Планирование эксперимента. Обзор планов. Виды модельных уравнений. Области их применения. Электромеханические системы автоматики

 
 

СОЖЕРЖАНИЕ

Часть 1

Введение 2

Общие положения теории планирования эксперимента 3

    Общие понятия. 3

Критерии оптимальности  и типы планов 10

Планы для решения задач оптимизации 12

Постановка  задачи оптимизации 12

Полный  факторный эксперимент типа 2^k 14

Дробный факторный эксперимент 16

Планы для решения задач оптимизации 17

Композиционные  планы 17

Ротатабельные центральные композиционные планы 18

Оценка  адекватности 19

Планирование экспериментов STATISTICA Design of Experiments 20

Анализ  экспериментов: общие свойства 21

Анализ  остатков и преобразования 21

Оптимизация одномерных или многомерных переменных отклика: профили отклика(желательности) 22

Планы с  минимальной аберрацией и максимально  несмешанные.2**(k-p) дробные факторные  планы с блоками 22

Отсеивающие планы 23

Отсеивающие планы 23

Смешанные факторные  планы 23

Трехуровневые 3**(k-p) дробные факторные планы  с блоками

и планы Бокса-Бенкен 23

Центральные композиционные планы (поверхности  отклика) 24

D- и A-оптимальные  планы 25

Планы для  смесей и поверхностей с ограничениями 25

Планирование эксперимента для задач физико-математического характера 26

Пример планирования экспериментов, применяемых в менеджменте качесвта производства 27

Заключение. 32

Список литературы. 34

Часть 2 
 
 
 
 
 
 
 

Введение 

      Экспериментальные исследования являются основным источником получения достоверных сведений об объектах реального мира. Такие  исследования проводятся с целью  выбора рациональных технологических  режимов функционирования или оптимизации  параметров систем, оценки степени  выполнения заданных требований к создаваемым  изделиям, выяснения закономерностей  функционирования, анализа влияния  факторов на показатели качества систем и т.д. Натурные исследования свойств  технических средств или сложных  моделей требуют значительных затрат ресурсов. Данное обстоятельство заставляет уделять серьезное внимание рациональной организации экспериментального изучения таких объектов.

      Экспериментальные данные формируются путем пассивного наблюдения либо с помощью активного  эксперимента. При пассивном наблюдении информация получается путем регистрации  необходимых сведений в условиях обычного функционирования объекта. В  активном эксперименте производится целенаправленное воздействие на объект по заранее  составленной схеме. Активный эксперимент  позволяет расширить область  исследования, точнее вскрыть закономерности функционирования, сократить потребности  в ресурсах на проведение исследования. Но организация и проведение активного  эксперимента сложнее пассивного. Кроме  того, следует учитывать и принципиальные ограничения в проведении активных экспериментов на действующих объектах, невозможность их осуществления  для недоступных объектов.

      Планирование  экспериментов (ПЭ) охватывает широкий  круг вопросов – от учета конкретных особенностей определенных объектов исследования до общих концептуальных проблем.

      Целесообразность  создания и начальные положения  специальной теории планирования эксперимента впервые были сформулированы в Англии на агробиологической станции в  Ротамстеде в ходе решения практических задач по растениеводству в конце  XIX века. Серьезный вклад в становление теории внес Р.А. Фишер, именно его работы в тридцатых годах прошедшего столетия заложили основы теории статистического анализа, начал науки о планировании и анализе сравнительных экспериментов. Среди наших соотечественников существенную роль в становлении отечественной школы в области теории ПЭ и ее практического применения сыграли Ю.П. Адлер, Е.В. Маркова, В.В. Налимов, В.В. Федоров и другие ученые.

      В настоящее время Теория планирования эксперимента (ТПЭ) выступает как самостоятельное научное направление и находит практическое применение там, где проводятся сложные научные и технические экспериментальные исследования. Теория использует аппарат математической статистики, линейной алгебры, комбинаторики и других разделов математики.

      Методы  теории планирования экспериментов  направлены на разработку оптимальных  планов проведения экспериментов, с целью сокращения объема проводимых исследований при заданной точности и достоверности получения результатов, извлечения из полученных опытных данных максимума полезных сведений. Составной частью ТПЭ является исследование способов обработки результатов эксперимента, проведенного по выбранному плану, анализ свойств получаемых оценок показателей качества объекта. Экспериментальные данные, полученные с помощью ТПЭ, часто являются основой для применения других математических методов, например градиентных методов оптимизации.

      Наличие формальной теории планирования эксперимента не исключает необходимости четкого  представления физических основ  процессов, протекающих в объекте  исследования, факторов, воздействующих на объект. Эти сведения нужны на этапе составления плана эксперимента, при анализе и интерпретации  результатов. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

    1.1. Основные понятия

      Теория  ПЭ охватывает практически все встречающиеся  на практике варианты исследования объектов. Экспериментальное планирование позволяет решить следующие задачи:

1. Поиск значений параметров системы, обеспечивающих достижение оптимального значения показателя качества исследуемого объекта при известных ограничениях на значения этих параметров.
2. Перебор всех допустимых сочетаний значений параметров системы с целью поиска оптимального варианта нерационален по затратам ресурсов.
3. Приближенное аналитическое описание функциональной связи показателей качества с параметрами системы по результатам проведенного эксперимента.

