Экономико-математическое моделирование

Эмпирическая  функция распределения.

Определение. Выборочной (эмпирической) функцией распределения случайной величины X, построенной по выборке x₁,x₂, …,х_п, называется функция F_n(x), равная доле таких значений х_i , что x_i ≤ х, i = 1,..., n.

Иначе   говоря,   F_n(x)   есть   частота   события   х_i,   <  х   в   ряду

x₁,x₂, ...,х_n.

Для построения выборочной функции распределения  удобно от выборки перейти к вариационному ряду.

Определение. Вариационным рядом называют выборку, перенумерованную в порядке возрастания.

Выборочные  характеристики. На указанном выше свойстве выборочной функции распределения основаны многие методы математической статистики. Замена функции распределения F(x) на ее выборочный аналог F_n(x) в определении математического ожидания, дисперсии, медианы и т.п. приводят к выборочному среднему, выборочной дисперсии, выборочной медиане и т.д. Покажем, как действует это правило и чему равны соответствующие выборочные характеристики.

В случае математического  ожидания, используя в качестве функции  распределения случайной величины X выборочную функцию F_n(x) мы подразумеваем, что некая случайная величина может принять значения X(i),... ,X(n), каждое с вероятностью 1/п. Воспользовавшись формулой для определения математического ожидания для дискретной случайной величины приходим к следующему определению.

Средним значением выборки (выборочным средним), или выборочным аналогом математического ожидания, называется величина 

Аналогично,

Дисперсией  выборки (выборочной дисперсией), или выборочным аналогом дисперсии, называется величина 

Однако в статистике чаще в качестве выборочной дисперсии  используют

поскольку математическое ожидание величины s² равно дисперсии т.е. M(s²) = D(X).

Выборочной  квантилью называется решение уравнения

F_n(x)=p.

В частности, выборочная медиана есть решение уравнения

F_n(x) = 0.5. 

Рассмотрим  важнейшие функции  распределения.

Биномиальное  распределение

Область применения. Биномиальное распределение — это одно из самых распространенных дискретных распределений, оно служит вероятностной моделью для многих явлений. Оно возникает в тех случаях, когда нас интересует, сколько раз происходит некоторое событие в серии из определенного числа независимых наблюдений (опытов), выполняемых в одинаковых условиях. Поясним сказанное на примере.

Рассмотрим какое-либо массовое производство. Даже во время  его нормальной работы иногда изготавливаются  изделия, не соответствующие стандарту, т.е. дефектные. Обозначим долю дефектных изделий через р, 0 < р < 1. Какое именно произведенное изделие окажется негодным, сказать заранее (до его изготовления) невозможно. Для описания подобной ситуации обычно используется следующая математическая модель:

а) каждое изделие с вероятностью р может оказаться дефектным 
(с вероятностью q = 1 — р оно соответствует стандарту); эта 
вероятность для всех изделий одинакова;

б) появление как дефектных, так и стандартных изделий происходит независимо друг от друга.   Это значит, что в нормальном 
процессе производства появление бракованного изделия не влияет на возможность появления брака в дальнейшем.  Нарушение этого условия означает сбой нормального технологического режима.

Последовательность  независимых испытаний, в которых  результатом каждого из испытаний может быть один из двух исходов (например, успех и неудача), и вероятность «успеха» (или «неудачи») в каждом из испытаний одна и та же, называется схемой испытаний Бернулли. Поэтому мы можем перефразировать вышесказанное так: в нормальных условиях технологический процесс производства математически представляется схемой испытаний Бернулли.

Для чего же на производстве требуется подсчитывать число дефектных изделий? Как правило, это делается для контроля технологического процесса. При массовом производстве сплошная проверка качества изготовленных изделий обычно неоправданна. Поэтому для контроля качества из произведенной продукции наудачу отбирают определенное количество изделий (в дальнейшем — n), и проверяют их, регистрируют

найденное число  бракованных изделий (в дальнейшем — X) и в зависимости от значения X принимают то или иное решение о состоянии производственного процесса. Теоретически X может принимать любые целые значения от 0 до п включительно, но, конечно, вероятности этих значений различны. Для того, чтобы делаемые по значению X выводы были обоснованными, требуется знать распределение случайной величины X. Если выполняются приведенные выше условия схемы испытаний Бернулли, то распределение X является биномиальным распределением, и вероятности значений X можно получить очень просто.

Пронумеруем в  произвольном порядке п проверяемых изделий (например, в порядке их поступления на контроль). Будем обозначать исход испытания каждого изделия нулем или единицей (ноль — нормальное изделие, единица — дефектное), и будем записывать итоги проверки партии из п изделий в виде последовательности из п нулей и единиц. Событие (X = k), или, другими словами «среди п испытаний изделий оказалось k бракованных, а остальные (n — k) — годные» — это совокупность всех последовательностей, содержащих в любом порядке k единиц и (п — k) нулей. Вероятность того, что в результате проверки будет получена любая из таких последовательностей, равна p^k(l—p)^n-k, а число таких последовательностей — . Поэтому, согласно свойствам вероятностей, описанным выше2, вероятность события (X — k) равна:

Определение. Случайная величина X имеет биномиальное распределение с параметрами пир, если она принимает значения 0, 1, . . . , п с вероятностями:

     k = 0,1,... ,п.

