Лекции по "Экономике"

             Отношение    принято называть интенсивностью нагрузки, и обозначает оно средний объем обслуживания в единицу времени. Для данного примера интенсивность нагрузки по обслуживанию будет равна .

              Этого одного показателя достаточно  для определения вероятности появления очереди из 0, 1, 2, 3, ... требований в любой момент времени. Принимая поочередно значения п = 0, 1, 2, 3, 4, ... и подставляя их в формулу мы определим вероятности р₁, р₂, р₃, р_4, ... При интенсивности нагрузки, равной , вероятность появления очереди из трех требований (n=3) будет составлять

        Для остальных  значений n вероятность  появления   очереди требований в любой момент составит 

n        0       1 2 3     4             5     …

                      p_n                        … 

             Если бы интенсивность нагрузки  при ремонтном обслуживании выражалась другим соотношением, скажем то вероятность появления очереди требований имела бы другие значения: при n = 0, 1, 2, 3, 4, ... вероятность р_n соответственно равняется 

, , , , .

            Вероятность появления очереди требований уменьшается с увеличением значения п. Это следует понимать так: чем больше значение вероятности р_n, тем чаще может возникать событие (в нашем случае образовываться очередь из п требований) и, наоборот, чем меньше значение вероятности р_n, тем реже может возникнуть это событие. Вероятность любого события, в том числе и такого, как образование очереди требований, во всех случаях должна принимать значение больше 0 и меньше 1, т. е. должна отвечать условию 0 <р< 1. Вероятность события не может быть равна 0 или 1.

         Для определения средней очереди  требований используется формула:

. (2)

В формуле (1) и (2) предусматривается условие, при котором   < 1, т. е. среднее число поступающих требований должно быть меньше пропускной способности обслуживающей системы. Это условие является необходимым, в противном случае выражение (1) и (2) становятся непригодным.

         Зная интенсивность нагрузки, по формуле можно рассчитать среднюю длину очереди требований. Для случая, когда , средняя длина очереди требований составит

          Из приведенных данных видно,  что с увеличением интенсивности нагрузки средняя длина очереди стремительно возрастает и может стать бесконечно большой, если значение интенсивности нагрузки приблизится к 1.

          Формула (2) и выполненные на  ее основе расчеты показывают, что средняя длина очереди требований целиком зависит от интенсивности нагрузки. Чем больше значение интенсивной нагрузки, тем длиннее становится средняя очередь требований и, наоборот, чем меньше величина интенсивной нагрузки, тем короче будет средняя очередь требований.

         Из сказанного следует, что регулирование очереди требований на обслуживание достигается за счет изменения значения интенсивности нагрузки. В свою очередь интенсивность нагрузки зависит от среднего числа поступающих требований и пропускной способности обслуживающей системы . Увеличивая пропускную способность обслуживающей системы, мы создаем условия для сокращения длины средней очереди требований.

          В результате этого будет уменьшено время ожидания обслуживания и дополнительные издержки, возникающие из-за простоя технологического оборудования, вызванного ожиданием обслуживания, будут снижены. Но не трудно заметить, что увеличение пропускной способности обслуживающей системы связано также с дополнительными издержками.

          Следовательно, перед нами стоит  задача выбрать такое значение , при котором было бы обеспечено оптимальное соотношение между издержками, связанными с содержанием обслуживающей системы, и издержками из-за простоя оборудования, вызванного ожиданием обслуживания.

          Расчет суммы издержек на содержание  обслуживающей системы при различных ее вариантах сложностей не представляет. Что касается издержек, вызванных простоем оборудования, то для их определения необходимо знать среднее время ожидания обслуживания и потери производства, вызываемые простоем оборудования в единицу времени.

         Чтобы рассчитать среднее время  ожидания обслуживания, примем следующие обозначения:

— среднее время ожидания обслуживания;

— среднее время непосредственного  обслуживания.

         Сумма этих двух показателей  представляет собой среднее время, затрачиваемое на ожидание обслуживания и непосредственное обслуживание. Оно зависит от длины средней очереди и среднего числа поступивших на обслуживание требований и будет выражено:

откуда получаем

          Так как величина показателя Я является обратной по отношению к средней длительности одного обслуживания, то среднее время непосредственного обслуживания будет: .  (4)

          Подставив в выражение (3) значение  n из уравнения (2) и значение из (4), получим

         Имея =3 и =4, по   формуле (5) можно   рассчитать среднее время ожидания обслуживания:

           Теперь вернемся к нашему примеру по ремонтному обслуживанию технологического оборудования. Среднее число поступающих на обслуживание требований, в час составляет 3, т. е. = 3, среднее число требований, которое может быть обслужено бригадой в 8 человек в час, равно 4, т. е. = 4. Допустим далее, что издержки, связанные с увеличением численности ремонтных рабочих, составляют 1,5 руб. в час на одного человека. Потери производства из-за простоя единицы оборудования, вызванного ожиданием ремонтного обслуживания, равны 10 руб. в час. 

            Мы уже знаем, что, если  =3 и = 4, то . Это среднее время ожидания вызовет потери из-за простоя, равные 7,5 руб. Попытаемся сумму потерь из-за простоя снизить за счет сокращения времени простоя. Для этого в бригаду добавим двух ремонтных рабочих. Дополнительные расходы на их содержание составят 3 руб. в час, а среднее число требований, которое. может быть обслужено этой бригадой, возрастет до 5, т. е. = 5, тогда

           Потери из-за простоя снизятся  до, 3 руб. Суммарные издержки, связанные с увеличением числа рабочих и вызванные простоем оборудования, будут равны 6 руб. в час.

          Стремясь еще больше снизить  издержки, добавим в бригаду еще двух рабочих, тогда, = 6.

          Дополнительные расходы на их  содержание будут равны 6 руб. в час.

        Среднее время ожидания будет:

а потери, вызванные простоем оборудования, составят 1,67 руб. Суммарные издержки в этом случае будут 7,67 руб. Сравнивая между собой полученные варианты, мы находим, что наиболее оптимальным из них является тот, при котором интенсивная нагрузки будет доведена до за счет увеличения численности ремонтных рабочих на 2 человека.

          Мы рассмотрели элементы теории  массового обслуживания применительно к организации системы обслуживания простейшего входящего потока требований. Управление системами обслуживания других видов потоков требований (рекуррентных, регулярных с возмущениями, неординарных, сложных детерминированных, дискретных, .нестационарных и непрерывных) рассматривается в специальной литературе по теории массового обслуживания или теории очередей.