Необходимые формулы и расчеты: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2.4 Задача формирования  оптимального портфеля ценных бумаг.

3. Модели сотрудничества и конкуренции.

3.1 Сотрудничество и  конкуренция двух  фирм на рынке  одного товара.

 

       Рассмотрим  две фирмы, i=1,2, выпускающие один и тот же товар. Пусть затраты  i-й фирмы при выпуске  x[i]  равны a[i]*x[i] (таким образом, a[i] есть себестоимость выпуска одной единицы товара i-й фирмой). Произведенный обеими фирмами товар поступает на общий рынок. Цена на товар линейно падает в зависимости от поступающего на рынок общего его количества: p(x)=c-bx, c,b>0, где x=x[1]+x[2]. Следовательно, прибыль   i-ой фирмы равна W[i](x[1],x[2])=x[i]*(c-bx)-a[i]*x[i]=bx[i]*(d[i]-(x[1]+x[2])),где d[i]=(с-a[i])/b. Поведение каждой фирмы определяется ее стремлением максимизировать свою прибыль.

       Дано: a[1]=5, a[2]=6, b=9, c=77.

       Тогда:       p(x)=77-9*x      d[1]=(с-a[1])/b=(77-5)/9=8   d[2]=(с-a[2])/b=(77-6)/9=7,89

       W[1](x[1],x[2])= bx[1]*(d[1]-(x[1]+x[2]))= 9*x[1]*(8-(x[1]+x[2]))

       W[2](x[1],x[2])= bx[2]*(d[2]-(x[1]+x[2]))= 9*x[2]*(7,89-(x[1]+x[2])) 

       Допустим, что первая фирма узнала стратегию  второй, т.е. объем ее выпуска x[2]. Токда она выбрала бы свой выпуск из условия максимизации прибыли:

       ¶W[1]/ ¶x[1]= b*(d[1]-(x[1]+x[2])) – b* x[1]=0, т.е. x*[1]= (d[1]-x[2])/2=(8-x[2])/2

       Аналогично  для второй фирмы:   x*[2]= (d[2]-x[1])/2=(7,89-x[1])/2

       x*[2], x*[1] – оптимальные выпуски 1-ой  и 2-ой фирм при условии, что  они знают выпуск конкурента.

       Теперь  предположим, что производственные циклы фирм совпадают, т.е. a[1]=a[2]=5. Пуcть фирмы выбирают свои оптимальные выпуски, зная объем производства своего конкурента за прошлый период. Предположим, что d[1]/2<d[2]<2d[1], тогда эти прямые пересекаются в точке K с координатами x[1]=(2d[1]-d[2])/3, x[2]=(2d[2]-d[1])/3. Эта точка называется точкой Курно. Как видно на риссунке последовательность стратегий фирм сходится к этой точке. Так как а[1]=a[2], то d[1]=d[2]=8, тогда точка Курно K(d/3,d/3),  x[i]=d/3, прибыли фирм W[i]=b*d²/9, цена p=c-2*b*d/3. И еще одно условие x<=c/b<=d .

       d[1]/2<d[2]<2d[1]     -      8/2<8<2*8   -   верно.

       Нанесем на плоскость x [1] x[1] прямые-множества стратегий фирм в ответ на известную стратегию другой фирмы x*[1]=(8-x[2])/2 и x*[2]=(8-x[1])/2 и найдем точку их пересечения. x[1],х[2]=d/3=8/3=2,67. Далее определим прибыли фирм W[1], W[2]=b*d²/9=9*64/9=64,    p=c-2*b*d/3=77-2*9*8/3=29.

       Теперь  посмотрим, как действует модель Курно. Пусть 7,8 и 0,1 – выпуски фирм за прошлый год и каждая фирма  знает этот выпуск своего конкурента. Тогда, зная его она применяет  свою оптимальную стратегию с целью максимизировать прибыль. Убедимся, что после некоторого количества итераций они окажутся в точке Курно. 

       Как видно уже при 3-ей операции выпуски  и прибыли 1-ой и 2-ой фирмы и цена значительно приблизились к точке  Курно. Посмотрим это графически. 

 

       Зеленым цветом обозначены точки последовательных итераций, а красным – точка Курно. 
 

3.2 Кооперативная биматричная  игра как модель  сотрудничества и  конкуренции двух  участников.

 

       Математической  моделью конфликтов с двумя участниками  являются биматричные игры. Такая  игра 2х2 задается биматрицей  (aij,bij) . В кооперативном варианте такой  игры игроки могут согласованно выбирать элемент биматрицы. Если они выбрали  элемент  (a,b), то Первый игрок получает  a , а Второй получает  b . Цели игроков одинаковы - выиграть как можно больше в расчете на партию в среднем. Пусть (x,y),  (a,b) - две точки из CE. Говорят, что (x,y) доминирует (a,b) если x>=a, y>=b и хотя бы одно из этих неравенств строгое. Недоминируемые точки называются оптимальными по Парето, а их множество - множеством оптимальности по Парето. Еще более узкое множество называется переговорным. Оно определяется так: пусть Vk - максимальный выигрыш, который k-й игрок может обеспечить себе при любой стратегии другого игрока, тогда переговорное множество определяется как множество тех точек множества Парето, у которых k-я координата не меньше Vk. Для нахождения Vk на до решить две задачи ЛП:

                V1-->max, a11*x+a21*(1-x)>=V1,a11*x+a12*(1-x)>=V1, 0<=x<=1;

                V2-->max, a11*y+a12*(1-y)>=V2,a21*y+a22*(1-y)>=V2, 0<=y<=1.

