Экономико-математическое моделирование

Для решения  точно идентифицируемого уравнения применяется КМНК, а для решения свертдентифицируемого уравнения — ДМНК.

Анализ  рассмотренных методов оценивания позволяет сформулировать их основные этапы.

Этапы КМНК:

1. Структурная модель преобразуется в приведенную форму.
2. Для каждого приведенного уравнения обычным МНК оцениваются приведенные коэффициенты.
3. Оценки приведенных коэффициентов преобразуются в оценки 
   параметров структурных уравнений.

Этапы ДМНК:

1. На основе приведенной формы модели получают для сверхидентифицируемого. уравнения теоретические (расчетные) значения 
   эндогенных переменных, содержащихся в правой части уравнения.
2. Подставляя теоретические значения эндогенных переменных 
   вместо их фактических значений в сверхидентифицируемое уравнение и применяя обычный МНК, определяют его структурные коэффициенты.

Метод получил название двухшагового, так  как МНК используется дважды: при нахождении теоретических значений эндогенных переменных из приведенной формы модели и при определении структурных коэффициентов по теоретическим значениям эндогенных переменных и исходным данным экзогенных переменных. 
 
 
 
 
 
 
 

ДИНАМИЧЕСКИЕ

ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

Во многих экономических задачах встречаются  лагированные (взятые в предыдущий момент времени) переменные. Например, y_t — выпуск предприятия за год t — может зависеть не только от инвестиций I_t в этот год, но и от инвестиций в предыдущие годы.

Эконометрическая  модель, содержащая в качестве факторов не только текущие переменные, но и  лаговые их значения, называется динамической.

Выделим два основных типа динамических эконометрических моделей:

1. модели с распределенным лагом;
2. модели авторегрессии.

Моделями  с распределенным лагом называются модели, содержащие в качестве факторов лаговые значения факторных переменных, например модель вида

Моделями  авторегрессии  называются модели, содержащие в качестве факторов лаговые значения зависимой переменной, например модель вида

Обе модели включают в себя лаговые значения переменных, но существенно различаются  с точки зрения статистического  оценивания параметров.

Модели  с распределенным лагом

 

Модель с распределенным лагом в предположении, что максимальная величина лага конечна, имеет вид

В этой модели влияние  х на у сохраняется в течение времени р.

В краткосрочном (текущем) периоде влияние х на у отражается величиной β₀, называемой краткосрочным мультипликатором.

В долгосрочном периоде (через р моментов времени) суммарное влияние х на у отражается величиной β = βо + βi + ••• + β_p, называемой долгосрочным мультипликатором.

В моделях  с распределенным лагом объясняющие  переменные не коррелированы со случайным членом, поэтому модель можно оценивать с помощью обычного МНК. Однако на практике оценка параметров модели затруднительна из-за высокой мультиколлинеарности факторов.

Для уменьшения числа объясняющих переменных и  уменьшения эффекта мультиколлинеарности разработан ряд подходов, например модель геометрических лагов и модель полиномиальных лагов. 

Модель  геометрических лагов (Модель Койка)

Предположим, что в модели с бесконечным  лагом коэффициенты при лаговых значениях объясняющих переменных убывают в геометрической прогрессии. Модель имеет вид

где (0;1).

В этой модели влияние  х на у продолжается бесконечно.

В краткосрочном (текущем) периоде влияние х на у отражается коэффициентом β_о.

В долгосрочном периоде суммарное влияние х на у равно

Модель содержит только три параметра (α, β, δ) и является нелинейной.

Процедура оценивания нелинейной модели.

Преобразование  Койка. Определяется выражение для  периода t–1:

Умножив обе части уравнения на δ и  вычтя их из исходного уравнения, получим:

где уже  отсутствуют лаговые значения x. Отсюда

Альтернативный  и более эффективный способ заключается  в применении нелинейного метода наименьших квадратов. 

Модель  полиномиальных лагов (Метод  Алмон)

В модели полиномиальных лагов предполагается, что зависимость коэффициентов при лаговых значениях объясняющей переменной от величины лага описывается полиномом m-й степени. Модель имеет вид

где

           m≤p.

Предположим, что величина лага р известна. Кроме того, необходимо установить степень полинома т. Обычно на практике ограничиваются рассмотрением полиномов второй и третьей степени. 

Адаптивные  ожидания

Моделирование ожиданий часто становится наиболее ответственной и сложной задачей в прикладной экономике. Это особенно верно для макроэкономики, где инвестиции, сбережения и спрос на активы оказываются чувствительными к ожиданиям относительно будущего. Вводные учебники по макроэкономике, анализируя базовую модель определения доходов (модель IS-LM), рассматривают валовые инвестиции как заданные или по крайней мере как строго убывающую функцию от нормы процента. В итоге остается такая проблема, как исследование воздействия роста государственных расходов на валовой объем производства в рамках предположения о том, что валовые инвестиции реагируют только на норму процента. Однако последнее неверно. Если государство проводит стимулирующую политику, то это оказывает воздействие на ожидания бизнесменов как относительно общего состояния экономики в будущем, так и относительно уровня прибыльности, которые определяют их планы независимо от того, что происходит с нормой процента.