      Традиционные  методики проведения экспериментов  из-за зависимости компонентов восстанавливаемого аналитического описания не позволяют  определить раздельное влияние каждого  фактора на результирующий показатель, т.е. эти методики обеспечивают получение  аналитических зависимостей, пригодных  лишь для решения интерполяционных задач. В отличие от них ТПЭ  дает возможность оценить вклад  каждого параметра в значение показателя, т.е. приближенно восстановить закон функционирования объекта  по экспериментальным данным. Полученное аналитическое описание объекта  можно использовать для предварительного исследования вариантов построения системы или в интересах построения модели старшей системы, включающей данный объект на правах элемента;

4. Оценка дифференциального влияния уровней параметров системы на показатель качества.

      Такая задача возникает в случае, когда  параметры системы являются по своей  природе качественными или когда  количественные параметры могут  принимать небольшое число различных  значений.

      Кроме указанных, существуют и других задачи, решаемые с помощью ТПЭ, например:

испытания образцов техники. Планирование должно позволить оценить степень соответствия показателей качества образцов заданным требованиям при минимальном  объеме испытаний;

отсеивающие эксперименты. Предназначены выявить  параметры, незначительно влияющие на показатель качества системы. Соответствующие  планы применяют на начальных  этапах исследования, когда нет конкретных сведений о влиянии тех или иных параметров. Отсеивание несущественных факторов снижает трудоемкость решения задач оптимизации или приближенного аналитического описания системы;

адаптивное  планирование. Применяется в условиях управления технологическим процессом, когда система управления все  время должна приспосабливаться  к конкретным условиям функционирования, а возможно, и предсказывать дальнейшее развитие процесса.

      Решение задач с применением ТПЭ предусматривает  использование априорной информации об изучаемом процессе для выбора общей последовательности управления экспериментами, которая уточняется после очередного этапа проведения исследований на основе вновь полученных сведений. Тем самым достигается  возможность рационального управления экспериментами при неполном первоначальном знании характеристик исследуемого объекта. Целесообразность применения ТПЭ тем выше, чем сложнее исследуемая  система.

      В ТПЭ исследуемый объект (реальный объект, модель объекта) рассматривается  как "черный ящик", имеющий входы  v (управляемые независимые параметры) и выходы y (отклики).

      Переменные  v принято называть факторами. Теория ПЭ изучает только активный тип экспериментов, когда имеется возможность независимо и целенаправленно менять значения факторов v во всем требуемом диапазоне. Факторы в эксперименте бывают качественными и количественными. Качественные факторы можно квалифицировать или приписать им числовые обозначения, тем самым перейти к количественным значениям. В дальнейшем будем считать, что все факторы являются количественными и представлены непрерывными величинами (если другое не оговорено особо). Переменным v можно сопоставить геометрическое понятие факторного пространства – пространства,  координатные оси которого соответствуют значениям факторов. Совокупность конкретных значений всех факторов образует точку в многомерном факторном пространстве. Примерами факторов являются: интенсивность потока запросов к базе данных, скорость передачи данных по каналу, объем запоминающего устройств. Кроме того, на объект воздействуют возмущающие факторы, они являются случайными и не поддаются управлению.

Область планирования задается интервалами  возможного изменения факторов v_{i min} < v_i < v_{i max}  для i =1, 2, …, k, где k – количество факторов. В теории ПЭ часто используют нормализацию факторов, т.е. преобразование натуральных значений факторов в безразмерные (кодированные) величины.  Переход к безразмерным значениям x_i задается преобразованием

где v_i – натуральное значение фактора, v_i0 – натуральное значение основного уровня фактора, соответствующее нулю в безразмерной шкале,  Dv_i – интервал варьирования. Совокупность основных уровней всех факторов представляет собой точку в пространстве параметров, называемую центральной точкой плана или центром эксперимента. С геометрической точки зрения нормализация факторов равноценна линейному преобразованию пространства факторов, при котором проводятся две операции: перенос начала координат в точку, соответствующую значениям основных уровней факторов; сжатие – растяжение пространства в направлении координатных осей.

      Активный  эксперимент включает: систему воздействий, при которых воспроизводится  функционирование объекта; регистрацию  отклика объекта.  План эксперимента задает совокупность данных, определяющих количество, условия и порядок реализации опытов. Опыт составляет элементарную часть эксперимента и предусматривает воспроизведение исследуемого явления в конкретных условиях с последующей регистрацией результата. В условиях случайности в одних и тех же условиях проводятся параллельные (повторные) опыты в интересах получения статистически устойчивых результатов. Опыт u предполагает задание конкретных значений факторам v _u = v_1u, v_2u, …,  v_ku, а совокупность значений факторов во всех N точках плана эксперимента образует матрицу плана