Планирование эксперимента. Обзор планов. Виды модельных уравнений. Области их применения. Электромеханические системы автоматики

      Таким образом, в случаях, когда используются только линейные приближения функции  отклика, количество опытов следует  сократить, используя для планирования так называемые регулярные дробные реплики ПФЭ, содержащие подходящее число опытов и сохраняющие основные свойства матрицы планирования. Реплика, включающая только половину экспериментов ПФЭ, называется полурепликой, включающая четвертую часть опытов – четвертьрепликой и т. д. Краткое обозначение указанных дробных реплик 2^{k – 1}, 2 ^{k– 2} соответственно.

      Построение  регулярной дробной реплики или  проведение дробного  факторного эксперимента (ДФЭ) типа 2^k–p предусматривает отбор из множества k факторов k–p основных, для которых строится план ПФЭ. Этот план дополняется р столбцами, которые соответствуют остальным факторам. Каждый из этих столбцов формируется по специальному правилу, а именно, получается как результат поэлементного умножения не менее двух и не более k–p определенных столбцов, соответствующих основным факторам. Иначе говоря, в  дробных репликах p линейных эффектов приравнены к эффектам взаимодействия. Но именно такое построение матрицы планирования и позволяет обеспечить ее симметричность, ортогональность и нормированность.

Таблица 1.2

      Правило образования каждого из p столбцов ДФП называют генератором плана. Каждому дополнительному столбцу соответствует свой генератор (для плана типа 2^{k– p} должно быть задано p различных генераторов). Генератор задается как произведение основных факторов, определяющее значение элементов соответствующего дополнительного столбца матрицы планирования. Примером записи генератора для плана 2^{3 – 1} служит выражение x₃ = x₁x₂, табл. 1.2. Матрица планирования ДФП типа 2^{k– p} содержит k + 1 столбец и N = 2^{k– p} строк.

    3. ПЛАНЫ ДЛЯ ОПИСАНИЯ ПОВЕРХНОСТИ ОТКЛИКА

3.1. Композиционные планы

      Применение  линейных планов совместно с методом  градиентного поиска оптимума позволяет  достичь окрестностей точки оптимума. Поиск оптимального решения в  этой области требует перехода от линейных моделей к моделям более  высокого порядка – как минимум  к полиномам второй степени. Полином  второго порядка содержит эффектов:

      Построение  такой модели требует применения плана, в котором каждая переменная принимает хотя бы три различных  значения. Существуют различные подходы  к построению планов второго порядка. Можно воспользоваться ПФЭ типа 3^k, но такие планы обладают большой избыточностью. Например, для трех переменных количество точек плана составит 27, а количество оцениваемых коэффициентов в функции отклика равно 10. В соответствии с идеей пошагового эксперимента планирование рационально осуществлять путем добавления специально подобранных точек к “ядру”, образованному планированием для линейного приближения. Такие планы называют композиционными (последовательными), они позволяют использовать информацию, полученную в результате реализации линейного плана.

      Композиционные  планы используются обычно на заключительном этапе исследования, когда модель приходится подбирать последовательно, начиная с простейшего линейного  уравнения, которое потом достраивается  до полной квадратичной формулы. В этом случае композиционные планы дают выигрыш  по числу опытов по сравнению с  другими планами. Эти планы можно применять и при непосредственном построении функции отклика в виде полинома (3.1).

      Решение подобных задач основано на применении ортогональных или ротатабельных  центральных композиционных планов (ЦКП). Эти планы используют в качестве ядра полный факторный эксперимент или минимально возможные регулярные дробные реплики типа 2^{k – p}. В качестве дробной реплики применяют такую, в которой два любых парных взаимодействия по модулю не равны друг другу

для любых  попарно различных индексов. Именно план ПФЭ или дробные реплики, удовлетворяющие указанному условию, служат ядром ЦКП. На практике широкое  распространение получили два типа ЦКП, известные как планы Бокса  и Хартли. Понятие “центральный”  означает, что факторы принимают  значения, симметричные относительно центра плана.

      Центральный композиционный план второго порядка  называют планом Бокса, если его ядром  является ПФЭ 2^k или регулярная реплика типа 2^{k – p}, для которой парные взаимодействия не равны по модулю линейным факторам: x_i ¹ ±x_sx_z; s ¹ z; i, s, z  = 1, 2, …, k и, кроме того, выполняется условие (3.2).  .

      Центральный композиционный план второго порядка  называют планом Хартли, если его ядром  является регулярная реплика типа 2^{k –p}, в которой некоторые парные взаимодействия равны по модулю линейным факторам.  Иначе говоря, ЦКП второго порядка будет или планом Бокса или планом Хартли. Планы Хартли более экономны по числу опытов, чем планы Бокса, но уступают им по точности оценивания коэффициентов, кроме того, их нельзя сделать ни ортогональными, ни ротатабельными. Такой план не позволяет получить раздельные оценки соответствующих коэффициентов. Планы Хартли целесообразно применять, если известно, что часть эффектов b_j или b_ju в модели отсутствует (следовательно, простые эффекты можно смешивать с парными взаимодействиями, не теряя в разрешающей способности плана) или тогда, когда дисперсия наблюдений относительно мала.