Так, например, если в стране наблюдается существенная безработица, то действия правительства  могут рассматриваться как позитивные, и это стимулирует инвестиции. С другой стороны, если экономика близка к состоянию полной занятости, то та же самая государственная политика может рассматриваться как ведущая к росту уровня инфляции и это вызовет снижение доверия бизнесменов и падение инвестиционной активности.

Все это  создает непростую проблему, что  признавал и Дж. М. Кейнс. Перечитайте главы «Общей теории», посвященные инвестициям. Конечно, Дж. М. Кейнс отводил много времени рассмотрению предельной эффективности капитальных вложений, связи инвестиций с нормой процента, но он также делал акцент на зависимости инвестиций от ожиданий, и это не оставляет сомнений в том, что и сам он считал IS-кривую (или то, что мы под ней сейчас понимаем) чрезвычайно подвижной.

К сожалению, в настоящее время отсутствуют  удовлетворительные методы измерения  ожиданий для решения макроэкономических задач. Как следствие макроэкономические модели не позволяют получать достаточно точные прогнозы, что затрудняет управление экономикой. 

В качестве паллиатива решения описанной проблемы в некоторых моделях; используется косвенный метод, известный как  «процесс адаптивных ожиданий».; Этот процесс заключается в простой процедуре корректировки ожиданий, когда в каждый период времени реальное значение переменной сравнивается с ее ожидаемым значением. Если реальное значение оказывается больше, то значение, ожидаемое в следующем периоде, корректируется в сторону его повышения; если меньше — то в сторону уменьшения. Предполагается, что размер корректировки пропорционален разности между реальным и ожидаемым значениями переменной.

Таким образом, если рассматривается переменная х, а х_t* — ее значение, ожидаемое в период t, то

                      (0≤λ≤1)

Это выражение  может быть переписано в виде

Выражение служит утверждением, что значение переменной, ожидаемое в следующий период времени, формируется как взвешенное среднее ее реального и ожидаемого значений в текущем периоде. Чем больше величина λ, тем быстрее ожидаемое значение адаптируется к предыдущим реальным значениям переменной.

Предположим, например, что зависимая переменная y_t связана с ожидаемым значением объясняющей переменной х в году t + 1:

Тем не менее  если выражение выполняется для  периода t, то оно также должно выполняться и для периода t — 1:

Величину х_t* в уравнении можно заменить, но вместо нее появляется х_t-1*.

В итоге  модель адаптивных ожиданий сводится к утверждению, что ожидаемое  значение переменной является взвешенным средним ее прошлых значений с  геометрически убывающими весами.

Подставив полученное выражение в и заменив (1 —λ) на δ, мы имеем:

откуда видно, что значение у определяется текущим и прошлыми значениями х с лагами, подчиняющимися распределению Койка. 

Модель  гиперинфляции Кейгана

Возможно, впервые модель адаптивных ожиданий была применена в исследовании, проведенном Ф. Кейганом, соотношения между спросом на реальные денежные остатки и ожидаемым изменением уровня цен (Cagan, 1956). Одним из факторов, определяющих спрос на денежные остатки, являются издержки их хранения, вызываемые обесцениванием наличности в реальном выражении. Предположив, что этот фактор будет главным при высоком уровне инфляции, Ф. Кейган исследовал эту зависимость для семи периодов гиперинфляции, имевших место между 1921 и 1956 гг., с помощью модели:

где М — индекс изменения объема денег в обращении; Р — индекс цен; log (Р/М) — логарифм спроса на реальные денежные остатки; Е — ожидаемый уровень инфляции; α и γ — неизвестные параметры. Поскольку переменная Е ненаблюдаема, Ф. Кейган дополнил модель выражением для адаптивных ожиданий:

которое определяет ожидаемое в период t изменение уровня инфляции ΔE_t+1 как долю от величины разности между реальным текущим уровнем инфляции С_t и его предсказанным значением Е_t.

С помощью этой формулы величина E_t+1 может быть выражена через текущее и прошлые значения С.

Подставив полученное выражение, мы получим следующую  регрессионную модель:

 

Модели  авторегрессии 

Пусть имеется  модель авторегрессии вида

 
Для интерпретации коэффициентов модели авторегрессии сделаем предположение  о наличии бесконечного лага в  воздействии текущего значения зависимой  переменной на ее последующие значе-*я  и о выполнении неравенства  < 1 (условие устойчивости).