Для решения нескольких уравнений совместно Mathcad представляет блок решений. Блок решений  состоит из ключевого слова  Given, группы уравнений и заканчивается функцией Find.

     Для решения системы уравнений необходимо сделать следующее: задать начальные приближения для всех неизвестных, входящих в систему уравнений. Mathcad решает уравнения при помощи итерационных методов. На основе начального приближения строится последовательность, сходящаяся к искомому решению.

     Напечатать ключевое слово Given. Оно указывает Mathcad, что далее следует система уравнений.

     Ввести  уравнения и неравенства в  любом порядке ниже ключевого  слова Given. Удостоверьтесь, что между  левыми и правыми частями уравнений  стоит символ «=». Используйте <ctrl>= для печати символа =. Между левыми и правыми частями неравенств может стоять любой из символов: <, >, ?‚ ?.

     Ввести  любое выражение, которое включает функцию Find. Эта функция возвращает решение системы уравнений. Число  аргументов должно быть равно числу  неизвестных.

ПРИМЕР 2. Решить систему уравнений

Решение

     Определим начальные значения для всех переменных:

     Введем  систему уравнений после ключевого  слова Given:

     Зададим ограничения для переменных в  виде неравенств:

     Введем  выражение, которое включает функцию Find:

     Найдем  решение системы: 

Задания для самостоятельного выполнения.

     Задание 1. Решить уравнение x=cos(x)

     Задание 2. Решить систему уравнений х=2y+5 и у=5х-1.

ЛАБОРАТОРНАЯ  РАБОТА №3

     Тема. Дифференцирование функции. Геометрический смысл производной.

     Цель. Научиться находить численное значение производной функции в заданной точке.

Краткие сведения

     I. Вычисление производной функции.

     Оператор  производной Mathcad предназначен для  нахождения численного значения производной  функции в заданной точке. Для  вычисления производной используется клавиша со знаком «?».

     Для того чтобы найти производную функции и вычислить ее численное значение, необходимо сделать следующее: сначала определить точку, в которой необходимо найти производную. Щелкнуть ниже определения этой точки. Затем набрать «?». Появится оператор производной с двумя полями. Щелкнуть на поле в знаменателе и набрать имя переменной, по которой проводится дифференцирование. Щелкнуть на поле справа и набрать выражение, которое нужно дифференцировать. Чтобы увидеть результат, нажать знак =.

ПРИМЕР 1. Найти производную в точке

Решение

     Определим точку, в которой необходимо найти  производную:

     Введем  оператор производной, заполним поля и  вычислим производную:

     Помните!

     Результат дифференцирования есть не функция, а число - значение производной в указанной точке переменной дифференцирования. Хотя дифференцирование возвращает только одно число, можно определить одну функцию как производную другой функции. Например: Вычисление f(x) будет возвращать в численной форме производную g(x) в точке х.

     Выражение, которое нужно дифференцировать, может быть вещественным или комплексным.

     Переменная  дифференцирования должна быть простой  неиндексированной переменной.

     II. Геометрический смысл производной. 

• Решение

     

• Введем  данную функцию и найдем ее значение в точке:

     

• Найдем  значение производной данной функции в точке:

     

• Запишем уравнение  касательной для данной функции:

     

• Построим  график данной функции и касательную  к ней.

     Задания для самостоятельного выполнения.

     Задание 1. Найти производную функции в  произвольной точке.

     Задание 2. Дана функция y=f(x). Построить график функции и касательную к графику в точке с абсциссой x=x0. Y=f(x0)(x-x0)+f(x0) – уравнение касательной.

ЛАБОРАТОРНАЯ  РАБОТА №4

     Тема. Интегральное исчисление.

     Цель. Научиться находить определенные интегралы функций, вычислять площадь фигуры при помощи интеграла.

Краткие сведения

     Определенный интеграл.

     Оператор  интегрирования в Mathcad предназначен для  численного вычисления определенного  интеграла функции по некоторому интервалу.

     Знак  интеграла выводится при нажатии  клавиши со знаком &.

     Для того чтобы вычислить определенный интеграл, необходимо сделать следующее: щелкнуть в свободном месте и набрать знак &. Появится знак интеграла с пустыми полями для подынтегрального выражения, пределов интегрирования и переменной интегрирования: «?»

     Щелкнуть  на поле внизу и набрать нижний предел интегрирования. Щелкнуть на верхнем поле и набрать верхний предел интегрирования.

     Щелкнуть  на поле между знаком интеграла и d и набрать выражение, которое  нужно интегрировать.

