И. С. Козлова, Ю. В. Щербакова Начертательная геометрия. Конспект лекций

4) затем пересечение проходит по прямой RN, которая принадлежит плоскости 4 (RN = rn);

5) далее с плоскости 4 линия пересечения переходит на поверхность шара 5, центр которого находится в точке О, а центр окружности, по которой секущая плоскость пересекает поверхность шара, 1 в точке Q. При этом радиус этой окружности равен q́ṕ = QP, им нужно провести дугу из центра Q до встречи с прямой RM в точке N (MN = mn);

6) соответственно от пересечения секущей плоскости с поверхностью цилиндра 6 должна получиться дуга эллипса BE. Здесь цилиндры 1 и 6 имеют общую ось, вследствие чего у обоих эллипсов один и тот же центр находится в точке F;

7) линия пересечения переходит в точке Е на поверхность конуса 7, тогда наклон секущей плоскости по отношению к основанию конуса оказывается больше наклона образующей. Следовательно, мы получаем гиперболу с вершиной в точке Н, а слева от горизонтальной проекции на рисунке 110 построен натуральный вид этого сечения.

Лекция  № 12. Следы прямой на поверхности геометрических тел

1. Пирамида

Чтобы найти  следы прямой на поверхности некоторого геометрического тела, нужно провести через прямую вспомогательную плоскость, затем найти сечение поверхности  тела этой плоскостью. Искомыми будут  точки пересечения найденного сечения и данной прямой (рис. 111).

Для нахождения точек М и N, в которых прямая I встречает поверхность пирамиды, проделаем следующее.

1. Через данную прямую I нужно провести фронтальнопроектирующую плоскость Р.

2. Затем найти точки А₁, В₁ и С₁, в которых ребра пирамиды встречают плоскость Р. Вследствие этого получим треугольник сечения поверхности пирамиды плоскостью Р.

Прямая I и треугольник  А₁В₁С₁ лежат в одной и той же плоскости Р, поэтому точки М и N пересечения прямой I со сторонами треугольника А₁В₁С₁ являются искомыми.

2. Конус

Пусть нужно  найти точки М и N, в которых прямая I встречает поверхность конуса. Для этого рассмотрим рисунке 112, на котором показано нахождение следов прямой на поверхности конуса. Через вершину S и данную прямую I проводят плоскость Р, что показано на рисунке 112, б, причем плоскость Р будет пересекать конус по двум образующим: AS и BS. Упомянутые образующие встретят данную прямую в искомых точках М и N. Тогда найдём проекции точек пересечения (рис. 112, а):

1) плоскость Р определяется точкой S и прямой I, тогда найдем ее след Р_h. При этом одна точка следа P_h определяется следом h₁ прямой I. Вторая точка искомого следа P_h находится путем проведения в плоскости Р произвольной прямой до встречи с горизонтальной плоскостью. С этой целью соединим точку S с любой точкой С этой прямой и найдем след h₂ прямой SC. Прямая, соединяющая точки h₁ и h₂, будет представлять собой след P_h;

2) затем нужно приступать к нахождению горизонтальных проекций а и b точек пересечения А и В следа P_h с окружностью основания конуса;

3) после этого проводят горизонтальные проекции as и bs, образующих AS и BS, причем их фронтальные проекции не нужны;

4) далее отмечают точки пересечения m и n горизонтальных проекций образующих as и bs с горизонтальной проекцией данной прямой, они будут горизонтальными проекциями искомых точек М и N;

5) в заключение остается найти фронтальные проекции ḿ и ń на фронтальной проекции Í данной прямой.

Лекция  № 13. Пространственные линии

1. Цилиндрическая винтовая линия

Образование винтовой линии. Рассмотрим рисунок 113а на нем  точка М двигается равномерно по некоторой окружности, которая  представляет собой сечение круглого цилиндра плоскостью Р. Здесь эта плоскость перпендикулярна его оси.

Допустим, что  и сама окружность движется равномерно вверх или вниз по поверхности  цилиндра. При этом плоскость Р, которая содержит окружность, будет оставаться всё время параллельной самой себе. Пять различных положений плоскости, которая содержит движущуюся точку, показаны на рисунке 113 б.

