Визначимо вид  функції L. Доведемо, що функція L буде мати вид Необхідно довести, що саме при такому виді функції L вона не зміниться при переході з однієї системи координат до іншої або, точніше, зміниться лише на величину повної похідної довільної функції координат часу

Отримали вид  функції Лагранжа для вільної частинки:

1) час є однорідним;

2) простір є  однорідним і ізотропним;

3) Справедливий  принцип відносності Галілея (у всіх інерційних системах відліку  мех. явища протікають однаково).

12. Закон збереження  енергії, як наслідок  однорідності часу.

Докажем, что  ЗСЭ является следствием однородности времени. Это обозначает, что функция Лагранжа не содержит явного времени t. Найдём полную производную от функции Лагранжа.

 

Следовательно .

Функция L является однородной функцией скорости, т.е, однородной функцией степени 2 относительно скорости.

т.е, T+V=const. Получили ЗСЭ.

Импульс механической системы :

, если пространство однородно,  то импульс – величина постоянная

Момент импульса:

Если пространство изотропно, то момент импульса замкнутой  систему – константа.

13. Системи живої природи. Принцип гомеостазу.

Пример: Движение аквариумной рыбки.

Объект живой природы имеет возможность самостоятельно управлять своим поведением в зависимости от конкретных обстоятельств. В живой природе, кроме параметров, которые описывают собственно состояние объекта, нужно ввести параметры, которые характеризуют возможность выбора поведения объекта. В живой природе нельзя предусмотреть поведение объекта. В связи с изучением систем живой природы, вводятся понятия обратной связи, цели, управления, информации. В каждый момент времени элементы живой природы имеют основные черты:

1.Любой элемент  имеет цель;

2. Имеются средства принятия и переработки информации.

3. обратная связь; 

4. Способ принятия решений, связанный с определенными механизмами обратной связи. 5.Механизмы управления, с помощью которого изменяется состояние системы, вследствие обратной связи Обратная связь.  Понятие появилось в технических науках, в частности, в теории автоматического регулирования. Под обратной связью будем понимать такой тип взаимодействия, при котором " объект имеет возможность изменять своё поведение в зависимости от состояния окружающей среды. Объект имеет возможность выбора. Таким образом, чтобы описать обратные связи, необходимо рядом с пар-рами, которые характеризуют состояние системы, ввести так называемые свободные параметры, или параметры управления. Пример системы обратной связи: автопилот. Обр. св. свойственна только объектом живой природы. Для его описания нужно вводить дополнительные параметры управления. Цель.  " объект живой природы характеризуется целью. Можно формализовать цель действий некоторой функцией. Тогда вводится некоторая функция f, которая зависит от пар-ров состояния системы и пар-ров управления. Под целью понимают выбор такого управления, при котором функция f достигает наибольшего значения, она является целевой функцией. Для того, чтобы реализовать управление и обратную связь, объекты жив. природы должны иметь возможность получать информацию о состоянии системы  живой природы. Органы, которые воспринимают информацию об общем состоянии называются рецепторами. Принцип гомеостаза  – общий принцип, кот. характеризует структуру обратных связей.  Рассмотрим фазовое пространство, в которое вводим допустимую обл. Система живой природы существует и функционирует, когда параметры состояния находятся в дополнительной области, если она выходит за границы дополнительной области, она теряет свойства жив природы. " живой организм может $ только при определённых условиях. областью гомеостаза организма или систем организмов, наз. область в пр-ве параметров,  в которой возможно $ данного организма или систем. Выходя за границы этой области, организм погибает. Т.е, при ММ одним из важных этапов должно быть определение области гомеостаза. Одним из общих законов природы можно считать тот, при котором " организм пытается так управлять своим поведением, чтобы не выйти за пределы области гомеостаза. Это утверждение наз. принципом гомеостаза. Границы гомеостаза не являются фиксированными и в результате развития биологических видов они могут изменятся, расширятся. Нужно  учитывать возможности расширения области гомеостаза.

15. Згортання цільових функцій .

Неопределенность  целей можно определить как ситуацию, когда существует несколько целей, которые противоречат одна другой. Пусть создаётся ММ, в основе которой лежит система автоматического проектирования автомобилей.

а) автомобиль должен иметь большую скорость.

б) автомобиль должен быть безопасным, комфортабельным, удобным в управлении. в) авто. должен тратить как можно меньше топлива.

г) себестоимость  минимальна.