     Щелкнуть  на последнее пустое поле и набрать  переменную интегрирования.

     Чтобы увидеть результат, нажать знак =.

ПРИМЕР 1. Вычислить определенный интеграл от 0 до 5

Решение

Введем знак интеграла и заполним пустые поля;

Вычислим интеграл:

     Помните!

     Пределы интегрирования должны быть вещественными. Выражение, которое нужно интегрировать  может быть вещественным, либо комплексным.

     Кроме переменной интегрирования, все переменные в подынтегральном выражении  должны быть определены ранее в другом месте рабочего документа.

     Переменная  интегрирования должна быть простой  переменной без индекса.

     Если  переменная интегрирования является размерной величиной, верхний и нижний пределы интегрирования должны иметь ту же самую размерность.

Площадь фигуры

     Как известно, при помощи определенного  интеграла можно вычислять площадь  фигуры.

ПРИМЕР 2. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

Решение

     Построим  графики этих функций в одном  графическом блоке:

     Вычислим  площадь полученной фигуры: (кв.ед.)

Задания для самостоятельного выполнения.

Задание 1. Вычислить определенный интеграл.

Задание 2. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций. Построить эту фигуру.

ЛАБОРАТОРНАЯ  РАБОТА №5

     Тема. Построение графиков функций.

     Цель. Познакомиться с основными действиями при создании графика в

     Mathcad. Научиться строить декартов график, графики поверхности, полярные  графики.

Краткие сведения

1. Основные действия при создании графика.

Чтобы создать график, необходимо проверить  следующие операции: предварительно определить аргумент и функцию аргумента, для которой будет строиться график. Аргумент задается диапазонной переменной, а функция аргумента - функцией пользователя.

     Например: х:=0,0.1..р

     Y(x):=sin(x)

     Щелкнуть  мышью там, где нужно создать  график. Выбрать Декартов график из меню Графика. При этом на экране появится «заготовка» графика с шестью полями ввода, по три на каждой оси. Чтобы увидеть график, необходимо заполнить пустые поля: пустое поле в середине горизонтальной оси предназначено для независимой переменной графика. Нужно ввести в это пустое поле дискретную переменную, переменную с индексом или любое выражение, содержащее дискретную переменную.

     Пустое  поле в середине вертикальной оси  содержит выражение, график которого нужно  построить. Нужно ввести в это  пустое поле дискретную переменную или  любое выражение, содержащее дискретную переменную, находящуюся на горизонтальной оси.

     Другие 4 пустые поля могут использоваться, чтобы отменить автоматический выбор  границ на осях координат в Mathcad.

     Нажать <Enter>. В указанном прямоугольнике появляется график функции.

     Для того чтобы вывести функцию на график необходимо сделать следующее: напечатать выражение, график которого нужно получить, в среднее поле на оси ординат и напечатать х в среднем поле на оси абсцисс.

     Можно также определить функцию f(x) и поместить  ее в среднее пустое поле оси ординат. Это особенно полезно для функций, представляемых громоздким выражением.

ПРИМЕР 1. Построить график функции

Решение

Определим аргумент и функцию аргумента, для  которой будет строиться график.

Построим  график этой функции.

Размещение  нескольких графиков на чертеже

     Можно построить несколько кривых на одном и том же чертеже – для этого достаточно определить их и перечислить в виде списка в шаблоне графика.

     График  может содержать несколько выражений  по оси ординат в зависимости  от одного выражения по оси ординат, согласованных с соответствующими выражениями по оси абсцисс.

     Например, чтобы представить графически несколько  выражений по оси ординат относительно одного выражения по оси абсцисс, необходимо:

     Вести первое выражение для оси ординат, сопровождаемое запятой. Непосредственно  под первым выражением появится пустое поле.

     Ввести  в это пустое поле второе выражение, сопровождаемое другой запятой, чтобы  получить другое пустое поле и т.д.

     Помните! Все выражения должны использовать одну и ту же дискретную переменную.

     Можно построить несколько независимых кривых на одном чертеже. Для этого необходимо:

     Ввести  два или более выражения, отделяемых запятыми на оси абсцисс, и то же самое число выражений на оси  ординат. Mathcad согласует выражения  попарно - первое выражение оси абсцисс  с первым выражением оси ординат, второе со вторым и т.д. Затем рисуется график каждой пары.

     Помните! Каждая согласованная пара выражений должна использовать одну дискретную переменную. Дискретная переменная для одной согласованной пары не должна быть дискретной переменной для других пар.

