Планирование эксперимента. Обзор планов. Виды модельных уравнений. Области их применения. Электромеханические системы автоматики

4.2  Анализ остатков и преобразования. 

      Для дополнительного анализа остатков данной модели предусмотрено большое количество графиков. В частности, программа вычислит предсказанные (подогнанные) и остаточные значения и их стандартные ошибки, заданные пользователем интервалы предсказания и доверительные интервалы для предсказанных (подогнанных) значений, стандартизованные предсказанные значения и остатки, стьюдентизированные остатки, удаленные остатки, стьюдентизированные удаленные остатки, расстояния Махаланобиса и Кука, значение DFFIT и стандартизованное значение DFFIT.  Все эти статистики остатков могут быть сохранены для их дальнейшего анализа в других модулях STATISTICA (например, для анализа сериальных корреляций ошибок в модуле Временные ряды). Эти статистики остатков для каждого наблюдения можно также просмотреть в порядке наблюдений или отсcортировать по степени важности, что позволит быстро выделить выбросы. Кроме того, для определения точности подгонки соответствующей модели и для выявления выбросов вы можете просмотреть гистограммы остатков (и удаленных остатков) и предсказанных значений, диаграммы рассеяния (удаленных) остатков по предсказанным значениям или нормальные и полу нормальные вероятностные графики (удаленных) остатков. Для проверки сериальной корреляции остатков вы можете также отобразить на графике (удаленные) остатки по номерам наблюдений. На всех графиках, на которых отображаются отдельные наблюдения (например, значения остатков наблюдений), точки обозначаются соответствующими номерами наблюдений или метками, что позволяет легко определить выбросы в наборе данных. Кроме того, могут быть вычислены значения максимального правдоподобия лямбда для преобразования Бокса-Кокса переменных отклика; результатам преобразования Бокса-Кокса сопутствует также график зависимости сумм квадратов остатков от лямбда, вместе с доверительными пределами для лямбда. 

      4.3 Оптимизация одномерных или многомерных переменных отклика:Профили отклика (желательности)

      Уникальный  набор опций позволяет проводить  в модели интерактивную оптимизацию  одномерных или многомерных переменных отклика. Во-первых, для моделей поверхности  отклика второго порядка и  моделей смешанных поверхностей программа определит установки  факторов, соответствующие минимальной, максимальной или седловой точке  соответствующей поверхности (т.е. критические  значения текущей поверхности, а  также соответствующие собственные  значения и собственные векторы, для определения кривизны и ориентации в пространстве квадратичной поверхности  отклика). Заметим, что в планах для  смесей опции профиля желательности  не основаны на простой перепараметризации модели смеси к модели неограниченной поверхности (что может привести к ошибочным результатам, например, к недопустимым для данной смеси  оптимальным установкам факторов); вместо этого все вычисления должны производиться на основе фактической  модели смеси. Таким образом, при  поиске оптимальных установок факторов по функции желательности для  одной или нескольких переменных отклика гарантируется, что рассматривается  только ограниченная область (смесь), и  что итоговые установки факторов приводят к допустимой смеси. Во-вторых, предусмотрен исчерпывающий набор  графических опций для визуализации предсказанных значений одной или  нескольких переменных отклика как  функций каждого фактора в  анализе при условии, что все  другие факторы установлены на некотором  постоянном уровне. Точнее, для многомерных  переменных отклика вы можете задать функцию желательности, которая  отражает наиболее желательное значение для каждой переменной отклика, а  также оценить степень важности каждой переменной для общей желательности. Затем вы можете отобразить на графике  профили функции желательности (вычисленные  по предсказанным значениям каждой переменной отклика) для заданного  числа уровней каждого фактора. На этом же графике могут быть показаны профили для каждой отдельной  переменной отклика, а также доверительные  интервалы.

      4.4 Планы с минимальной аберрацией и максимально несмешанные.2**(k-p) дробные факторные планы с блоками.

      В дополнение к стандартным 2**(k-p) планам модуль STATISTICA DOE включает в себя общую опцию поиска плана для создания дробных факторных планов с минимальной аберрацией (наименее смешанных) с блоками или без блоков с более чем 100 факторами и более чем 2,000 опытами.

      Эти типы эффективных планов появились  недавно, и они позволят вам оценить  большее число (частных) факторных  взаимодействий, чем в стандартных  планах Бокса-Хантера; модуль STATISTICA DOE является единственной программой, которая  предоставляет эту возможность. Для заданного разрешения вы можете провести полный поиск всех (неизоморфных) наборов генераторов или задать частные наборы взаимодействий, которые  вы хотите оставить несмешанными для  соответствующего разрешения. В дополнение к основному критерию поиска "минимальной  аберрации" вы можете также выбрать  критерий "максимальной несмешанности", который приводит к плану с  наибольшим возможным числом несмешанных  эффектов (несмешанных со всеми другими  эффектами, для данного разрешения плана). Эти планы могут быть далее  расширены аналогично стандартным 2**(k-p) планам, описанным в предыдущем параграфе (путем добавления реплик, центральных точек, инверсии, и т.д.). Все опции анализа, описанные  в предыдущем параграфе, применимы  к этим планам (или к произвольным 2**(k-p) планам).

