Обратная  задача (задача идентификации) – задача, в которой по известному решению нужно восстановить соответствующее условие; в этих задачах известна эволюция системы, надо найти состав системы, ее структуру и т.д. Как правило, обратные задачи сложнее, чем простые т.к.:

а) их решение сводится к решению простых задач;

б) большинство непрямых задач являются некорректными с точки зрения условия Адамара.

Задача оптимального управления - нужно таким образом изменить условие задачи, чтобы получить наилучший результат; найти или состав системы  или внешние влияния так, чтобы найти эволюцию системы, кот была бы наилучшей с точки зрения того или иного критерия.

Оптимизационные задачи сложнее, чем обратные.

Когда предварительный анализ сложности показывает, что невозможно решить МЗ в нужной мере, за нужное время при заданной точности, то необходимо упростить эту модель.

6. Вибір методу розв’язання математичних задач. Аналітичні і чисельні методи.

Все методы решения  МЗ можно условно разделить на две большие группы: аналитические (АМ) и численные (ЧМ). Это разделение достаточно условное, т. к. большинство АМ, в конечном счете, сводятся к реализации на ЭВМ. С другой стороны, ЧМ часто требуют предварительных аналитических преобразований. Аналитическими методами называем методы

 решения МЗ  при помощи аналитического преобразования функциональных зависимостей, т.е. действий над формулами, кот осуществляются на листке бумаги.  АМ дают результат в виде некоторых формул, которые связывают искомые параметры системы с заданными.

Преимущества  аналитических методов:

1) АМ позволяют получить результат при помощи некоторой формулы или формул, кот можно исследовать, анализировать, делать заключения о поведении реальной системы и т.д.

2) Аналитические  решения как результат аналитических преобразований можно всегда проверить, и убедится в их правильности.

3) АМ дают  результат не для одного определённого  значения, а для целой группы  значений параметров, поскольку  аналитические решения оперируют с буквенными обозначениями.

4) Как правило,  окончательные расчёты по полученным формулам относительно несложны и не требуют высокой программистской квалификации и дополнительной вычислительной техники (кроме листка бумаги). Но часто бывает, что в реальных ситуациях указанные преимущества не реализуются по нескольким причинам.

 (недостатки):

 а) Аналитические  решения бывают чрезмерно сложными  и громоздкими, поэтому о любом  аналитическом исследовании и анализе этих решений не может быть и речи.

б) Конкретные расчёты по полученным решениям бывают чрезвычайно сложными и требуют также и глубокого знания численных методов.

в) Сложность  аналитических преобразований часто препятствует их непосредственной проверке, другими уравнениями (личностями и специалистами).

г) аналитические методы имеют слабую универсальность - могут быть применены для очень узкого класса задач.

 Численные методы – это последовательность действий над числами,  они всегда включают в себя дискретизацию задач. Решение – таблица чисел.

Преимущества численных методов:

1) Универсальность  (ЧМ могут быть применены для значительно большего круга задач, нежели аналитические).

2) Гибкость методов  (ЧМ намного проще, чем аналитические и могут быть модифицированы при изменении условий задач).

3) ЧМ намного  проще, нежели аналитические, легко алгоритмизируются и программируются на ЭВМ.

Недостатки ЧМ.

1) Численное  решение нельзя проверить другому специалисту; это значит, что ответственность за обоснование правильности численного решения лежит на его авторе.

2) Численные  методы дают результат в виде некоторого набора чисел, а поэтому требуют дальнейшей обработки.

3) Численные  методы, при их глубоком использовании требуют боле глубоких знаний современных разделов математики, в частности, функционального анализа и т.д. Часто используется понятие точных и приближённых методов. Точные методы – методы, кот. За некоторое кол-во действий позволяют получить решение задачи. Решение приближенных получается как предел последовательности итераций, когда кол-во итераций . Т.к. кол-во итераций, конечно, то решение приближенное.

7.Оцінка похибки наближеного розв’язку.

