Автор работы: Давыдов Максим, 31 Мая 2010 в 20:57, шпаргалка
лекции
1.2.
СОБЫТИЯ И ИХ
ВЕРОЯТНОСТИ
Хотя результаты эксперимента (наблюдений, опыта), зависящего от случайных факторов, Нельзя предсказать, все же разные возможные его исходы и связанные с ними события имеют неодинаковые шансы на появление. Количественное описание правдоподобия отдельных исходов и событий основывается на понятии вероятности. Предполагается, что каждому событию, возможному в данном случайном испытании, может быть приписана числовая мера его правдоподобия, называемая его вероятностью. Если, скажем, А есть случайное событие, то его вероятность обычно обозначается через Р(А). (Буква Р — начальная в латинском слове «вероятность».) Вероятность невозможного события (которое никогда не происходит) принимается равной 0, а вероятность достоверного события (которое происходит всегда) принимается равной 1. Поэтому для любого события А: О£ Р(А) £1.
Свойства вероятности просты, естественны и, в общем, известны каждому. Однако перёд тем, как рассказывать о них, необходимо дать некоторые определения, касающиеся случайных событий.
Случайные события.
Объединением, или суммой событий А и В называют событие С, которое состоит в том, что происходит хотя бы одно из событий А и В. (С происходит тогда и только тогда, когда происходит либо А, либо В, либо оба вместе.) Обозначение:
С = АÈВ, или С = А + В.
Пересечением, или произведением событий А и В называют событие С, которое состоит в том, что происходят оба события А и В. Обозначение:
С = АÇВ, или С = АВ.
Отрицанием события А называют такое событие, которое состоит в том, что А не происходит. Обозначение для него `А.
Событие, которое при нашем случайном испытании обязательно происходит, называют достоверным; которое не может произойти — невозможным. Вероятность достоверного события равна 1; вероятность невозможного события равна 0.
Если события А и В не могут произойти одновременно (т.е. если АВ — невозможное событие), их называют несовместимыми. Несовместимы, например, события А и `А. В то же время А + `А — событие достоверное.
Например, при бросании игральной кости:
Свойства вероятности. Теперь свойства вероятности перечислить просто:
3. Вероятность достоверного события равна 1, а невозможного события — нулю.
Для полного описания случайного эксперимента нужно указать все его возможные исходы и их вероятности. Например, бросание игральной кости, имеющей форму куба, приводит к выпадению одной из ее шести граней. Это шесть элементарных исходов, т.е. неразложимых на более простые. Если кость, как говорят, правильная, то эти шесть исходов равноправны и поэтому должны иметь равные вероятности. Следовательно, вероятность каждого из них равна 1/6. Вероятности остальных (составных) событий может быть вычислена из приведенных выше свойств вероятности. Например, вероятность Р(В) события В, состоящего в том, что в результате бросания кости выпадет 3 или 6 очков, равна 1/3. Действительно, это событие является объединением двух несовместимых событий: «выпало 3 очка» и «выпало 6 очков», вероятность каждого из которых равна 1/6. Аналогично, вероятность Р(А) события А, состоящего в том, что в результате бросания кости выпадет меньше 4 очков, равна 1/2.
Не будем далее развивать эту тему, оставив ее теории вероятностей. Но все же нам придется ввести еще два важных понятия — независимости событий и условной вероятности.
Независимость событий.
Определение 1. События Аи В называются независимыми, если Р(АВ) = Р(А) Р(В).
На практике независимость событий обычно устанавливается не с помощью проверки этого равенства, а из условий опыта и других содержательных соображений. При этом указанное соотношение можно использовать для вычисления вероятности событий АВ через вероятности событий А к В. Понятие независимости очень существенно для теории вероятностей. То, насколько в своей математической форме понятие независимости соответствует нашим интуитивным представлениям, лучше всего разобрать с помощью понятия условной вероятности.
Условная вероятность. Для простоты мы рассмотрим, как можно определить понятие условной вероятности в случайном испытании с конечным числом исходов. Пусть W— совокупность всех таких исходов, ш обозначает произвольный элементарный исход, Р(w) — его вероятность. Любые события А и В в этом опыте представляют собой некоторые подмножества W, поскольку она состоят из элементарных исходов. Обозначим через Р(А | В) условную вероятность события А, при условии, что произошло событие В. Достаточно определить условную вероятность для элементарных исходов w. Те исходы w, которые не входят в В, невозможны при наступлении события В, поэтому для них следует положить условную вероятность равной нулю:
Р(w | В) = 0, если wÏ В.