      4.5.Отсеивающие планы. 

      Модуль STATISTICA DOE позволяет пользователю строить  и анализировать отсеивающие  планы для большого числа факторов.

      Программа строит планы Плакетта-Бермана (с  матрицей Адамара) и насыщенные дробные  факторные планы с числом факторов до 127. Как и в случае с 2**(k-p) планами, пользователь может запросить реплики  плана, добавить точки, центральные  точки, а также распечатать или  сохранить план. Для анализа отсеивающих  планов доступны те же опции, что и  для 2**(k-p) планов (смотрите предыдущий параграф).

      4.6. Смешанные факторные планы.

      Программа работает также и со смешанными планами. Опции построения плана и анализа  доступные для этих планов идентичны 3**(k-p) планам. 

      4.7.Трехуровневые 3**(k-p) дробные факторные планы с блоками

и планы Бокса-Бенкена.

      Модуль STATISTICA DOE содержит полную реализацию стандартных (блоковых) 3**(k-p) планов.

      В модуль также включены стандартные  планы Бокса-Бенкена. Как и для  других планов, пользователь может  отобразить и сохранить эти планы  в стандартном или случайном  порядке, запросить реплики или  отдельные опыты, просмотреть план и генераторы блоков и т.п. Программа  проведет полный анализ 3**(k-p) планов. Пользователь может включить в анализ любые  эффекты. Главные эффекты разбиваются  на линейные и квадратичные эффекты, а взаимодействия разбиваются на линейно-линейные, линейно-квадратичные, квадратично-линейные и квадратично-квадратичные эффекты. Пользователь может просмотреть корреляционные матрицы факторов и эффектов. Программа вычислит стандартные оценки параметров дисперсионного анализа (стандартные ошибки, доверительные интервалы, статистическую значимость, и т.д.), коэффициенты для перекодированных (-1, 0, +1) факторов и коэффициенты для непреобразованных факторов. Таблица дисперсионного анализа будет содержать критерии для линейных и квадратичных компонент каждого эффекта и комбинированные тесты для эффектов с большим числом степеней свободы. Если план содержит реплики, то оценка чистой ошибки может использоваться для дисперсионного анализа и проверки значимости; в этом случае будет также проведен общий тест на потерю согласия. Для интерпретации результатов программа вычислит таблицу средних (и доверительных интервалов), а также маргинальные средние (и доверительные интервалы) для взаимодействий.

      Графические опции включают графики средних  и маргинальных средних (с доверительными интервалами), диаграммы Парето эффектов, нормальные и полунормальные вероятностные  графики эффектов, графики поверхности  отклика и контурные графики. В дополнение к этому, при проведении детального анализа остатков доступны все описанные выше основные процедуры (см. разделы Планирование экспериментов, Анализ экспериментов: Основные идеи, Анализ остатков и преобразования и  Оптимизация одномерных или многомерных  переменных отклика) для оценивания качества подгонки модели, а также  для нахождения оптимальных установок  факторов для одной или нескольких переменных отклика.

      4.8.Центральные композиционные планы (поверхности отклика)

      Центральные композиционные планы могут быть выбраны из списка стандартных планов, содержащим также малые центральные  композиционные планы (основанные на планах Плакетта-Бермана).

В дополнение к стандартным опциям, доступным  для всех планов (добавление опытов, рандомизация, реплицирование, задание  верхних и нижних значений факторов, и т.п.; смотрите описание 2**(k-p) планов) можно задать звездные точки как  центрированные, вычислить их для  ротабельности, ортогональности, или  для того и другого. Опции анализа  сходны с описанными ранее для 3**(k-p) и 2**(k-p) планов. Пользователь может вычислить  параметры дисперсионного анализа, коэффициенты для перекодированных значений факторов и коэффициенты для  непреобразованных факторов. Могут  быть также вычислены предсказанные  значения для заданных пользователем  значений факторов. В модель могут  быть включены любые эффекты, можно  просмотреть корреляционные матрицы  факторов и эффектов. Если имеются  реплики, таблица дисперсионного анализа  будет содержать оценку чистой ошибки и общий тест на потерю согласия. Стандартные графические опции для результатов включают диаграммы Парето эффектов, вероятностные графики эффектов, графики поверхности отклика и контурные графики (если факторов больше двух, для задаваемых пользователем значений дополнительных факторов). В дополнение к этому, при проведении детального анализа остатков доступны все описанные выше основные процедуры (см. разделы Планирование экспериментов, Анализ экспериментов: Основные идеи, Анализ остатков и преобразования и Оптимизация одномерных или многомерных переменных отклика) для оценивания качества подгонки модели, а также для нахождения оптимальных установок факторов для одной или нескольких переменных отклика.

