Линейные и нелинейные модели. транспортная задача

      Так, например, в рассмотренном выше цикле  имеем отрицательные вершины  и ; следовательно, выбрав   , мы получаем:

старые  значения: ;

новые значения:

т. е. вместо прежнего базисного решения получаем новое базисное решение:

Таблица 5:

 

Выбор в качестве х минимального среди  чисел, стоящих в отрицательных  вершинах цикла, обеспечивает допустимость нового базиса.

      Если  минимальное значение среди базисных неизвестных, стоящих в отрицательных  вершинах цикла, принимается не в  одной отрицательной вершине, то свободной оставляют только одну из них, а в других клетках с  тем же минимальным значением  пишут нули. В этом случае новое  базисное решение будет вырожденным.

      Может случиться, что и само минимальное  значение среди чисел в отрицательных  клетках равно нулю. Тогда преобразование таблицы перевозок сведется к перестановке этого нуля в свободную клетку. Значения всех неизвестных при этом остаются неизменными, но решения считаются различными, так как различны базисы. Оба решения вырождены.

      Описанное выше преобразование таблицы перевозок, в результате которого преобразуется  базис, называется пересчетом по циклу.

      Заметим, что неизвестные, не входящие в цикл, этим преобразованием не затрагиваются, их значения остаются неизменными и  каждое из них остается либо в группе базисных, либо в группе свободных неизвестных, как и до пересчета.

      Выясним теперь, как пересчет по циклу влияет на общий объем затрат на перевозки  и при каком условии эти  затраты становятся меньше.

      Пусть – некоторое свободное неизвестное, для которого мы построили цикл и осуществили пересчет по циклу с некоторым числом . Если вершине цикла, находящейся в строке и столбце таблицы перевозок, приписан знак “+”, то значение неизвестного , находящегося в этой вершине, увеличивается на , что в свою очередь вызывает увеличение затрат на . где – тариф, соответствующий этой клетке; если же указанной вершине приписан знак “–”, то значение неизвестного уменьшается на , что вызывает уменьшение затрат на .

      Сложим  тарифы, соответствующие положительным  вершинам цикла, и вычтем из этой суммы  сумму тарифов, соответствующих  отрицательным вершинам цикла; полученную разность назовем алгебраической суммой тарифов для данного свободного неизвестного . Подсчет алгебраической суммы тарифов можно истолковать и так: припишем тарифам те же знаки, которые приписаны соответствующим вершинам цикла, тогда алгебраическая сумма тарифов равна сумме таких тарифов со знаком (“относительных тарифов”).

      Теперь, очевидно, мы можем, заключить, что в  целом при пересчете но циклу, соответствующему свободному неизвестному общий объем затрат на перевозки изменится на произведение алгебраической суммы тарифов на , т. е. на величину . Следовательно, если алгебраическая сумма тарифов для некоторого свободного неизвестного отрицательна , то пересчет по циклу, соответствующему этому неизвестному, приводит к уменьшению общей суммы затрат на реализацию плана перевозок. Если же алгебраическая сумма тарифов положительна , то пересчет по соответствующему циклу приведет к увеличению общей суммы затрат. И, наконец, если алгебраическая сумма тарифов равна нулю , то пересчет по соответствующему циклу не изменит общую сумму затрат (два различных базисных плана требуют одинаковых затрат на их реализацию).

      Так, например, для цикла  в рассмотренной задаче алгебраическая сумма тарифов

.

Значит, пересчет по этому циклу снижает  расходы. И действительно, осуществив такой пересчет, мы получаем план, по которому объем перевозок в тонно-километрах составляет

тогда как по исходному плану он составил . Имеем снижение объема перевозок на 1200 тонно-километров, что и следовало ожидать, так как алгебраическая сумма тарифов в данном случае равна –15, а пересчет по циклу осуществляется с помощью числа (изменение затрат равно ).

      Вычисление  алгебраической суммы тарифов для  каждого из свободных неизвестных можно производить без построения соответствующего цикла, пользуясь, так называемыми, потенциалами. Припишем каждой базе , некоторое число и каждому потребителю некоторое число :

,

так что

,

где – тарифы, соответствующие клеткам, заполненным базисными неизвестными. Эти числа и называются потенциалами соответствующих баз и потребителей.

      Зная  потенциалы, легко вычислить алгебраическую сумму тарифов. Действительно, если в алгебраической сумме тарифов по циклу, соответствующему свободному неизвестному , заменить тарифы базисных клеток их выражениями через потенциалы по формулам (4.1), то, в силу чередования знаков при вершинах цикла, все потенциалы,  кроме и сократятся, и мы получим:

.

