Системы одновременных уравнений

Структурная и приведенная  формы уравнений

 

Структурной формой модели (системой одновременных уравнений) называется система уравнений, в каждом из которых помимо объясняющих переменных могут содержаться объясняемые переменные из других уравнений.

Уравнения, составляющие исходную модель, называются структурными уравнениями модели.

где у и х— зависимая и независимая переменные,  e₁ и е₂ — случайные члены, а (α,β) — параметры модели.

Параметры структурной формы модели называются структурными коэффициентами.

Структурная форма модели обычно включает в систему  не только уравнения, отражающие взаимосвязи между отдельными переменными, но и уравнения, отражающие тенденцию развития явления, а также разного рода уравнения-тождества. Тождества не содержат каких-либо подлежащих оценке параметров, а также не включают случайного члена.

В процессе оценивания параметров одновременных  уравнений следует различать  эндогенные и экзогенные переменные. Приставки «эндо» и «экзо» означают соответственно внутреннее и внешнее.

Эндогенными считаются переменные, значения которых определяются внутри модели. Это зависимые переменные, число которых равно числу уравнений системы.

Экзогенными считаются переменные, значения которых определяются вне модели. Это заданные переменные, влияющие на эндогенные переменные, но не зависящие от них.

В качестве экзогенных могут рассматриваться  значения эндогенных переменных за предшествующий период времени (лаговые переменные).

Предполагается, что в каждом уравнении экзогенные переменные некоррелированы со случайным членом.

В общем  случае эндогенные переменные коррелированы  со случайным членом, поэтому применение МНК к структурной форме модели приводит к смещенным и несостоятельным оценкам структурных коэффициентов.

Для определения  структурных коэффициентов структурная  форма модели преобразуется в приведенную форму.

Приведенной формой модели называется система уравнений, в каждом из которых эндогенные переменные выражены только через экзогенные переменные и случайные составляющие.

Например, приведенная форма исходной модели имеет вид

где а' — параметры приведенной формы, а v₁ и v₂ — случайные члены.

Параметры приведенной формы модели называются коэффициентами приведенной формы (приведенными коэффициентами). Коэффициенты приведенной формы оцениваются обычным МНК, поскольку экзогенные переменные некоррелированы со случайным членом.

Оцененные коэффициенты приведенной формы  могут быть использованы для оценивания структурных коэффициентов. Такой способ оценивания структурных коэффициентов называется косвенным методом наименьших квадратов.

Тот или  иной структурный коэффициент может  либо однозначно выражаться через приведенные коэффициенты, либо иметь несколько разных оценок, либо совсем не выражаться через них.

Структурный коэффициент называется идентифицируемым, если его можно вычислить на основе приведенных коэффициентов, причем точно идентифицируемым, если он единствен, и сверхидентифицируемым, если он имеет несколько разных оценок; в противном случае он называется неидентифицируемым.

Какое-либо структурное уравнение является идентифицируемым, если идентифицируемы все его коэффициенты. Если хотя бы один структурный коэффициент неидентифицируем, то и всё уравнение является неидентифицируемым.

Модель  считается идентифицируемой, если каждое ее уравнение идентифицируемо. Если хотя бы одно из уравнений системы  неидентифицируемо, то и вся модель неидентифицируема.

Оценивание  параметров структурной  модели

Коэффициенты структурной модели могут быть оценены различными способами в зависимости от вида системы одновременных уравнений. Наибольшее распространение получили следующие методы:

• метод инструментальных переменных (ИП);
• косвенный метод наименьших квадратов (КМНК);
• двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК).

Методы  оценивания структурных  уравнений различных  видов

Точная  идентифицируемость

где С_t, Y_t, I_t — объем потребления, совокупный доход и инвестиции соответственно, а е_t — случайный член.

Структурный коэффициент β характеризует  предельную склонность к потреблению.

В исходной модели С_t, Y_t — эндогенные переменные, а I_t — экзогенная. Непосредственное оценивание параметров (α,β) в структурном уравнении функции потребления дает смещенные и несостоятельные оценки, так как объясняющая переменная Y_t является эндогенной.

Разрешая  структурную систему относительно эндогенных переменных, получим приведенную систему

В приведенной  системе коэффициенты при переменной I_t равные β/(1 — β) и 1/(1 – β) — это инвестиционные мультипликаторы потребления и дохода соответственно. Это значит, что если объем инвестиций возрастет на единицу, то объем потребления увеличится на β/( 1 - β), а совокупный доход — на 1/( 1 – β)

Рассмотрим различные методы оценивания структурных коэффициентов (α, β).

