И. С. Козлова, Ю. В. Щербакова Начертательная геометрия. Конспект лекций

Для определения  истинных размеров треугольника ABC нужно совместить плоскость Р с горизонтальной плоскостью путем вращения около горизонтального следа P_h.

Чтобы построить  развертку, надо иметь все необходимые  элементы на эпюре, основание проектируется  без искажения на горизонтальную плоскость, а все ребра с точками  пересечения – на фронтальную плоскость.

Начинать построение развертки следует с ребра  КК₁, поместив его где-нибудь в стороне. На рисунке 96 показаны вспомогательные прямые, проведенные перпендикулярно ребру КК₁. После этого от точки К вправо откладывается отрезок KL, равный стороне основания k_l. Затем проводят второе ребро LL₁, завершая построение натурального изображения грани KK₁LL₁. Далее справа от этой грани строят натуральное изображение следующей грани LL₁M₁M и продолжают до тех пор, пока не будет целиком построена развертка боковой поверхности призмы.

После этих действий на всех ребрах отмечают точки А, В и С, откладывая на развертке KA = ḱá, LB = ĺb́ и МС = ḿс́.

Отметим, что  на развертке отрезки АВ, ВС и СА имеют натуральные размераы сторон треугольника сечения, который показан на чертеже слева в натуральную величину (треугольник ABC). В связи с этим данные отрезки должны быть равны соответствующим сторонам треугольника. Проверкой точности построения является равенство этих отрезков на чертеже.

Теперь осталось только пристроить к развертке боковой поверхности призмы верхнее и нижнее основания, т. е. два треугольника MKL и M₁K₁L₁. При этом каждый из треугольников строится по трем сторонам.

На рисунке 97 показано пересечение поверхности  призмы горизонтально-проецирующей плоскостью Q. Здесь сечением является прямоугольник АА₁В₁В, одна пара сторон которого АВ и A₁B₁ проецируется без искажения на горизонтальную плоскость, а вторая пара AA₁ и ВВ₁ – на фронтальную и профильную плоскости.

Пусть натуральные  размеры обеих сторон прямоугольника АА₁В₁В даны, но в разных местах. Для построения прямоугольника в натуральную величину нужно через а и b провести прямые перпендикулярно q, затем наметить на них где-нибудь положение точек А и В (AB⊥aA). После этого откладываются от точек А к В на вспомогательных линиях натуральные размеры сторон АА₁ и ВВ₁, при этом их берут с фронтальной проекции.

Строя натуральную  величину сечения, мы как бы совместили прямоугольник с горизонтальной плоскостью, вращая его около горизонтального  следа АВ (АВ = аb). После чего для удобства немного отодвинули это изображение от линии q.

Построение натурального вида прямоугольника

сечения весьма удобно делать слева от фронтальной  проекции призмы (прямоугольник ABB₁A₁).

3. Пирамида

На рисунке 98 показано пересечение поверхности пирамиды фронтально-проектирующей плоскостью Р. На рисунке 98б изображена фронтальная проекция а точки встречи ребра KS с плоскостью P. Она определяется пересечением следа P_v с фронтальной проекцией ребра ḱś (рис. 98 а). Если фронтальная проекция а́ точки А дана, то легко найти её горизонтальную проекцию а.

На рисунке 98, б показаны натуральные размеры  ABC сечения ABC, которые были определены совмещением его с горизонтальной плоскостью путем вращения около следа P_h. Отдельно на этом рисунке показаны элементы, которые необходимы для построения развертки. Натуральные размеры ребер пирамиды можно найти путём вращения их около оси, проходящей через вершину S перпендикулярно горизонтальной плоскости, как показано на рисунке 98 в. На рисунке 98 г показана развертка, а изображение каждого из треугольников, входящих в состав развертки, можно построить по трём его сторонам – ребрам.

На рисунке 99 показано пересечение поверхности  пирамиды горизонтально-проецирующей плоскостью Q. Треугольник ABC является сечением поверхности пирамиды плоскостью Q, основание АС которого проецируется на горизонтальную плоскость без искажения, а высота BD – на фронтальную и профильную плоскости.

