Линейные и нелинейные модели. транспортная задача

      В развитии экономики неопределённость вызывается тем, что ход планируемых  и управляемых процессов, а также  внешние воздействия на эти процессы не могут быть точно предсказаны  из-за действия случайных факторов и ограниченности человеческого познания в каждый момент. Особенно характерно это для прогнозирования научно- технического прогресса, потребностей общества, экономического поведения. Неполнота и неточность информации об объективных процессах и экономическом поведении усиливают истинную неопределённость.

      На  первых этапах исследований по моделированию  экономики применились в основном модели детерминистского типа. В этих моделях все параметры предполагаются точно известными. Однако, детерминистские  модели неправильно понимать в механическом духе и отождествлять их с моделями, которые лишены всех “степеней выбора” (возможностей выбора) и имеют единственное допустимое решение. Классическим представителем жёстко детерминистских моделей  являлась оптимизационная модель народного  хозяйства, которая применялась  для определения наилучшего варианта экономического развития среди множества  допустимых вариантов.

      В результате накопления опыта использования  жестко детерминистских моделей  были созданы реальные возможности  успешного применения более совершенной  методологии моделирования экономических  процессов, учитывающих стохастику и неопределённость. Здесь можно  выделить такие основные направления  исследований как: усовершенствование методики моделей жестко детерминистского типа, проведение многовариантных расчётов и модельных экспериментов с  вариацией конструкции модели и  её исходных данных, изучение устойчивости и надежности получаемых решений, выделение  зоны неопределённости, включение в  модель резервов, применение приёмов, повышающих приспособляемость экономических  решений вероятным и непредвиденным ситуациям, а также распространение  моделей, непосредственно отражающих сложность и неопределённость экономических  процессов и соответствующий  математический аппарат: теорию вероятностей и математическую статистику, теорию игр и статистических решений, теорию массового обслуживания, стохастическое программирование, теорию случайных  процессов.

7. Классификация экономико-математических моделей

      Для классификации математических моделей  экономических процессов и явлений  используются разные признаки (рисунок 1.4.).

      По  целевому назначению экономико-математические модели делятся на теоретико-аналитические, используемые в исследованиях общих  свойств и закономерностей экономических  процессов, и прикладные, применяемые  в решении конкретных экономических  задач (модели экономического анализа, прогнозирования, управления).

      При классификации моделей по исследуемым  экономическим процессам и содержательной проблематике можно выделить модели макро- и микроэкономики, а также  комплексы моделей производства, потребления, формирования и распределения  доходов, трудовых ресурсов, ценообразования, финансовых связей и т.д. Остановимся  более подробно на характеристике таких  классов экономико-математических моделей, с которыми связаны наибольшие особенности методологии и техники  моделирования.

Рисунок 1.4. Признаки классификации экономико-математических моделей

      В соответствии с общей классификацией математических моделей они подразделяются на функциональные и структурные, а  также включают промежуточные формы (структурно - функциональные). В исследованиях  он макроэкономическом уровне чаще применяются  структурные модели, поскольку в  планировании и управлении большое  значение имеют взаимосвязи подсистем. Типичными структурными моделями являются модели межотраслевых связей. Функциональные модели широко применяются в экономическом  регулировании, когда на поведение  объекта (“выход”) воздействуют путём  изменения «входа». Примером может  служить модель поведения потребителей в условиях рыночных отношений. Один м тот же объект может описываться  одновременно и структурной, и функциональной моделью. Так, например, для планирования отдельной отраслевой системы используется структурная модель, а на макроэкономическом уровне каждая отрасль может быть представлена функциональной моделью.

      Следующим признаком является характер модели- дескриптивная или нормативная. Дескриптивные модели отвечают на вопрос: как это происходит? или как  это вероятнее всего может  дальше развиваться?, т.е. они только объясняют наблюдаемые факты  или дают вероятный прогноз. Нормативные  модели отвечают на вопрос: как это  должно быть?, т.е. предполагают целенаправленную деятельность. Типичным примером нормативных  моделей являются модели планирования, формализующие тем или иным способом цели экономического развития, возможности  и средства их достижения.

      Применение  дескриптивного подхода в моделировании  экономики объясняется необходимостью эмпирического выявления различных  зависимостей в экономике. Установления статистических закономерностей экономического поведения социальных групп, изучения вероятных путей развития каких-либо процессов при не изменяющихся условиях или протекающих без внешних  воздействий. Примерами дескриптивных  моделей являются производственные функции покупательского спроса, построенные на основе обработки  статистических данных.