ПРИМЕР 2. Построить графики трех функций,зависящих от одной переменной х, в пределах одного графического блока:

Решение

Определим аргумент и функции аргумента, для  которых будут строиться графики.

Построим  графики данных функций.

Построение графиков поверхностей

     Трехмерные  графики в Mathcad отображают графически матрицы значений.

     Чтобы создать график поверхности, необходимо:

     Определить  матрицу значений, которую необходимо отобразить графически. Mathcad будет использовать номер строки и столбца матрицы в качестве координат по осям X и Y. Элементы матрицы будут представлены на графике как высоты выше или ниже плоскости X-Y.

     Выбрать График поверхности из меню Графика. Mathcad покажет рамку с одним полем ввода.

     Напечатать  имя матрицы в этом поле. Затем нажать клавишу [F9] или, в автоматическом режиме, щелкнуть мышью вне выделенной графической области.

ПРИМЕР 3. Построить график поверхности f(x,y)=sin(x+y)

Определим функцию  двух переменных:

Допустим, что  по осям x и y необходимо 20 точек. Определим дискретные аргументы i и j, чтобы индексировать эти точки.

Определим x и y как равномерно располагаемые точки  на осях X и Y.

Заполним матрицу М значениями F(x , y)

Выберем График поверхности из меню Графика. Напечатаем М в поле ввода и щелкнем  вне графической области.

 


Построение  полярного графика

     Для отображения функций, которые неудобно воспроизводить в декартовых координатах, можно строить полярные графики.

     Чтобы создать график в полярных координатах, необходимо:

     Выбрать Полярный график из меню Графика. Mathcad показывает круг с четырьмя полями ввода.

     Выше  области графика определить угол Q и функцию угла R(Q).

     Поле  ввода внизу предназначено для  угловой переменной графика. Ввести туда дискретную переменную или любое  выражение, включающее дискретную переменную.

     Поле  ввода слева должно содержать  выражение для радиуса.

     Два поля ввода справа предназначены  для верхнего и нижнего граничных  значений радиуса. Mathcad заполняет эти  поля по умолчанию.

     В Mathcad полярные графики рисуются путем  замены R и Q на декартовы координаты x и y с использованием стандартных преобразований x=Rcos(Q) и y=Rsin(Q). Предполагается, что R и Q могут принимать и положительные, и отрицательные значения.

ПРИМЕР 4. Построить график функции R(Q)=cos(Q)+1

Определим приращение для Q:

Определим Q как дискретный аргумент с заданным приращением:

Определим R(Q) как функцию Q:

Отобразим график R(Q) в полярных координатах. 


     Помните! Mathcad не обрабатывает график, пока вы не нажмете [F9], или, в автоматическом режиме, не щелкните мышью вне области графика.

     Задания для самостоятельного выполнения.

Задание 1. Построить график функции.

Задание 2. Построить графики двух функций, зависящих от одной переменной.

Задание 3. Построить график поверхности.

Задание 4. Построить график в полярных координатах.

ЛАБОРАТОРНАЯ  РАБОТА №6

     Тема. Программирование в Mathcad.

     Цель. Познакомиться с возможностями программирования, научиться создавать программы и решать задачи при помощи программ.

Краткие сведения

Создание  программ

     Для решения тех проблем, которые  не могут быть реализованы стандартными средствами, в системе Mathcad предусмотрена возможность написания небольших программ. Программы в Mathcad являются частным случаем выражений пакета Mathcad.

     Для написания программ используется программная  палитра, которая вызывается кнопкой панели управления. Имеется 10 операторов, из которых строится программа.

     Создание  программы начинается с кнопки AddLine. Появится вертикальная линия, которая  играет роль операторных скобок. Справа от вертикальной линии находятся  поля ввода для занесения операторов. Операторы вводятся соответствующей кнопкой на программной палитре. Поля ввода для дополнительных операторов открываются с помощью щелчка по кнопке «AddLine». Чтобы исключить лишнее поле ввода, его нужно выделить и нажать клавишу <DEL>.

     Вместо  оператора присваивания :=, в программах пользуются оператором локального присваивания <. В качестве результата работы Mathcad возвращает значение. Этим значением  является значение последнего выражения, выполненного программой.

ПРИМЕР 1. Найти один из корней квадратного уравнения

Решение

Определим коэффициенты и свободный член уравнения:

Найдем  один из корней уравнения:

Условные  операторы.

     Могут встретиться случаи, в которых  какой-нибудь оператор нужно выполнить  только в случае выполнения некоего условия. Этого можно добиться с помощью условного оператора «if».

