазістаціон.задачі, тобто задачі, які опис.с-му нестаціонарну, але зміна стану відбув.повільно, тобто похідні за часом будуть →0, і їх відкидають. В р-ті виникає р-ня, що відповідає стаціонарному явищу.

Задачі  прямі, обернені, оптимізаційні

Якщо задача, описує процеси в с-мі і метою  розвєязку є знаходження поведінки  с-ми при відомій стр-рі та зовнішніх  впливах, то задача наз.прямою. Обернені задачі полягають у знаходженні  стр-ри с-ми або зовн.впливів, за яких процес еволюції є заданим або потрібним з точки зору функціонування с-ми. Обернені задачі наз.ще задачами ідентифікації. Розв’язання обернених задач зводиться до послідовного розв’язання прямих. Оптимізаційні задачі пов’язані із створенням с-м, поведінка яких є найкращою з погляду деяких критеріїв оцінювання.

Методи  розв’язування задач  ММ

Можна умовно поділити на: аналітичні (АМ) і чисельні (ЧМ). Будемо розрізняти методи за процедурою їх реалізації і за формою результату. АМ є за процедурою здійснення послідовністю аналіт.перетворень формул. За формою р-ту АМ є методами, що дозволяють отримати розв’язок у вигляді аналіт.виразів, що поєднують вхідні та вихідні величини. ЧМ за процедурою здійснення є послідовність арифм.дій над числом, а р-т має вигляд таблиці чисел. ЧМ мають більш давню історію.

Серед перваг АМ вкажемо перш за все можливість отрим.розв’язку у вигляді формули, яку можна вивчати. АМ дають можливість вивчати і робити будь-які розрахунки з отриманою формулою. До того ж, використання АМ не вимагає спеціального обладнання. АМ мають низький равень універсальності. Це означає, що коло задач, які можна розв’яз.за допомогою АМ досить обмежене. АМ чутливі до зміни задачі. Часто невелика зміна умови задачі робить непридатним АМ. Незважаючи на декларовану можливість аналізу, дуже часто розв’язки є такими громіздкими, що їх вивчення стає неможливим. Найістотнішою перевагою ЧМ є високий рівень універсальності. За допомогою ЧМ можна розв’язувати широкі класи задач. Друга перевага ЧМ-гнучкість, тобто можливість адаптації до умов конкр.задачі. сильною стороною ЧМ є те, що їх використання можна поєднати з обробкою р-тів на комп’ютері. Недоліки ЧМ: кожен розрахунок на комп’ютері відноситься лише до певного вар-ту початкових данних, тому дуже важливо зводити задачу до безрозмірного (б/р) вигляду; використання ЧМ потребує глибоких знань програмування, а також розуміння особливостей розв’язання задач на комп’ютері (аналіз похибок округлення, потреб математичного часу). Кваліфіковане використання ЧМ вимагає грунтовних знань вищої математики.

Методи  розв’язання мат.задач  – точні і наближені

Під точними  розуміють методи, що дозволяють знайти розв’язок задачі за скінченну к-ть дій. В наближених методах розв’язок  отримують шляхом послідовних ітерацій і цей розв’язок формується як границя послідовності наближених розв’язків. Оскільки здійснити нескінченну к-ть ітерацій неможливо, то отримують ≈ розв’язок. Існують точні ЧМ і ≈ АМ.

Проблема  оцінки похибки ≈  розв’язку

Під похибкою ≈ розв’язку розуміють різницю між точним та наближеним розв’язком.

e_n=(∫_a^b(U_n(x)-U(x))²dx)^1/2.

Коли потрібно досягти приблизно однакової  похибки на всьому відрізку, то маємо  формулу max|U_n(x)-U(x)|, x є [a,b]; ||x_n-x|| - норма різниці точного (х) і ≈розв’язку (x_n).

Оцінки  похибки ділять на:

1. теоретичні аба апріорні;
2. оцінки практичної збіжності або апостеріорні.

Апріорні вичисляють математичним шляхом виходячи з властивостей задачі та наближеного алгоритму, при  цьому не обов’язково знати точний розв’язок задачі. Як правило, теоретична оцінка має вигляд: ||x_n-x||≤c/n^a. Число a характеризує швидкість збідності. Це число відіграє істотну роль в оцінці ефективності алгоритму. На відміну від a, стала с не має в таких оцінках якогось конкретного значення, с – невідома.

Апостеріорні  оцінки грунтуються на вже отриманих наближених розв’язках.

Розглянемо  деякі прийоми  отримання оцінки

а) Оцінка практичної збіжності. Задача: обирають декілька величин, які є наслідком  отримання розв’язку і характеризують найбільш істотні сторони с-ми, т.зв. характурні параметри, які найбільш важливі. Далі задача розв’язується при різних значеннях обчисл.пар-рів. Для кожного з отриманих розв’язків обчислюється значення х-них пар-рів. Інший поширений спосіб – порівняння з відомими аналіт.розв’язками.

б) ЧМ мають значно вищий рівень універсальності ніж АМ, і може статися, що серед класу задач, які розв’язуються ЧМ є задачі, які розв’язуються і АМ. Тоді ці задачі розв’язують обома методами і порівняння розв’язків дозволяє отримати реальну похибку. Проблема в тому, що в реальних складних задачах мало задач, що допускають аналіт.розв’язок і мають рівень складності всього класу задач.