Формулируя ММ, мы выходим из некоторых допущений, гипотез, упрощений, т. е., в ММ уже  присутствует некоторая погрешность. Выбирая метод численного решения, необходимо понимать, что этот метод также имеет свою погрешность, причём её величиной мы можем пренебрегать, выбирая итерационные параметры. Возникает вопрос: каким образом выбирать погрешность в решении ММ. Т.к. интересно не собственное решение МЗ, а использование его для реальной системы, то очевидно, что нет смысла решать МЗ с высокой точностью. Это означает, что погрешность в формулировании ММ и погрешность в решении МЗ связаны между собой. Принято считать, что точность решения МЗ должна быть на 1-2 порядка больше, чем точность ММ. Это означает, что методы решения не должны вносить дополнительной погрешности. Решая МЗ, нужно связать количество значащих цифр в результате с кол-вом реальных значащих цифр входных данных. Обозначим через х точное решение МЗ, * - приближенное решение этой задачи, полученное с помощью численных методов после n-ой итерации. Погрешность это * - некоторая величина, что указывает на скорость сходимости. Значение const с не указывается. Оценки, что делаются до начала решения и не содержат информации про полученное прибл. решение, наз. априорными оценками. Как правило, априорные оценки имеют асимптотический характер и позволяют оценить скорость сходимости итерационного процесса с помощью параметра . Но поскольку с остаётся неизвестной величиной то фактическую погрешность оценить невозможно. Используют также апостериорные оценки, т.е. оценки приближения решения, которое уже получено. Но поскольку точное решение неизвестно то апостериорные оценки не дают информации о фактической погрешности полученного решения. Способы, которые можно применять для оценки реальной погрешности результата:

1) Подыскать аналогичную задачу, для которой  $ точное решение, возможно более простую, решить эту зад. с помощью выбранного метода и пакета программ - имеем возможность получить точную апостериорную оценку для разных значений n. Используя эту оценку, подбираем нужное количество итераций для решения данной задачи.

2) Исследование практической сходимости. Для любой задачи характерны элементы, которые имеют наибольшее практическое значение. Решаем задачу при разном кол-ве итераций и получаем последовательность приближенных

решений. вычисляем эту характерную величину. .

8.Оцінка адекватності математичної моделі і обчислювальний експеримент.

Під адекватністю математичної моделі будемо розуміти відповідність основних рис поведінки реальної системи, яку змоделювали, з реальною поведінкою системи.

 Можна говорити о відповідності  ММ явищам. Оцінка адекватности – це  глобальна перевірка ММ в процессе якої рібиться висновок о відповідності ММ реальному явищу. Оцінка адекватности починається из формулювання критерия адекватності. Слід вказати в  якому сенсі мы говоримо, що модель адекватна реальному явищу.

Алгоритм  оцінки адекватности ММ.

а) ретроспективний аналіз явища на основі ММ. При такому анализі ми використовуємо вже реалізовані явища і спорівнюємо цю реалізацію явища з результатами ММ.

б) апріорне моделюваня явища, його спец. реалізация. Спочатку  робиться  прогноз явища за допомогою ММ, а потім реалізація явища при тих самих даних. Після цього порівнюється прогноз ММ и реальне протікання явища.

в) оцінка моделей граничных ситуацій. Слід розглядати роботу ММ в тих ситуаціях, коли $ можливість неадекватності.

г) метод експертних оцінок. Цей метод особливо часто використовується при прогнозуванні економічних і соц. явищ. Метод заключаєтся в том, що оцінка адекватності базується на опрошенні групи незалежних специалістів (експертів), на основі виступу яких робиться висновок об адекватності ММ Цей метод використовується в тих ситуаціях, коли інші використовувати неможливо. $ ситуації, коли принципово неможливо перевірити адекватність ММ. Існують ситуації, коли перевірка адекватності неможлива по объективним причинам. Формулювання висновків об адекватності ММ завжди повинно мати гранниці, в яких ця модель може считаться адекватной. Як правило, адекватність перевіряється тільки на основі тривалої експлуатації модели.

Під обчислювальним експериментом будемо розуміти серію цілеспрямованих багатоваріантних розрахунків за допомогою мат моделі, яка дозволяє зробити певний висновок про поведінку реальної системи, імітує реальне протікання явищ. Обчислювальний експеримент – частина теоретичного дослідження, імітація реального процесу на обчислювальній машині. Шляхом обчислення на ЕОМ ми замінимо натуральні експерименти. Покажемо для чого потрібні обчислювальні експерименти:

1) Дуже часто,  в багатьох випадках реальний (натуральний) експеримент коштує  дуже дорого. Тоді ці експерименти обчислюють на ЕОМ або розв¢язують відповідні мат моделі.

2) Іноді обчислювальний  експеримент - спосіб отримання даних. Дуже часто реальний експеримент не знаходиться у межах досяжності (т.т. у глибині космосу). Тому будується і аналізується мат модель

3) Коли треба проаналізувати до чого приведе натуральний експеримент (напр. - економічна модель).

Етапи обчислювального експерименту:

1. Сформулювати ціль обчислювального експерименту.

2. Оцінити, кількість ресурсів для експериментального обчислення.

3. Розробити план обчислювального експерименту

4. Реалізувати  всі обчислення, зробити висновки з математичного експерименту. {Математичний експеримент дозволяє відкрити нові явища - це евристична властивість (відкриття явища Т-сфери у плазмі). Особливу роль математичний експеримент грає в експертних и загальних науках } Формулювання висновків і рекомендацій. Їх повинен робити автор моделі із спеціалістом з даної предметної області. 