     После нажатия на клавишу «if» появится два поля ввода. Правое поле ввода  предназначено для выражения, которое  должно выполняться. Левое поле ввода  предназначено для значения, которое  будет иметь выражение, если логическое выражение в правом поле истинно.

Циклы

     При программировании появляется возможность  многократного выполнения некоторой  последовательности операторов в цикле. Mathcad предлагает 2 вида циклов, отличающихся по способу определения условия завершения цикла: for или while.

     Цикл  «while».

     Цикл  данного типа используют, если цикл должен завершиться по выполнении некоторого условия, причем момент выполнения этого  условия заранее не известен.

     Чтобы записать цикл типа while, нужно:

     Щелкнуть по кнопке «while» в панели программирования.

     Напечатать  условие выполнения в верхнем  поле ввода. Обычно это - логическое выражение.

     Записать  в оставшемся поле ввода выражение, подлежащее повторяющемуся вычислению.

     Обнаружив заголовок цикла типа while, Mathcad проверяет условие цикла. Если оно истинно, то Mathcad выполняет тело цикла и снова проверяет условие. Если оно ложно, то Mathcad заканчивает выполнение цикла.

     Циклы «for».

     Цикл  данного типа используют, если заранее  точно известно необходимое число выполнений цикла.

     Число выполнений определяется переменной цикла, задаваемой в его начале.

     Для создания цикла типа for, необходимо:

     Щелкнуть  по копке «for» на панели программирования.

     Напечатать  в поле ввода слева от знака  имя переменной цикла.

     Ввести в поле справа от знака диапазон значений, в котором должна изменяться переменная цикла.

     Форма задания диапазона в точности такая же, как и для дискретного  аргумента.

     В оставшееся поле ввода впечатать  выражение, подлежащее повторяющимся  вычислениям.

     Обычно оно включает в себя переменную цикла.

ПРИМЕР 2. Дан ребус. Каждой букве соответствует определенная цифра. Восстановить пример.

     Задачи  для самостоятельного выполнения.

• В одном районе расположены четыре населенных пункта. По территории района проходит железная дорога. По просьбе жителей района планируется построить железнодорожную станцию и проложить дороги от нее до населенного пункта. Требуется определить наиболее удобное расположение железнодорожной станции. (Место для станции надо выбрать так, чтобы наибольшее из расстояний от нее до населенных пунктов было как можно меньше.
• Две моторные лодки равномерно двигались по реке в направлении к озеру, в которое река впадает. Поравнявшись, они начали двигаться равноускоренно. Какая из лодок раньше дойдет до озера?
• На заданном расстоянии от пушки находится стена. Известны угол наклона пушки и начальная скорость снаряда. Попадет ли снаряд в стену?
• На узкой улице внезапно заклинило тормоза у «Волги». В результате немедленно образовалась «пробка». Шофер стоящего сзади грузовика, у которого лопнуло терпение, предложил помочь убрать «Волгу» с проезжей части дороги, оттащив ее на обочину с помощью троса. Удастся ли оттащить «Волгу»?
• Расположенный на берегу реки металлургический завод осуществил сброс сточных вод, в результате чего концентрация вредных веществ в реке резко увеличилась. С течением времени эта концентрация, естественно, уменьшается. Требуется сообщить, каков будет уровень загрязнения реки через сутки, двое суток и т.д. до тех пор, пока концентрация не станет меньше предельно допустимой.
• Органами милиции задержан грузовик с помидорами, похищенными на овощной базе. В городе всего четыре овощные базы, каждая из них получает помидоры из своего сельскохозяйственного района. Определить, с какой базы были вывезены помидоры. Расследование осложняется тем, что помидоры на всех базах одного сорта.
• Бетон, производимый на заводах А и В, нужно развозить по трем стройплощадкам: С1, С2 и С3. Известны потребности стройплощадок в бетоне, запасы бетона на каждом заводе и затраты на перевозку 1 т бетона от каждого завода до каждой стройплощадки. Требуется составить такой план перевозок, который обеспечивал бы наименьшие затраты.
• Для полива трех полей колхоз использует насосную станцию. На первое поле требуется подать не менее 200 кубометров воды в сутки, на второе - не менее 300, на третье не менее 350. В распоряжении колхоза 1200 кубометров воды в сутки. Стоимость подачи q кубометров воды на первое поле 1570q р., на второе поле 1720q р., на третье 1930q р. Сколько кубометров воды надо подать на каждое поле, чтобы затраты были наименьшими?
• Для производства вакцины на заводе планируется выращивать культуру бактерий. Известно, что если масса бактерий - х г, то через день она увеличится на (a-bx)x г, где коэффициенты a и b зависят от вида бактерий. Как изменяется масса бактерий через 1,2,3,…,365 дней (до конца года)?
• На острове живут зайцы и волки. Экологи установили такую закономерность: если в начале года количество зайцев равно х, а количество волков - у, то через год число зайцев будет равно х+(4-0,001у-0,0001х)х, а число волков будет равно у+(-0,03+0,003х)у. Сколько зайцев и волков будет на острове через год, два, три и т.д.? При каких начальных значениях х и у на острове исчезнут волки и зайцы?
 
