Экономико-математическое моделирование

Примерное распределение  площадей под кривой функции плотности стандартного нормального распределения 

2.6.1. Распределение хи-квадрат

Определение. Пусть случайные величины X₁,X₂,…,Xn — независимы, и каждая из них имеет стандартное нормальное распределение N(0, 1). Говорят, что случайная величина χ_n², определенная как:

 
имеет распределение  хи-квадрат с n степенями свободы. Для обозначения этого распределения также обычно используется выражение χ_n²

Ясно, что χ² (для любого п ≥1) с вероятностью 1 принимает положительные значения.

Если s² – дисперсия случайной  выборки объема n из генеральной совокупности с дисперсией σ², то случайная переменная

подчинена  χ²-распределению с параметром ν=n-1 (число степеней свободы).Форма χ²-распределения зависит только от числа степеней свободы. 
 

Функции плотности  распределения хи-квадрат с различным числом степеней свободы п

Определение. Пусть случайные величины Xо,X₁, … ,Xn — независимы, и каждая из них имеет стандартное нормальное распределение N(0,1). Введем случайную величину

распределение называют распределением Стьюдента. Саму случайную величину часто называют стьюдентовскои дробью, стьюдентовым отношением и т.п. Число n,

  n = 1,2,... называют числом степеней свободы распределения Стьюдента.

К данному распределению  можно подойти иначе. Случайная  величина t, определенная как

имеет распределение  Стьюдента, или t-распределение, если случайная величина X имеет нормальное распределение. Форма распределения не зависит от величин s и σ, а зависит только от числа степеней свободы ν = n-k, где k- число оцениваемых параметров. 
 
 

Функции плотности  распределения Стьюдента с различным числом степеней свободы п.

Таблицы. В сборниках обычно приводятся таблицы процентных точек для последовательных п = 1,2, ... вплоть до некоторого значения. При больших п обычно рекомендуют использовать таблицы стандартного нормального распределения, иногда с поправками. 

. F-pacnpe деление

Определение. Пусть Y₁,…,Y_n; X₁,…,X_n (где m, n — натуральные числа) обозначают независимые случайные величины, каждая из которых распределена по стандартному нормальному закону N(0, 1). Говорят, что случайная величина F, определенная как

имеет F-распределение с параметрами шип. Натуральные числа m, n называют числами степеней свободы.

F-распределение называют также распределением дисперсионного отношения. Если s₁² и s₂ ² -дисперсии независимых случайных выборок объема n₁  и  n₂   из двух нормально распределенных генеральных совокупностей, то случайная переменная

              где     

подчиняется F-распределению с параметрами ν₁= n₁-1 и ν₂ =n₂-1. 

Функции плотности  F -распределения с различным числом степеней свободы

Таблицы. Семейство F-распределений зависит от двух натуральных параметров т и п, в связи с чем даже таблицы процентных точек занимают большой объем. Ради экономии места они часто публикуются в сжатом виде, поэтому при их практическом использовании приходится прибегать к дополнительным вычислениям и интерполяции.