       Дано:           

                                                   биматрица

       Нанесем на плоскость элементы биматрицы  и начертим выпуклую оболочку.  

 

       Где красным и зеленым цветом обозначено множество оптимальности по Парето, а зеленым – та его часть, которая  является переговорным множеством. V₁=8, V₂=4.

       Цена  игры первого игрока V₁ находится легко, так как в матрице а_ij есть седловая точка а[2,1]=8. Основная теорема матричных игр утверждает, что для любой матричной игры  max{min{M[P,Q]:Q}:P}=min{max{M[P,Q]:P}:Q}, т.е. во множестве смешанных стратегий есть седловая точка, дающая оптимальное решение игры. Поэтому V₁= а[2,1]=8, а оптимальная стратегия 1-го игрока Р*=(0 1), так как ему выгодно выбирать все время    2-ю строку.

       Для того, чтобы найти цену игры и  оптимальную стратегию 2-го игрока необходимо решить задачу ЛП. Если все разделить  на V2 и сделать замену переменных, то получим:

        V2-->max                          y/V₂=x1                  x1 + x2 àmin

        2*y+6*(1-y)>=V₂,     (1-y)/V₂=x2           2*x1 +6*x2>=1

        7*y+1*(1-y)>=V₂,                                    7*x1 +1*x2>=1

        0<=y<=1.                                                           x1, x2 ≥0

       Решая ее находим V₂=4.

       Итак, цена игры 2-го игрока V₂=4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3.3 Матричная игра  как модель конкуренции и сотрудничества.

4. Социально-экономическая структура  общества.

4.1 Модель распределения  богатства в обществе.

 

       Такой моделью является так называемая «диаграмма или кривая Лоренца».

       Рассмотрим  функцию распределения богатства  в обществе  d(z), которая сообщает, что  z-я часть самых бедных людей общества владеет  d(z)-й частью всего общественного богатства. Далее приведен график функции  d(z). Площадь заштрихованной линзы называется коэффициентом Джинни J. Эта величина не более 1/2. Чем она меньше, тем равномернее распределено богатство в обществе. При  J>0.2 распределение богатства называется опасно несправедливым - это преддверие социальных волнений. Из функции d(z)  можно получить другую функцию  w(z) , она сообщает долю общественного богатства, которой владеет z-я часть самых богатых людей (w(z)=1-d(1-z)). Еще одну функцию можно получить из  d(z): S(x)=d(1/2+x)-S(1/2-x). Она показывает, что  часть общества, которая богаче, чем (½-х) самых бедных, но беднее (½-х) самых богатых, владеет S(x)-й частью всего общественного богатства. График функции S расположен только над отрезком [0, 1/2].  Говорят, что в обществе есть средний класс, если d(3/4)-d(1/4)>=1/2  или, что то же самое  S(1/4)>=1/2 .  

       Дано:        d(z)=  exp((7/2)*ln(z)) 

 

       Как видно на графиках d(0,5)=0,09 ,т.е. половина самых бедных членов общества владеет только 9% всего общественного богатства. Вычислим коэффициент Джинни:

       ½ - J=( ₀∫¹ (exp(7/2*ln(z)) dz)=0,22, значит J=0,28. Так как 0,28>0,2, то распределение богатства в обществе опасно несправедливо.

       s(x)= exp((7/2)*ln(1/2+х)) - exp((7/2)*ln(1/2-х))

       w(z)= 1 - exp((7/2)*ln(1-z)) 

       Так как  s(0,25)=0,36 и 0,36<0,5, то можно сделать вывод об отсутствии в данном обществе среднего класса. w(0,1)=0,31 означает, что десятая часть самых богатых владеет 31% всего общественного богатства.

       Производные функций d(z) и w(z): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

4.2 Распределение общества  по получаемому доходу.

 
 

       Пусть F(z) есть доля имеющих месячный доход  меньше z  по отношению ко всем, имеющим  какой-нибудь денежный доход (всех таких  членов общества назовем налогоплательщиками). Функцию F(z)  вполне правильно трактовать как функцию распределения случайной величины  I  - месячный доход случайного налогоплательщика. С.в.  I  можно считать непрерывной. Функция  F(z)  может быть интересна налоговой инспекции. С помощью функции F(z) можно найти несколько интересных характеристик общества. Например, средний доход, который находится как интеграл от 0 до бесконечности функции   z*dF(z). Другой подобной характеристикой является коэффициент Рейнбоу, который находится как отношение решений уравнений F(z)=0.9 и  F(z)=0.1, т.е. этот коэффициент показывает отношение доходов 10%  членов общества с самыми высокими доходами к доходам 10%  с самыми низкими доходами. Если это отношение превышает 20, то распределение доходов называется несправедливым, иначе нормальным.  

       Дано:    F(z)= 1 – exp(6*ln(500/(500+z))) 

 

 

       Как видно на графике 1, F(9)=0,1 и F(234)=0,9. Это говорит о том, что 10% низкодоходных членов общества имеют доход не более 9 у.е., а 10% высокодоходных имеют доход более 234 у.е. Если взять эти числа как отношение, то получим Коэффициент Рейнбоу. Так как 234/9=26 и 26>20, то распределение доходов в данном обществе можно считать несправедливым.