10. Закон збереження і варіаційні принципи.

Пример1: снаряд вылетел из ствола пушки, нужно выбрать правильную траекторию.

Пример 2: Прогиб струны. Вариационный принцип - наиболее глубокий общий принцип записи законов природы.     к - жёсткость пружины, m- масса тела, х - перемещение груза ( растяжению пружины). В начальном состоянии пружина не деформирована. Состояние системы определяется пар-ром х. Критерий действительного растяжения пружины при помощи вариационного принципа: Подсчитав потенциал Е растяжения пружины . При опускании груза , полная энергия равняется потенциалу Е растяжения пружины без работы опускания груза. . Среди всех перемещений груза действительным будет также значение х при котором W будет минимальным. Форма записи законов природы, в которой действительная траектория отлична от всех возможных тем, что только для действительной траектории некоторый ф-ал достигает мин. значения, наз. вариационным принципом. Впервые вариац. принцип был сформулирован Одом Мопертю, позже Эйлером. Действительной форме прогиба струны соотв. минимум ф-ала.

Первое слагаемое - энергия струны - плотность материала струны Е - модуль Юнга S - площадь сечения. Записав необходимое условие мин. ф-ала I имеем ДР (диф. ур-е) прогиба струны. Действительный прогиб струны даёт ф-алу 1 мин. значение среди всех возможных прогибов. Распределение температуры в теле. Пусть на поверхности S тела задана температура T(x,e,z). Действительному распределению соотв. ф-ция, которая даёт мин. ф-алу

11.Поняття  функції Лагранжа. Принцип найменшої дії.

Розглянемо механічну  систему, яка складається з матеріальних точок або частинок і має n степенів свободи. Стан цієї с-ми Q(q1..qn), де q1..qn –  назвемо узагальненими координатами с-ми. Система змінює стан з часом, тому qn=Q(t) - функція від часу. Q˙=q1˙..qn˙, qi˙=dq/dt 

Пов¢яжемо з даною системою так звану ф-цію Лагранжа L(t,Q,Q˙). Нехай в момент часу t1, система знаходиться в стані Q(1)=Q(t1), а в стані t2>t1- Q(2)=Q(t2). параметри які визначають стан с-ми  ( ). Будемо вважати що функція Лагранжа є функцією параметрів системи швидкості  зміни цих пар-рів та часом  т.т. функція Лагранжа

Розглянемо 2 стана механічної системи. Вар-ний принцип Лагранжа, який ще називається принципом дії Лагранжа полягає в тому, що вважається, що $ така функція L вказаного виду, що інтеграл набуває найменшого значення саме на дійсній траєкторії переходу із стану Q(1) в стан Q(2) в порівнянні з іншими траєкторіями переходу. Це твердження і називається принципом найменшої дії, а інтеграл S назвемо дією за Лагранжем.

Розглянемо властивості  функції Лагранжа:

1.Якщо система складається з 2-х ізольованих частин, які не взаємодіють між собою і LA функція Лагранжа однієї частини, LB-друга функція Лагранжа цих 2-х частин дорівнює LA+LB.

2. Функція Лагранжа визначена з точністю до похідної від довільної функції t и q, т. т. функцій Лагранжа існує безліч, але з точки зору означення функції Лагранжа - всі вони тотожні.

Доведемо, що функція  Лагранжа визначена з точністю до повної похідної за часом від відносної функції координат часу , r - радіус-вектор точки.

Отримаємо, що S* відмінна від S на const, т. т., min(S*,S) досягається на одній і тій же траєкторії переходу від 1 к 2. Таким чином принципової різниці між L и L* нема. Тому кажемо, що L визначена з точністю до повної похідної від координати часу.

Розглянемо функції Лагранжа для вільної точки (частинки). Розглянемо рух деякої матеріальної частинки відносно інерційної системи координат будемо вважати, що частинка не взаємодіє з іншими тілами. Припустимо, що час є однорідним. Це означає, що не існує способу відрізнити один момент часу від іншого, всі моменти часу рівноправні. Це означає, що функція Л. не залежить явно от t. Припустимо, що простір є однорідним, т.т., всі точки простору рівноправні. Це означає, що для вільної частинки положення визначається трьома координатами простору, а це означає, що функція Л. для  вільної частинки може залежати тільки від швидкості. Припустимо, що простір є ізотропним (т.т. всі напрямки у ньому рівноправні). Фактично функція Л. залежить тільки від модуля вектора швидкості, а не від його напрямку. Скористаємось принципом відносності Галілея. Кожна з систем відліку рухається рівномірно і поступально, такі с-ми відліку називають інерційними. Нехай система 2 рухається зі швидкістю відносно системи 1. Припускаємо, що для обох систем координат часу є єдиною. Тоді (закон складання швидкостей Галілея).