      Является  ли экономико-математическая модель дескриптивной  или нормативной, зависит не только от её математической структуры, но от характера использования этой модели. Например, модель межотраслевого баланса дескриптивная, если она используется для анализа пропорций прошлого периода. Но эта же математическая модель становится нормативной, когда она применяется для расчётов сбалансированных вариантов развития макроэкономических процессов.

      Многие  экономико-математические модели сочетают признаки дескриптивных и нормативных  моделей. Типична ситуация, когда  нормативная модель сложной структуры  объединяет отдельные блоки, которые  являются частными дескриптивными моделями. Например, межотраслевая модель может  включать функции покупательского  спроса, описывающие поведение потребителей при изменении доходов. Подобные примеры характеризуют тенденцию  эффективного сочетания дескриптивного и нормативного подходов к моделированию  экономических процессов, дескриптивный  подход широко применяется в имитационном моделировании.

      По  характеру отражения причинно-следственных связей различают модели жёстко- детерминистские  и модели, учитывающие случайность  и неопределённость, при этом необходимо различать неопределённость, для  описания которой законы теории вероятностей неприменимы. данный тип неопределенности гораздо более сложен для моделирования.

      По  способам отражения фактора времени  экономико-математические модели делятся  на статистические и динамические. В статистических моделях все  зависимости относятся к одному моменту или периоду времени, динамические модели характеризуют  изменения экономических процессов  во времени. По длительности рассматриваемого периода времени различаются  модели краткосрочного (до года), среднесрочного (до 5 лет), долгосрочного (10-15 и более  лет) прогнозирования и планирования. Само время в экономико-математических моделях может изменяться либо непрерывно, либо дискретно.

      Модели  экономических процессов чрезвычайно  разнообразны по форме математических зависимостей. Особенно важно выделить класс линейных моделей, наиболее удобных  для анализа и вычислений и  получивших вследствие этого большое  распространение. Различия между линейными  и нелинейными моделями существенны  не только с математической точки  зрения, но и в теоретико-экономическом  отношении, поскольку многие зависимости  в экономике носят принципиально  нелинейный характер: эффективность  использования ресурсов при увеличении производства, изменение спроса и  потребления населения при увеличении производства, изменение спроса и  потребления населения при росте  доходов и т.п.

      По  соотношению экзогенных и эндогенных переменных, включаемых в модель, они  могут разделяться на открытые и  закрытые. Полностью открытых моделей  не существует; модель должна содержать  хотя бы одну эндогенную переменную. Полностью  закрытые экономико-математические модели, т.е. не включающие экзогенных переменных, исключительно редки; их построение требует полного абстрагирования  от “среды”, т.е. серьёзного упрощения  реальных экономических систем, всегда имеющих внешние связи. Подавляющее  большинство экономико-математических моделей занимает промежуточное  положение, и различаются по степени  открытости (закрытости).

      В зависимости от этапности принимаемых  решений модели бывают одноэтапные  и многоэтапные. В одноэтапных  задачах требуется принять решение  относительно однократно выполняемого действия, а в многоэтапных оптимальное  решение находится за несколько  этапов взаимосвязанных действий.

      В зависимости от характера системы  ограничений выделяются модели обычного вида и специальные виды (транспортные, распределительные задачи), отличающиеся более простой системой ограничений  и возможностью благодаря этому  использовать более простые методы решения.

      Таким образом, общая классификация экономико-математических моделей включает более десяти основных признаков. С развитием экономико-математических исследований проблема классификации  применяемых моделей усложняется. Наряду с появлением новых типов  моделей (особенно смешанных типов) и новых признаков их классификации  осуществляется процесс интеграции моделей разных типов в более  сложные модельные конструкции.

8.   Экономико-математическая модель оптимизационной задачи

      Обязательными элементами экономико-математической модели оптимизационной задачи являются переменные параметры процесса, ограничения задачи и критерии оптимальности (рисунок 1.5). 

Рисунок 1.5. Элементы математической модели оптимизационной  задачи.

     При этом, переменные параметры процесса это - набор неизвестных величин, численные значения которых определяются в ходе решения и используются для рациональной организации процесса, ограничения задачи символическая  запись обязательных условий организации  данного процесса (как правило, линейные неравенства или уравнения), критерий оптимальности экономический показатель, сведение которого к максимуму или  минимуму говорит о наиболее полном достижении целей оптимизации. Запись критерия в виде функции от переменных задачи называется целевой функцией.