Вследствие этих двух равномерных движений данная точка  М пройдет некоторую пространственную кривую М₁М₂М₃М₄М₅. На рисунке 113в показана эта линия, которая располагается на поверхности цилиндра и носит название цилиндрической винтовой линии. Она не может быть совмещена с плоскостью. На рисунке 113 г показано наглядное представление о винтовой линии, которое дает пружина.

Особое внимание следует уделить рассмотрению способности линии перемещаться по самой себе. Прямая линия и окружность обладают способностью перемещаться по самим себе, вследствие чего цилиндрическая винтовая линия также может перемещаться по самой себе. Например, завинчивая металлический винт в специально приготовленное для него отверстие, мы наблюдаем скольжение одной винтовой поверхности по другой.

Шаг винтовой линии. Точка, сделав полный оборот вокруг цилиндра, будет подниматься вверх или опускаться вниз на некоторое расстояние, которое будет одним и тем же для каждого полного оборота точки (рис. 114). Шагом винтовой линии называется подъем точки за один оборот. Витком называется часть винтовой линии, которая описывается точкой за один оборот.

Правая  и левая винтовые линии. На рисунке 114 будем рассматривать цилиндр со стороны основания в то время, когда точка, перемещаясь по винтовой линии, будет удаляться от наблюдателя. Вероятны два случая: движение по часовой стрелке или против неё. Если движение проходит по часовой стрелке, то будет иметь место правая винтовая линия (рис. 114а), а если против часовой стрелки – левая (рис. 114б). На рисунке 114(а-б) в первом случае видимая часть линии будет подниматься слева направо, а во втором – справа налево.

Проекции винтовой линии. Одна проекция прямого кругового цилиндра, на котором расположена винтовая линия, является окружностью, а другая – прямоугольником (рис. 114). Нужно построить фронтальную проекцию правой винтовой линии.

Допустим, движение точки начинается на основании цилиндра в точке 1 (рис. 114). Будем делить шаг винтовой линии и окружность основания на одинаковое число равных частей. На рисунке 114 этих частей 12. За полный оборот точка будет подниматься на величину шага. Следовательно, за 1/12 часть оборота она поднимется на 1/12 часть шага (точка 2).

Затем следует  провести через точки деления  шага 1́, 2,…, 12 горизонтальные прямые, а  через точки деления окружности 1, 2,…, 12 – вертикальные. Точки фронтальной  проекции винтовой линии 1́, 2́,…, 12́  будут иметь место в пересечении  горизонтальных и вертикальных прямых, которые проходят через деления шага и окружности и имеют одинаковые номера. Эти точки 1́, 2́,…, 12́ следует соединить плавной линией, которая будет представлять собой фронтальную проекцию винтовой линии. Этой линией будет синусоида.

При сравнении  фронтальных проекций правой и левой  винтовых линий убеждаемся в том, что форма кривой одна и та же, лишь видимая часть правой винтовой линии стала невидимой у левой, и наоборот. Кроме того, изменился  порядок нумерации точек деления  окружности на горизонтальной проекции. Для правой винтовой линии номера точек будут возрастать по часовой стрелке, а для левой будут убывать против часовой стрелки.

Развертка поверхности  цилиндра с нанесённой на ней винтовой линией. Если развернуть на плоскость  боковую поверхность цилиндра с нанесенной на ней винтовой линией, то винтовая линия предстанет в виде прямой линии (рис. 115), поскольку величина подъема точки пропорциональна ее перемещению вдоль окружности.

В соответствии с этим несложно изготовить модель винтовой линии, нужно только взять прямоугольник с проведенной в нем диагональю и свернуть его в виде цилиндра. При этом диагональ прямоугольника будет образовывать один виток винтовой линии.