      4.9.D- и A-оптимальные планы

      Программа включает несколько алгоритмов для  построения оптимальных планов.

      Можно задать критерий D оптимальности (по определителю матрицы плана) или A оптимальности (по следу), а также модели для  поверхностей и смесей. Список точек-кандидатов для плана может быть введен вручную  либо образован из файла данных STATISTICA (например, из существующего плана, созданного с помощью вычисления вершин и центроидов для поверхностей с ограничениями и смесей, смотрите выше). Вы можете пометить точки в  списке кандидатов, чтобы принудительно  включить их в окончательный план, и, таким образом, расширить или "подправить" существующие эксперименты. Программа  содержит все основные алгоритмы  поиска для построения D- и A-оптимальных  планов: последовательный метод Дейкстры, метод простого обмена Винна-Митчелла, алгоритм Митчелла DETMAX (обмен с отклонениями), алгоритм одновременного переключения Федорова и модифицированный алгоритм одновременного переключения. Для окончательного плана программа вычислит определитель матрицы X'X и коэффициенты D, A и G. Пользователь может также просмотреть корреляционную матрицу для столбцов окончательной  матрицы плана (X) и обратную матрицу X'X (дисперсионную/ковариационную матрицу  оценок параметров). Точки окончательного плана могут быть представлены на 3-х мерных и тернарных диаграммах рассеяния (для смесей). 

4.10.Планы для смесей и поверхностей с ограничениями.

      Модуль STATISTICA DOE содержит процедуры для  вычисления вершин и центроидов для  поверхностей с ограничениями и  смесей, заданных с помощью линейных ограничений.

      Пользователь  может ввести верхние и нижние границы для факторов, а также  задать дополнительные линейные ограничения (в виде A1*x1 + ...   + An*xn + A0 >= 0) на значения факторов. Программа вычислит точки-вершины и, по желанию пользователя, точки-центроиды для ограниченной области. Ограничения будут выводиться последовательно, и несущественные ограничения будут выделены.

      Имеются многочисленные дополнительные опции  для просмотра характеристик  ограниченной области. Пользователь может  просмотреть вершины и центроиды  на 3-х мерных и тернарных диаграммах рассеяния (для смесей). Также может  быть вычислена корреляционная матрица  для столбцов матрицы плана X, для  различных стандартных типов  планов, обратная матрица X'X (т.е. дисперсионная/ковариационная матрица оценок параметров). Это  позволяет пользователю оценить  характеристики плана, связанные с  точками-вершинами и точками-центроидами. Эти точки могут затем использоваться в оптимальных планах (смотрите ниже), для построения планов с минимальным  числом опытов.

      5 ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА ДЛЯ ЗАДАЧ ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКОГО ХАРАКТЕРА.

Исходные  данные. Предполагается, что механизм химической реакции может быть представлен реакцией:

,                                (1)

где и – исходные вещества и продукты реакции соответственно, - стехиометрические коэффициенты.

Скорость этой реакции можно описать уравнением формальной кинетики:

,                              (2)

где  k – константа скорости реакции; - порядок реакции по i-му веществу;

- концентрация i-го вещества 

      Константа скорости реакции в зависимости  от температуры изменяется по закономерности Аррениуса:

                                                (3)                                         

Где - предэкспоненциальный множитель; E – энергия активации;

R – универсальная газовая постоянная; T – абсолютная температура.

Логарифмирование  (2) с учетом  (3) дает: 

Обозначим переменные

                                    

                                   

                                  

…                                                …

                        

Штрих у коэффициентов  означает, что они имеют размерность. Окончательно получим линейное уравнение:

                (4)

Для определения  коэффициентов  можно использовать планы ПФЭ или ДФЭ. 

Переход от коэффициентов  , полученных по планам ПФЭ или ДФЭ с кодированными факторами,  к коэффициентам , имеющим размерность, осуществляется по формулам

, 

Где интервал варьирования факторов, – нулевой уровень факторов. 

6 ПРИМЕР ПЛАНИРОВАНИЯ  ЭКСПЕРИМЕНТОВ, ПРИМЕНЯЕМЫХ  В МЕНЕДЖМЕНТЕ  КАЧЕСТВА ПРОИЗВОДСТВА.

      Пример  основывается на изучение контрастности  краски и её стоимости в зависимости  от химических компонент краски. Основной задачей является оптимизация значений химического состава краски с  целью повышения её контрастности - качества, при одновременном уменьшении её стоимости.