Так, например, для цикла  в рассмотренной выше задаче имеем

.

      Для базисных клеток сумма потенциалов  строки и столбца, в которых находится  эта клетка, равна тарифу, соответствующему этой клетке; если же клетка для неизвестного свободная, то сумму потенциалов

называют  косвенным тарифом этой клетки. Следовательно, алгебраическая сумма тарифов для свободной клетки равна разности ее настоящего (“истинного”) и косвенного тарифов:

      Из (4.3) следует, что если косвенный тариф  для данной свободной клетки больше её истинного тарифа, то алгебраическая сумма тарифов по циклу, соответствующему этой клетке, будет отрицательна; если же косвенный тариф меньше истинного, то алгебраическая сумма тарифов положительна, и, наконец, если косвенный тариф равен истинному, то алгебраическая сумма тарифов равна нулю.

      Потенциалы  можно найти из системы равенств (4.1), рассматривая их как систему уравнений с неизвестными. Так как неизвестных здесь на единицу больше, чем уравнений, то, по крайней мере, один из потенциалов мы можем выбрать произвольно, положив, например, ; тогда остальные потенциалы легко определяются из уравнений (4.1).

      Например, для плана, полученного по диагональному  методу в рассмотренной выше задаче, имеем

  Система содержит семь уравнений с восемью  неизвестными. Выбирая произвольно  значение , находим последовательно из первых трех уравнений значения , , , затем из четвертого уравнения – , из пятого уравнения – , из шестого уравнения и, наконец, из седьмого уравнения – .

  Положив, например, , получаем значения потенциалов: 

 

Найдем  теперь косвенные тарифы для свободных  клеток и сравним их с истинными  тарифами:

Для клеток с неизвестными и косвенные тарифы больше истинных. Следовательно, для них мы будем иметь отрицательные алгебраические суммы тарифов: 

 

      Значение  мы уже имели раньше, вычисляя алгебраическую сумму тарифов для этой клетки непосредственно по циклу.

      Замечание 1. Подсчитывая косвенные тарифы как суммы соответствующих потенциалов, полезно не пропускать и клетки с базисными неизвестными (заполненные клетки). Для этих клеток сумма потенциалов равна истинному тарифу; последнее может служить проверкой правильности найденных значении потенциалов.

      Замечание 2. Можно показать, что если сумму всех затрат по данному плану перевозок выразить через свободные неизвестные [для этого надо исключить базисные неизвестные из выражения для S, см. формулу (2.4)], то коэффициент при каждом из таких неизвестных будет равен алгебраической сумме тарифов по циклу, соответствующему ей в таблице перевозок. Это еще раз подтверждает, что пересчет по циклам является специфической формой применения симплекс-метода к решению транспортной задачи.

4. Критерий  оптимальности базисного  решения транспортной задачи. Методы отыскания оптимального решения

      Из  сказанного в предыдущем пункте вытекает следующий критерий оптимальности базисного решения транспортной задачи: если для некоторого базисного плана перевозок алгебраические суммы тарифов по циклам для всех свободных клеток неотрицательны, то этот план оптимальный.

      Отсюда  вытекает способ отыскания оптимального решения транспортной задачи, состоящий  в том, что, имея некоторое базисное решение, вычисляют алгебраические суммы тарифов для всех свободных клеток. Если критерий оптимальности выполнен, то данное решение является оптимальным; если же имеются клетки с отрицательными алгебраическими суммами тарифов, то переходят к новому базису, производя пересчет по циклу, соответствующему одной из таких клеток. Полученное таким образом новое базисное решение будет лучше исходного – затраты на его реализацию будут меньшими. Для нового решения также проверяют выполнимость критерия оптимальности и в случае необходимости снова совершают пересчет по циклу для одной из клеток с отрицательной алгебраической суммой тарифов и т. д.

      Через конечное число шагов приходят к  искомому оптимальному базисному решению.

      В случае если алгебраические суммы тарифов  для всех свободных клеток положительны, мы имеем единственное оптимальное решение; если же алгебраические суммы тарифов для всех свободных клеток неотрицательны, но среди них имеются алгебраические суммы тарифов, равные нулю, то оптимальное решение не единственное: при пересчете по циклу для клетки с нулевой алгебраической суммой тарифов мы получим оптимальное же решение, но отличное от исходного (затраты по обоим планам будут одинаковыми).