Угол носит  название угла подъема винтовой линии, его тангенс выражается формулой:

2. Два тела вращения

Метод проведения вспомогательных плоскостей применяется  при построении линии пересечения  поверхностей двух тел вращения. Суть этого метода заключается в следующем. Проводят вспомогательную плоскость  А (рис. 115) таким образом, чтобы каждое из данных тел она пересекала по такой линии, построение которой не является сложным. Строят данные две линии, по которым вспомогательная плоскость пересекает поверхность каждого из тел, а точки пересечения этих линий относятся к искомой линии пересечения данных поверхностей. Следовательно, важно подобающим образом провести вспомогательную плоскость.

Лучше всего  начинать построение с нахождения характерных  точек, к которым главным образом  относятся точки, отделяющие видимую  часть линии от невидимой на каждой проекции. Характерными точками могут быть и самая верхняя точка линии, и самая нижняя, и самая передняя, и самая задняя и т. д. После установления всех характерных точек и указания достаточного количества промежуточных, проводят линию, которая соединяет эти точки.

Лекция  № 14. Сечения и разрезы

1. Сечения

Существуют некоторые  определения и правила, которые  относятся к сечениям.

Сечение – это плоская фигура, которая была получена в результате пересечения данного тела некоторой секущей плоскостью. При этом след секущей плоскости проводится штрихпунктирной линией. Выбирая такое направление секущих плоскостей, лучше избегать косых сечений, чтобы получались нормальные поперечные сечения тела.

Площадь сечения  покрывается штриховкой, причем линии штриховки должны составлять угол в 45° с осевыми линиями или с основными линиями контура. Здесь же наклон и расстояния между линиями должны сохраняться неизменными, а штриховка различных сечений одного и того же тела должна выполняться одинаково. Толщина линий штриховки не должна превышать одной четверти толщины линии контура, т. е. b/4 и менее. При этом заштрихованное сечение не должно бросаться в глаза толщиной линий штриховки или чрезмерной их густотой. В том случае, если осевая линия детали или линия ее контура расположена под углом 45° к осевой линии, принятой за основную на данном чертеже, штриховку выполняют под углом 30° или 60° к основной осевой линии чертежа.

На рисунке 116 показано, что контур детали и контур вынесенного сечения имеют одинаковую толщину: а) расположение вынесенного сечения на продолжении следа секущей плоскости; б) вынесенное сечение, расположенное на произвольном месте чертежа, сопровождается соответствующей подписью.

Сечения бывают вынесенными (рис. 116) и наложенными (рис. 117а). Рекомендуется выполнять вынесенные сечения, а наложенные не рекомендуются.

Контур вынесенного  сечения и контур самой детали должны иметь одинаковую толщину  b.

Вынесенные сечения  должны располагаться на продолжении  следа секущей плоскости (рис. 117а). Это сечение может быть расположено в разрыве между частями одного и того же вида. Данное сечение допускается располагать в произвольном месте чертежа (рис. 117б), тогда след секущей плоскости отмечается парой одинаковых букв русского алфавита, а над сечением ставится соответствующая надпись (рис. 117б). Если имеется нескольких сечений, то буквы следует брать в алфавитном порядке без повторений.

Для несимметричных сечений при совмещении их с плоскостью чертежа нужно:

1) вращать их слева направо, если след секущей плоскости находится вертикально (рис. 117а);

2) вращать их на себя, если след секущей плоскости размещен горизонтально.

Наложенные сечения (рис. 117) обводятся тонкими сплошными линиями, т. е. b/4 и менее, при этом толщина контура наложенного сечения примерно в четыре раза тоньше контура детали.

2. Разрезы

Определения и  правила, которые относятся к  разрезам.

Разрез – это такое условное изображение предмета, когда его часть, находящаяся между глазом наблюдателя и секущей плоскостью, мысленно удалена, и вычерчивается то, что находится в секущей плоскости и расположено за ней.

Площадь сечения  должна покрываться штриховкой, которая  при различных сечениях одного и  того же тела выполняется одинаково, а наклон и расстояния между линиями  остаются неизменными.

Классификация разрезов. В зависимости от положения секущей плоскости различают следующие разрезы (рис. 118):

1) вертикальные, если секущая плоскость вертикальна (вид слева, 118д);

2) горизонтальные, если секущая плоскость горизонтальна (план, 118в);

3) наклонные, если секущая плоскость наклонена к горизонтальной плоскости.