3.2. Ротатабельные центральные композиционные планы 

      В некоторых случаях ортогональное  планирование второго порядка не отвечает потребностям практики –  при описании поверхности отклика, особенно в окрестностях точки оптимума, более значимой является оценка дисперсии  уравнения в целом, чем оценка дисперсии отдельных коэффициентов  полинома. В этом случае обычно стремятся  к равномерности распределения  информации в уравнении функции  отклика по всем направлениям. Такому положению отвечают ротатабельные  планы. Кроме сказанного, подобные планы  второго порядка позволяют минимизировать систематические ошибки, связанные  с неадекватностью представления  результатов полиномами второго порядка. Но построение ротатабельного плана второго порядка более сложно, чем ортогонального, а сама задача построения не имеет однозначного решения.  
 
 

3.3 Оценка адекватности. 

      В общем случае под адекватностью  понимают степень соответствия модели тому реальному явлению или объекту, для описания которого она строится.

      Вместе  с тем, создаваемая модель ориентирована, как правило, на исследование определенного  подмножества свойств этого объекта. Поэтому можно считать, что адекватность модели определяется степенью ее соответствия не столько реальному объекту, сколько  целям исследования. В наибольшей степени это утверждение справедливо  относительно моделей проектируемых  систем (то есть в ситуациях, когда  реальная система вообще не существует).

      Тем не менее, во многих случаях полезно  иметь формальное подтверждение (или  обоснование) адекватности разработанной  модели. Один из наиболее распространенных способов такого обоснования — использование  методов математической статистики. Суть этих методов заключается в  проверке выдвинутой гипотезы (в данном случае — об адекватности модели) на основе некоторых статистических критериев.

      При проверке гипотез методами математической статистики необходимо иметь в виду, что статистические критерии не могут  доказать ни одной гипотезы — они  могут лишь указать на отсутствие опровержения.

      Итак, каким же образом можно оценить  адекватность разработанной модели реально существующей системе?

      Процедура оценки основана на сравнении измерений  на реальной системе и результатов  экспериментов на модели и может  проводиться различными способами. Наиболее распространенные из них:

• по средним значениям откликов модели и системы;
• по дисперсиям отклонений откликов модели от среднего значения откликов системы;
• по максимальному значению относительных отклонений откликов модели от откликов системы.

      Названные способы оценки достаточно близки между  собой по сути, поэтому ограничимся  рассмотрением первого из них. При  этом способе проверяется гипотеза о близости среднего значения наблюдаемой  переменной Y среднему значению отклика реальной системы Y*.

      В результате N0 опытов на реальной системе получают множество значений (выборку) Y*. Выполнив NM экспериментов на модели, также получают множество значений наблюдаемой переменной Y.

      Затем вычисляются оценки математического  ожидания и дисперсии откликов модели и системы, после чего выдвигается  гипотеза о близости средних значений величин Y* и Y (в статистическом смысле). Основой для проверки гипотезы является t-статистика (распределение Стьюдента). Ее значение, вычисленное по результатам испытаний, сравнивается с критическим значением tКР взятым из справочной таблицы. Если выполняется неравенство tn<tKР, то гипотеза принимается. Необходимо еще раз подчеркнуть, что статистические методы применимы только в том случае, если оценивается адекватность модели существующей системе. На проектируемой системе провести измерения, естественно, не представляется возможным.

      Единственный  способ преодолеть это препятствие  заключается в том, чтобы принять  в качестве эталонного объекта концептуальную модель проектируемой системы. Тогда  оценка адекватности программно реализованной  модели заключается в проверке того, насколько корректно она отражает концептуальную модель. Данная проблема сходна с проверкой корректности любой компьютерной программы, и  ее можно решать соответствующими методами, например с помощью тестирования. 

      4 ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТОВ STATISTICA Design of Experiments.

      Модуль  Планирование экспериментов STATISTICA DOE предлагает исчерпывающий набор процедур для построения и анализа экспериментальных планов, используемых в промышленных исследованиях.

      Вниманию  пользователя предлагаются 2**(k-p) факторные планы с блоками (для планов, содержащих более 100 факторов, имеются высокоэффективные алгоритмы для нахождения планов с минимальной аберрацией и максимально несмешанных планов, в которых пользователь может задавать эффекты взаимодействия, которые должны быть несмешанными), отсеивающие планы (для более 100 факторов предусмотрены планы Плакетта-Бермана), 3**(k-p) факторные планы с блоками (в том числе планы Бокса-Бенкена), смешанные планы, (малые) центральные композиционные планы (или поверхности отклика), планы на Латинских квадратах, робастные планы Тагучи и ортогональные массивы, планы для смесей и тернарных поверхностей, вершины и центроиды для поверхностей и смесей с ограничениями, D- и A-оптимальные планы для факторных планов, поверхностей и смесей. Ниже представлено подробное описание доступных планов и методов их построения и анализа. 
 

      4.1 Анализ экспериментов: общие свойства

      Для анализа всех факторных планов, планов для поверхностей отклика и для  смесей имеются сходные опции. Они  могут работать с несбалансированными  и неполными планами и дают пользователю полный контроль при выборе модели, подгоняемой к данным. Программа  вычислит обобщенную обратную матрицу X'X (где X обозначает матрицу плана) для  оцениваемых эффектов, а также  эффекты, являющиеся псевдонимами других эффектов. Затем программа автоматически  выведет таблицу псевдонимов  и вычислит оценки параметров для  всех существенных эффектов. Вы можете также быстро и просто включать в  модель или исключать из модели отдельные  эффекты. Любой анализ может быть проведен с использованием перекодированных значений факторов или исходных значений факторов. Предусмотрено большое  количество опций для просмотра  оценок параметров, анализа дисперсионной  таблицы и т. д. Доступны также  дополнительные опции для исследования предсказанных (подогнанных) средних, поверхностей и т.п.; эти опции  описаны ниже при рассмотрении соответствующих  планов.