Чтобы построить  натуральное изображение сечения, нужно провести через проекции а, с и d вспомогательные прямые, которые перпендикулярны Q_h. После этого следует провести прямую АС параллельно Q_h (AC⊥аА), точка D будет лежать на АС. Затем необходимо отложить от точки D на прямой Dd высоту треугольника (DB = d́b́). Это определит положение вершины В. Теперь треугольник ABC представляет собой натуральный вид сечения поверхности данной пирамиды плоскостью Q. Строить натуральный вид треугольника сечения весьма удобно слева от фронтальной проекции (треугольник ABC).

4. Косые сечения

Под косыми сечениями понимают круг задач на построение натуральных видов сечений рассматриваемого тела проецирующейся плоскостью. Для выполнения косого сечения необходимо расчленить рассматриваемое тело на элементарные геометрические тела, например призму, пирамиду, цилиндр, конус, шар и т. д. После чего следует строить натуральный вид искомого сечения, рассматривая последовательно пересечение плоскости с каждым из этих тел.

На рисунке 100 показана правильная четырёхгранная пирамида с призматическим сквозным отверстием, которая пересечена фронтально-проецирующей плоскостью. Пусть требуется построить натуральное изображение сечения. Она представляет собой две равнобедренные трапеции ABCD и EFGH.

На плане представлены размеры сторон параллельных оснований в натуральную величину, а расстояния между ними, которые являются высотами трапеций, – на главном виде. Для построения сечения этих данных достаточно. Построение выполняют в следующем порядке:

1) проводят ось симметрии сечения параллельно фронтальному следу секущей плоскости, переносят на нее высоты упомянутых трапеций. С этой целью проводят через соответствующие точки следа секущей плоскости прямые, которые перпендикулярны этому следу;

2) откладывают по обе стороны от оси симметрии половины натуральных размеров оснований трапеций:

AD = ad, BC = bc и т. д.;

3) соединяют построенные точки прямыми и заштриховывают полученные площади сечения.

Также натуральный  вид сечения можно наблюдать  справа от горизонтальной проекции пирамиды (A₁B₁C₁D₁ и E₁F₁H₁).

Заметим, что точки D, С, Н и G лежат на одной прямой, так же как и точки F, Е, В и А на другой прямой. Эти прямые являются сечениями передней и задней граней, каждая из которых разрывается отверстием на две части (это важно при построении натурального вида сечения).

На рисунке 101 показана пирамида, пересеченная горизонтально-проецирующей плоскостью. Пусть требуется построить  натуральный вид сечения. Здесь  прямую AF можно считать основанием многоугольника сечения, тогда построим это основание и от него будем откладывать высоты остальных вершин сечения. Следует поместить отрезок AF параллельно af, проводя прямые аА и fF перпендикулярно af (AF = af). Затем через горизонтальные проекции (b, с, d и е) остальных вершин многоугольника проводят прямые, перпендикулярные af. Потом откладывают на них по другую сторону от AF высоты перечисленных точек, основываясь на размерах главного вида. При этом отрезок DE должен быть параллельным AF.

Представим, выполняя это построение, что мы как бы совместили сечение с горизонтальной плоскостью проекций, вращая его около горизонтального следа af секущей плоскости, после чего немного отодвинули его в направлении, перпендикулярном следу af.

Также натуральный  вид построен справа от фронтальной  проекции (A₁B₁C₁D₁E₁F₁).

При этом точки  В, С, Е и F лежат на одной прямой.

Лекция  № 10. Пересечение поверхностей тел вращения дважды проецирующей плоскостью

1. Общие сведения

При пересечении  поверхности тела вращения плоскостью Р обычно получают в сечении некоторую кривую линию. Основными задачами являются определение проекции линии, строение натурального вида сечения и развертка рассеченной поверхности тела вращения.