Косвенный метод наименьших квадратов. Уравнение для С, в приведенной форме можно также представить в виде

где

         

В этом уравнении экзогенная переменная I_t некоррелирована со случайным членом e’_t  поэтому для оценки параметров (α', β') можно использовать обычный МНК.

Замечание. Для удобства рассмотрения оценку параметра и сам параметр будем в дальнейшем обозначать одним символом (параметром).

Оцененное уравнение, полученное по выборочным данным с помощью МНК,

дает несмещенные и состоятельные оценки параметров.

Получаем оценки (α, β) структурных коэффициентов:

     

Поскольку получены единственные оценки (α, β) структурных  коэффициентов через оценки (α', β') приведенных коэффициентов, то структурное  уравнение функции потребления  является однозначно определенным (точно идентифицируемым).

Метод инструментальных переменных. Проблема коррелированности в структурном уравнении для С_t объясняющей переменной Y_t со случайным членом е_t может быть разрешена с помощью метода ИП.

Для применения этого метода необходимо найти такую  инструментальную переменную, которая обладает следующими свойствами:

1. коррелирует с неудачно объясняющей переменной У_t;
2. не коррелирует со случайным членом e_t,.

В данном случае модель сама предоставляет такую  переменную. Величина I_t коррелирует с У_t поскольку У_t зависит от I_t в уравнении, и I_tне коррелирует с е_t, поскольку является экзогенной переменной.

В общем  случае, когда оценка, полученная косвенным  методом, единственна, она совпадает  с оценкой, полученной методом ИП.

Сверхидентифицируемость

Рассмотрим  следующую простую модель Кейнса формирования доходов:

где C_t, Уt, I_t, G_t — объем потребления, совокупный доход, инвестиции и государственные расходы соответственно, а e_t случайный член.

В исходной модели С_t, У_t — эндогенные переменные, а I_t, G_t — экзогенные.

Разрешая  структурную систему относительно эндогенных переменных, получим приведенную систему 

 
 
Рассмотрим  различные методы оценивания структурных  коэффициентов (α, β).

Метод инструментальных переменных. В структурном уравнении функции потребления в качестве инструментальных переменных для У_t, можно использовать как I_t, так и G_t. Полученные при этом оценки (α, β) будут различаться, но в обоих случаях они состоятельны.

Наилучшее решение в данном случае — применение инструментальной переменной, которая является комбинацией I_t, и G_t.

Структурное уравнение с избыточным числом экзогенных переменных, которые можно использовать как инструментальные, является переопределенным (сверхидентифицируемым).

Двухшаговый метод наименьших квадратов. Двухшаговый МНК можно рассматривать как частный случай инструментальных переменных. В методе ИП было показано, что структурное уравнение функции потребления оказалось переопределенным и сразу две переменные I_t и G_t можно использовать для У_t,.

Однако  вместо их раздельного применения можно  предложить их комбинацию

В этом случае требуется оценить значения коэффициентов γ₀, γ₁,γ₂.

Фактически  вместо z_t можно использовать оценку приведенного уравнения Y_t

Подставляя  теоретические значения Y_t вместо фактических значений в структурное уравнение функции потребления, получим уравнение

которое оценивается обычным МНК. При  этом оценки структурных коэффициентов будут состоятельными.

Двухшаговый МНК можно рассматривать как  способ конструирования наилучшей из возможных комбинаций инструментальных переменных, если в уравнении имеется избыток экзогенных переменных, которые можно использовать как инструментальные.

Порядковое  условие для идентификации

В общем  случае отдельное структурное уравнение  системы является идентифицируемым, если имеется достаточное количество экзогенных переменных, не включенных в само уравнение, которые можно использовать как инструментальные для всех эндогенных объясняющих переменных уравнения.

Пусть D — число не включенных в уравнение, но присутствующих в системе экзогенных переменных, a G — число включенных в уравнение эндогенных переменных.

Уравнение в структурной модели может быть идентифицировано, если число не включенных в него экзогенных переменных не меньше числа включенных в него объясняющих эндогенных переменных, т.е.

D>G–1    (порядковое условие).

Данное условие  является необходимым, но не достаточным для идентификации. В частности:

• если D = G — 1, то уравнение точно идентифицируемо;
• если D> G — 1, то уравнение сверхидентифицируемо;
• если D < G — 1, то уравнение неидентифицируемо.

Анализ  методов оценивания

Приступать  к оцениванию того или иного структурного уравнения системы имеет смысл после того, как установлена его идентифицируемость. Для установления идентифицируемости используется метод ИП.