Для исходов w, входящих в В, сумма их вероятностей равна Р(В), а сумма их условных вероятностей должна быть равна единице. Но при наступления В событие В является достоверным, поэтому согласно свойству 3 вероятностей Р(В\В) равно 1. Чтобы это условие выполнялось, естественно положить для wÎВ:
P(w|B) = Р(w)/P(B).
Теперь
мы можем определить условную вероятность
для любого события А.
Определение. Условная вероятность события А при условии В есть
Из этого определения легко вывести, что:
Это соотношение в общем случае (когда число элементарных исходов не обязательно конечно) и принимают за определение условной вероятности. Из него легко следует известная формула умножения вероятностей:
Р(АВ) = Р(А|В)Р(В).
Заметим, что равноправие событий ан В позволяет написать также, что Р(АВ) = Р(В | А)Р(А).
С помощью понятия условной вероятности мы можем дать другое определение независимости событий.
Определение 2. Событие А не зависит от события В, если
P(A|B)=P(A).
Иначе говоря, событие А не зависит от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло или нет событие J3. Нетрудно показать, что два определения независимости события А от В, данные выше, эквивалентны. Так же можно показать, что если А не зависит
от В, то и В не зависит от А. Единственная оговорка, которую надо добавить к сказанному, — что условную вероятность можно определять таким образом, лишь если Р(В) > 0.
1.3. Измерения вероятности
Раз мы ввели
понятие вероятности как
Умозрительный способ определения численного значения вероятности зиждется, в основном, на понятии равновозможности тех или иных исходов эксперимента. Мы уже прибегали к помощи этого соображения при обсуждении бросания игральной кости. Основная область приложения этого принципа — случайный выбор и азартные игры. Поэтому принцип равновозможности исходов эксперимента имеет ограниченное применение. Кроме того, выводы из этого принципа всегда относятся к некому идеальному случайному опыту, и то, насколько им подчиняется реальный эксперимент, само зачастую нуждается в проверке.
Измерение вероятности события отличается от измерения других физических величин. Для массы, скорости, температуры и большинства других физических величин есть специальные приборы, позволяющие выразить их числом (что и означает измерить). К сожалению, для вероятности такого прибора нет. Все же прямое измерение вероятности возможно, оно основано на независимых повторениях случайного эксперимента.
Пусть в определенном случайном эксперименте нас интересует вероятность некоторого события А. Допустим, что мы можем многократно осуществлять этот эксперимент в неизменных условиях, так что от опыта к опыту Р(А) не меняется. Проведем N таких повторений (иногда говорят — реализаций) этого опыта. Число N не должно зависеть от исходов отдельных опытов; например, оно может быть назначено заранее. Подсчитаем число тех опытов из N, в которых событие А произошло. Обозначим это число через N(A). Рассмотрим отношение N(A)/N — частоту события А в N повторениях опыта. Оказывается, частота N(A)/N приблизительно равна Р(А), если число повторений N велико.
Указанная связь между частотой события и его вероятностью составляет содержание теоремы Бернулли, о которой подробнее мы будем говорить в главе 4. Там будет дана ее точная формулировка и доказательство. Кроме того, важен и вопрос о достигаемой точности приближения
частоты к вероятности, в частности, о числе опытов, необходимых для получения заранее указанной точности. Этому второму вопросу должно предшествовать прояснение содержания статистической точности, которое реализуется через посредство доверительных интервалов. Об этом речь пойдет в главе 5.
Итак, задав вопрос об измерении вероятностей, мы столкнулись с неприятной неожиданностью — это измерение оказалось, во-первых, непростым с чисто физической точки зрения (многократное повторение опыта), а во-вторых, сопряженным с довольно сложными и новыми понятиями.
Особо надо подчеркнуть, что описанные выше опыты должны происходить независимо друг от друга в неизменных условиях, чтобы вероятность события сохранялась постоянной. При большом числе повторений опытов соблюсти это требование зачастую оказывается нелегко. Даже небольшие отклонения от статистической устойчивости могут оказать воздействие на результаты, особенно при высоких требованиях к точности выводов. Не говоря уже о том, что повторения опытов, да еще многократные, далеко не всегда возможны.
1.4.
Случайные величины.
Функции распределения
В случайных экспериментах нас часто интересуют такие величины, которые имеют числовое выражение. Например, у каждого человека имеется много числовых характеристик: рост, возраст, вес и т.д. Если мы выбираем человека случайно (например, из группы или из толпы), то случайными будут и значения указанных характеристик. Чтобы подчеркнуть то обстоятельство, что измеряемая по ходу опыта численная характеристика зависит от его случайного исхода и потому сама является случайной, ее называют случайной величиной.