Как правило, кривая линия, полученная в сечении данного  тела плоскостью, относится к лекальным  кривым. Значит, для точного ее построения необходимо довольно много точек. Чтобы найти точки кривой, применяют метод проведения вспомогательных плоскостей. На рисунке 102 изображен конус, поверхность которого пересекается некоторой фронтальной плоскостью Р. Для получения нескольких точек, которые принадлежат линии сечения (гиперболе), нужно провести вспомогательную горизонтальную плоскость Q. Данная плоскость будет пересекать конус по окружности, а плоскость Р – по прямой линии. Точки, в которых полученная прямая пересекает окружность, принадлежат искомой линии пересечения.

Проведя таким  же образом еще несколько вспомогательных  горизонтальных плоскостей, будем получаться каждый раз по две точки искомой  линии. При получении достаточного числа таких точек, следует соединить  их плавной кривой, которая будет являться проекцией искомой линии пересечения.

Следовательно, метод проведения вспомогательных  плоскостей заключается в нижеследующем.

1. Проводят вспомогательную плоскость Q так, чтобы линию пересечения ее с данной поверхностью можно было легко построить.

2. Приступают к построению этой линии, а также прямой пересечения плоскостей Р и Q, где Р является данной секущей плоскостью. Здесь общие точки линий пересечения плоскости Q с поверхностью и с данной плоскостью Р относятся к искомому сечению.

3. Выполнив несколько вспомогательных плоскостей, определяют необходимое количество точек сечения таким образом, чтобы искомую кривую можно было строить с помощью лекала.

Для поверхностей вращения любая плоскость, перпендикулярная оси вращения, будет пересекать данную поверхность по окружности. При выполнении чертежа все построения, связанные с нахождением отдельных точек кривой, нужно тонко выполнять карандашом, а после обводки кривой тушью вспомогательные построения удаляются. Благодаря этим линиям можно понять способ получения отдельных точек.

Построение развертки  в этом случае возможно только в  тех отдельных случаях, когда  поверхность относится к числу  развертывающихся, т. е. таких поверхностей, которые, будучи разрезаными вдоль какой-нибудь линии, могут быть совмещены с плоскостью (как, например, поверхность цилиндра или конуса). Однако многие поверхности, например шаровая, не могут быть совмещены с плоскостью, в связи с этим построение развертки может выполняться только приближенно.

2. Гипербола как сечение поверхности конуса фронтальной плоскостью

Пусть требуется  построить сечение поверхности  конуса, стоящего на горизонтальной плоскости, плоскостью Р, которая параллельна плоскости V.

На рисунке 103 показана фронтальная плоскость  Р, параллельная оси конуса и пересекающая его поверхность по гиперболе. Данная кривая проецируется на плоскость V без искажения.

Выполняя построение проекций сечения, вначале нужно  найти секции характерных точек. В данном случае эти характерные  точки представляют собой самые  нижние и самые верхние ее точки.

Нижние  точки сечения. На рисунке 103а показаны две самые нижние точки сечения, они лежат в горизонтальной плоскости проекций и отмечены цифрой 1. Эти точки лежат на пересечении окружности основания с горизонтальным следом секущей плоскости P_h. На эпюре рисунке 103б изображены их горизонтальные проекции 1, а их фронтальные проекции 1́ лежат на оси х.

Верхняя точка  сечения (вершина гиперболы). На этом же рисунке дана профильная проекция 3˝ вершины гиперболы, которая  непосредственно видна на профильной проекции конуса как пересечение его контура со следом Pw.

Следует отметить, что если профильная проекция конуса отсутствует, то, чтобы найти проекции вершины гиперболы (линии сечения), нужны некоторые вспомогательные  построения. При этом любая горизонтальная плоскость Q пересекает конус по окружности, которая проецируется на горизонтальную плоскость Н без искажения. Эта окружность проектируется на фронтальную плоскость проекций в виде отрезка, который равен ее диаметру и который заключен между контурными образующими конуса. Если провести горизонтальную плоскость Q достаточно близко к основанию конуса, то часть данной окружности будет отсечена плоскостью Р (окружностью 2–2). Если провести такую плоскость несколько ближе к вершине, тогда окружность целиком сохранится (окружность 4). Требуется найти такое положение горизонтальной плоскости, которое даст самую большую целую окружность (окружность 3). Эта плоскость будет касаться гиперболы в вершине, она же определит положение искомой точки 3́.