$ несколько целей, которые противоречат друг другу. Единой цели не $. Поэтому это наз. неопределённостью целей. Формализуем эту проблему. . Вектор Х характеризует состояние системы. Пусть $ к целей, которые ставятся перед данной системой. Возникает k целей, " из которых $ решение экстремальной задачи. Т.к. " f имеет своё решение, мы не можем получить  единственное решение. Рассмотрим пути для решения проблемы неопределённости целей. Одно направление состоит в том, чтобы перейти от к целевых функций к одной - свёртывание критериев. Вместо к критериев вводится единственный критерий . По сути, образуется линейная комбинация целевых функций, где ,. - весовой коэффициент. Они указывают на относительные значения " целевой функции. Чем больше , тем большее значение задаётся целевой функции. Ключевая проблема состоит в нахождении . Эта проблема лежит за пределами математики. Эти коэффициенты не находятся при помощи мат. средств. Они находятся на основании экспертных оценок.  

16. Метод введення метрики у просторі цільових функцій.

Часто для многих реальных задач не получается сформулировать з-чу мат моделирования. Это случается  вследствии неопределенности с-мы. В таком случае используются неформальные процедуры, т.е. подходы и решения, которое не основываются на опыте и др –факторах. Реальное изучение мат систем –это объединение строго мат действий (формальных) и неформаьных (мат систем) процедур.

Различают 3 типа неопределённости, которые определяют при  ММ: а) неопределённость целей; б) неопределённость внешних обстоятельств (неопределённость природы); в) неопредел. действий партнёра или противника.

Наряду с фазовым  пр-вом ведем пространство целевых  ф-ций. Определим какую-нибудь связь  между точками фазового пр-ва и  пр-ва цел ф-ций.

f₁(p)..f_k(p),                  (f₁^*,..,f_k^*) 

Возьмем "РÎG и вычислим в этой точке значение всех целевых ф-ций. Полученные к чисел рассм, как коорд точки в пр-ве целев ф-ций. Тогда G соответст G_f в пр-ве цел ф-ций, эта обл наз обл достижения –обл всех точек достижения явл образом обл G. Каждой точке обл G_f можно поставить в соотв точку с обл G –прообраз.

Допустим,что  в данной с-ме $ неопред целей, т.е. не $ p^*ÎG в кот все целев ф-ции достиглиб наибольшего значения .Найдем в G max каждой целев ф-ции. Обозначим эти значения

(f₁^*,..,f_k^*). Построим в пр-ве G_f точку (f₁^*,..,f_k^*), очевидно, что эта точка лежит за границами обл G_f. Идея метода в том,что бы взять за компромисное решение, точку доп обл, образ которой в пр-ве целев ф-ций, был бы самой близкой точкой к точке (f₁^*,..,f_k^*). В этом случае введем метрику в пр-ве целевых ф-ций, и рассм способ измерения растояния в этом пр-ве, выбор такого способу и явл не формальной процедурой. Чеще всего испол эвклидовая мтрика. Обозначим через F(p) растояние в эвклидовой метрике 

 

При таком способе  выбора метрики все цели равноправные, фактически в этом и содержится не формальность решения. Для того придать  большего или меньшего значения отдельным  цел ф-ям вводят матрицу R, считаем, что R полож опред и симметричная. 

 

Элементы матрицы R получим путем не формальной процедуры (волевое решение, м-д эксперт  оценок). Тогда растоян между 2 точками  в пр-ве целев ф-ций:  

получим однокритериальную з-чу: F(p)-> min или (-F(p))-> max в результате получим одноэкстр з-чу.

17. Принцип Паретто.

Неопред. целей - ситуация, когда система имеет несколько целей, которые нельзя достичь одновременно.

Формализуем эту  проблему. Пусть  вектор характеризует состояние системы.

Пусть с-ма имеет  к целей. Считаем, что  цели записываются в виде след. задачи:

Неопр. целей  в том, что в G нет точки, в кот достигается максимум всех целевых ф-ий. Рассмотрим путь для решения проблемы неопределённости целей.

М-д  Паретто

Идея м-да –  из допустимой обл-ти исключаются точки, неконкурентноспособные при выборе опт решения.

Опр: т. P* мн-ва G наз улучшающей, точкой  (УТ) этого мн-ва, если в G сущ-ет другая тP^, такая, что

, при этом хотя-бы одно из нер-в строгое.

Исключим из G все УТ.  Оставшиеся точки образуют мн-во , кот наз мн-вом Паретто – мн-во не содержащее УТ.

Поиск и исключение УТ явл формальной мат процедурой. Мн-во Паретто существенно уже исходного мн-ва. Часто оно настолько мало, что позволяет выбрать точку волевым решением. 