 


Заключение 

     В последнее десятилетие в математике очень быстро развивалось новое направление – так называемая компьютерная, или символьная, математика, представленная в настоящее время пакетами программ Maple, MathCad, Mathematicа, Maxima, Scilab и др. Эти пакеты программ позволяют проводить символьные (формульные) вычисления на очень серьезном математическом уровне в различных областях как самой математики, так и ее приложений, обладают понятным интерфейсом и мощными графическими возможностями. Появление этих пакетов программ произвело переворот в фундаментальной и прикладной науке. Возможность персональных компьютеров проводить формульные вычисления радикально меняют представление о роли ученых в научных исследованиях, а также и о целях и задачах математического образования. В современных условиях задачей школьного образования является формирование фундаментальной целостной системы знаний, позволяющей осуществлять быструю, самостоятельную и оптимальную ориентацию в различных потоках информации и всевозможных негативных массовых увлечений. При этом становится важным развитие навыков научного исследования, которое воспитывают рациональное, критическое мышление, способное самостоятельно анализировать ситуацию, моделировать ее, и на этой основе проводить исследования, в свою очередь побуждающие к получению новых знаний. Требованием времени является необходимость освоения постоянно обновляющих компьютерных технологий и органичное их внедрение в структуру образования.

     В процессе написания курсовой работы была проанализирована теоретическая  и научно-методическая литература по данной теме.

     В ходе работы было сделано следующее:

     - определенны особенности элективных  курсов по информатике в профильном  обучении;

     - выявлена сущность изучения пакетов  символьной математики Maple, MathCad, Mathematicа, Maxima, Scilab;

     - разработано содержание фрагмента прикладного профильного курса - «Математический пакет для научных расчетов «Mathcad»;

     - составлено тематическое планирование данного фрагмента курса;

     - разработаны лабораторно-практические занятия по данному фрагменту курса;

     - разработан материал для учащихся к лабораторным работам с вариантами заданий для самостоятельного выполнения.

     Разработанные лабораторно-практические занятия  по курсу «Математический пакет  для научных расчетов «Mathcad»» могут  быть использованы в практике работы учителей. Это будет служить не только расширению и углублению теоретических знаний, умений и навыков школьников по математике, но предполагает и практическую подготовку, усиливающую профориентационную направленность обучения математике с использованием математических пакетов (в частности, пакета Mathcad).  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


Список  использованных источников 


     1. Акритас, А. Основы компьютерной алгебры Пер. с англ. / А. Акритас – М.: Мир. – 1994.

     2. Говорухин, В.Н.Введение в Maple. Математический пакет для всех/ В.Г. Цибулин, В. Н. Говорухин. – М.: Мир. – 1997. – 208с.

     3. Двайт, Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы / Г. Б. Двайт. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы. – 1983. – 176с.

     4. Дьяконов, В.П. «Maple 7: учебный курс» / В.П.Дьяконов. – СПб.: Питер. – 2002.

     5. Дьяконов, В.П. Mathematica 4: учебный курс / В.П. Дьяконов. – СПб: Питер. – 2001.

     6. Кормилицина, Т.В. Лабораторный практикум по информационным технологиям в математике. Методические указания по выполнению лабораторных работ. / Т. В.Кормилицина. // Саранск: ГОУВПО «Мордовский государственный педагогический институт имени М.Е. Евсевьева», – 2009. – 44 с.

     7. Лапчик, М.П. Методика преподавания информатики. / М.П. Лапчик, И.Г. Семакин, Е.К. Хеннер. // 3–е издание. Москва, Издательский центр «Академия», – 2006 г.

8. Матросов, А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики. / А.В. Матросов. – СПб.:БХВ – Петербург, – 2001. – 528с.

     9. Программно-методические материалы: Информатика. 1-11 классы. 3–е издание. Москва, Издательский центр «Академия». – 2005 г.

       – 96с.