Параметр р обычно называют вероятностью «успеха» в испытании Бернулли. В приведенном выше примере «успех» соответствует обнаружению бракованной детали 

Свойства. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей биномиальное распределение, равны:

M(X) = пр,        D(X) = пр(1 - р).

Распределение Пуассона

Рассмотрим наиболее типичную ситуацию, в которой возникает  распределение Пуассона. Пусть некоторые события могут происходить в случайные моменты времени, а нас интересует число появлений таких событий в промежутке времени от 0 до Т. (Например, это могут быть помехи в канале связи, появления метеоритов, дорожные происшествия и т.п.) Сделаем следующие предположения.

1. Пусть вероятность появления события за малый интервал време 
   ни длины Δ примерно пропорциональна Δ, т.е. равна аΔ+о(Δ), 
   зесь а > 0 — параметр задачи, отражающий среднюю частоту 
   событий.
2. Если в интервале времени длины  уже произошло одно собы 
   тие, то условная вероятность появления в этом же интервале 
   другого события стремится к 0 при  Δ→0.
3. Количества событий, происшедших на непересекающихся ин 
   тервалах времени, независимы как случайные величины.

В этих условиях можно показать, что случайное  число событий, происшедших за время от 0 до Т, распределено по закону Пуассона с параметром λ = аТ.

Определение. Случайная величина X, которая принимает только целые, неотрицательные значения 0,1,2,..., имеет закон распределения Пуассона с параметром λ > 0, если 

                                         для k=0,1,2,… 

Свойства. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей распределение Пуассона с параметром А, равны:

M(X)= λ,        D(X) = λ. 
 

 
2.4. Нормальное распределение

Область применения. Нормальное распределение относится к числу наиболее распространенных и важных, оно часто используется для приближенного описания многих случайных явлений, например, для случайного отступления фактического размера изделия от номинального, рассеяния снарядов при артиллерийской стрельбе и во многих других ситуациях, в которых на интересующий нас результат воздействует большое количество независимых случайных факторов, среди которых нет сильно выделяющихся.

Замечание. Использованию нормального распределения для приближенного описания распределений случайных величин не препятствует то обстоятельство, что эти величины обычно могут принимать значения только из какого-то ограниченного интервала (скажем, размер изделия должен быть больше нуля и меньше километра), а нормальное распределение не сосредоточено целиком ни на каком интервале. Дело в том, что вероятность больших отклонений нормальной случайной величины от центра распределения настолько мала, что ее практически можно считать равной нулю. 

Определение. Случайная величина X имеет нормальное распределение вероятностей с параметрами а и σ² (краткое обозначение: X ~ N(a, σ²)), если ее плотность распределения задается формулой:

           - ∞ < x<∞. 

Cмысл параметров нормального распределения наглядно показан на рис.  

 
 

Рис. Плотность  нормального распределения со 

средним а и  различными значениями дисперсии σ² • 
 

Отметим, что  φ(х) стремится к нулю при х → - ∞ и х →  +∞. График функции φ(х) симметричен относительно точки а. При этом в точке а функция φ(х) достигает своего максимума.

Параметр а характеризует положение графика функции на числовой оси (параметр положения). Параметр σ(σ > 0) характеризует степень сжатия или растяжения графика плотности (параметр масштаба). Как видим, вся совокупность нормальных распределений представляет собой двухпараметрическое семейство.

Свойства. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X, распределенной как N(a,σ²), равны

M(X)=a,        D(X) = σ².

Медиана нормального  распределения равна a, так как плотность распределения симметрична относительно точки х = а.

 

 

Особую роль играет нормальное распределение с  параметрами а = 0 и σ = 1, т.е. распределение N(0,1), которое часто называют стандартным нормальным распределением. Плотность стандартного нормального распределения есть 

 

Функция распределения  стандартного нормального распределения  равна  

Функцию Ф(x) часто называют функцией Лапласа. Отметим, что Ф(х) = 1 - Ф(—х), поэтому достаточно знать значения функции Ф(х) для х ≥ 0. Это свойство функции Ф(х) используется при составлении таблиц.

Функцию произвольного  нормального распределения N(a,σ²) можно легко выразить через Ф(x). Для этого следует заметить, что если X распределена по закону N(a, σ²), то ее линейная функция X = (x —а)/σ подчиняется стандартному нормальному распределению. Поэтому

 

Эта формула позволяет вычислять вероятности событий, связанных с произвольными нормальными случайными величинами, с помощью таблиц стандартного нормального распределения.

Аналогичным образом, легко показать, что если X распределена по нормальному закону, скажем, N(a,σ²), то случайная величина kX + b (линейная функция X) имеет нормальное распределение N(a + b, k²σ²).

Напомним, что  площадь фигуры, ограниченная графиком функции плотности распределения, осью абсцисс и отрезками двух вертикальных прямых, х = b, х = с, есть вероятность попадания случайной величины в интервал (b, с). В связи с этим полезно представить, как распределяются доли площадей между кривой φ(х) и осью абсцисс. рис. Более подробный анализ показывает, что случайная величина N(0,1) с вероятностью, примерно равной 0.94 попадает в интервал (-2,2), и с вероятностью, примерно равной 0.9933 — в интервал (—3,3). Отсюда для произвольной нормально распределенной случайной величины можно сформулировать правило, именуемое в литературе правилом трех сигм. А именно, нормальная случайная величина N(a,σ²) с вероятностью 0.9933 попадает в интервал (a- Зσ, а + Зσ).