 Пример построения мн. Парето. Пусть вектор определяется 2 пар-рами

построим множество где " из точек должна быть улучшена. .  

 

Из рисунка  видно, что множеством Парето явл. отрезок (0,0)-(1,1).

18. Невизначеність природи.

Під невизначеністю природи (НП) розуміють ситуацію, коли відома або неповна, або недостовірна інформація про поведінку зовнішнього світу.  В цих умовах необхідно регулювати роботу системи, створити повну ММ неможливо.

Озн:  Параметрами невизн-сті  буд наз парам зовн світу, що не можуть бути відомі наперед.

Позначимо через  параметр, що хар-є невизн природи.  

 Нехай стан  с-ми описується пар-ми стану  - вважаємо, що вектор належить д-я обл фазового пр-ру G.

Пов¢яжемо с данною с-мою д-я певну ціль, яку формалізуємо у вигляді ціл ф-цій: f(p₁..p_n)->max –вважаємо, що невизн цілей немає. Однак вигляд ціл-их ф-цій істотно залеж від того, які саме конкретні хар-ки невизн ми приймаєм.  Включимо в список аргументів ціл ф-цій і параметри невизн:f(P,A).

Принцип гарантированного результата -

Идея состоит  в том, чтобы решать задачи в допущении  наихудшего варианта, т.е, допускаем, что  экстремальные значения пар-ра А  обязательно будут достигаться. В результате получаем такую задачу:

Т.е. значение f*-это значение целевой функции, которое можно получить в худших условиях, если выполнять все наилучшим образом.

В этом идея гарантированного результата, f*- наз гарантованям результатом.

Відмовляючись від принципу гаран рез-ту, щоб покращити зн-ня ціл ф-ції, ми вимушені зробити певні гіпотези відностно зн-нь параметрів невезн-ті, але при цьому вже неможна гарантувати цілісність с-ми. Така ситуація наз ситуацією ризику. Гіпотези ризику –гіпотези про те, які зн-ня будуть набувати параметри ризику, є результатом неформальної процедури.

Риск - это дополнительная гипотеза, которая   сужает множество  . Тогда будет больше на узком множестве. Эта гипотеза тоже $ за пределами математики и принимается волевым решением. 

19. Оганізація експертиз.

Експертизи бувають  прості і складні. Розглянемо прості екс-зи. Формулюється питання, яке є  предметом екс-зи. Питання повинно  бути сформульоване таким чином, щоб на нього можна було дати однозначно чітку відповідь. Для цього запрошується група фахівців, які можуть дати відповідь на сформ питання , причому кожен дає відповідь не залежно від інших. Потім відбув мат обробка відповідей і формулюється остаточний результат екс-зи. Характерна риса простої екс-зи полягає в тому, що кожен екс-т має достатню компетентність, щоб відповісти на поставлене питання. Тому прості екс-зи стосуються відносно декількох явищ. Приклад складної експертизи: Нехай треба ввести в експлуатацію родовище корисних копалин. Треба оцінити скільки треба років, щоб ввести це родовище в експлуатацію, для правильноті оцінки терміну треба знати: 1. Повну інформацію про форми, глибину… Відповідь може дати тільки фахівець –геолог. 2. Потрібні необх комунікації. 3. Забеспечення будівництва житла для робітників (фахівець-будівельник ) 4. Розробка технологій видобутки корисних копалин. 5. Технічні засоби. 6. Безпека життєдіяльності, екологія. Зрозуміло, що не існує фахівця, який знав би всі ці напрямки діяльності. Тому жоден фахівець не даст певну відповідь про час закінчення розробки. Т.т. методом простої екс-зи не можно дістати відповідь. Однак можна провести екс-зу за умов її правової організації. Ідея полягає в тому, щоб кожен фахівець, який бере участь давав відповідь на більш вузьке запитання у межах своєї компетенції. Глабальна вілповідь формулюється шляхом формальних методів. Метод дерева цілей. Позначимо через S подію відносно якої треба дати відповідь. Для того щоб ця подія відбулася, попердньо повинні відбутися події s₁..s_n, або їх комбінація. Наприклад: s₁-геологічна зйомка, s₂-проведення комунікацій, s₃- побудова житла. Кінцева подія рощеплюється на сукупність значно простіших ел-тів. Такий процес наз декомпозицією. Маючи тепер набір елементарних подій, легко знайти компетентних екс-тів для простої екс-зи кожної з цих подій. Одержавши відповідь для елементарних подій можно засобами мат логіки сформулювати відповідь на глобальне запитання.