Экономическая интерпретация систем линейных уравнений

    Перепишем систему (3.8) с использованием единичной  матрицы Е в виде: 

    (Е-А) =                                                                                                            (3.9)  

    Если  существует обратная матрица (Е-А)^-1, то существует и единственное решение уравнения (3.8) 

     =(Е-А)^-1                                                                                                     (3.10) 

    Матрица (Е-А)^-1 называется матрицей полных затрат.

    Существует  несколько критериев продуктивности матрицы А. Приведем два из них:

    1. Матрица А продуктивна тогда  и только тогда, когда матрица  (Е-А)^-1 существует и её элементы неотрицательны.

    2. Матрица А с неотрицательными элементами продуктивна, если сумма элементов по любому её столбцу (строке) не превосходит единицы: 

                                                                                                          (3.11) 

причем хотя бы для одного столбца (строки) эта сумма меньше единицы.

    Рассмотрим  применение модели Леонтьева на несложных  примерах.

    Пример 1. В следующей таблице приведены данные по балансу за некоторый период времени между пятью отраслями промышленности. Найти векторы конечного потребления и валового выпуска, а также матрицу коэффициентов прямых затрат и определить, является ли она продуктивной в соответствии с приведенными выше критериями. 
 

 
 

    Решение. В таблице приведены составляющие баланса в соответствии с соотношениями (3.7): x_ij – первые пять столбцов, y_i – шестой столбец, x_i –последний столбец (I, j = 1, 2, 3, 4, 5). Согласно формулам (3.5) и (3.7) имеем: 
 

          

    Все элементы матрицы А положительны, однако нетрудно видеть, что их суммы  в третьем и четвертом столбцах больше единицы. Следовательно, условия  второго критерия продуктивности не соблюдены, и матрица А не является продуктивной. Экономическая причина этой непродуктивности заключается в том, что внутреннее потребление отраслей 3 и 4 слишком велико в соотношении с их валовым выпуском.

    Пример2. Следующая таблица содержит данные баланса трех отраслей промышленности за некоторый период времени. Требуется найти объем валового выпуска каждого вида продукции, если конечное потребление по отраслям увеличить, соответственно до 60, 70 и 30 условных денежных единиц. 
 
 
 
 
 

 
 

    Решение. Выпишем векторы валового выпуска  и конечного потребления, а так  же матрицу коэффициентов прямых затрат. Согласно формулам (3.5) и (3.7), имеем: 

          

    Матрица А удовлетворяет обоим критериям  продуктивности. В случае заданного  увеличения конечного потребления  новый вектор конечного продукта будет иметь вид: 

                                                                                                               (3.12) 

    Требуется найти новый вектор валового выпуска  , удовлетворяющий соотношениям баланса в предположении, что матрица А не изменяется. В таком случае компоненты x₁, x₂, x₃ неизвестного вектора , находятся из системы уравнений: 

    (Е-А)= . 

    Решение системы линейных уравнений при  заданном векторе правой части (3.12) (например методом Гаусса) дает новый вектор x, как решение уравнений межотраслевого баланса: 

    

    Таким образом, для того чтобы обеспечить заданное увеличение компонента вектора  конечного продукта, необходимо увеличить  соответствующие валовые выпуски: добычу и переработку углеводородов на 52,2%, уровень энергетики – на 35,8% и выпуск машиностроения – на 85% - по сравнению с исходными величинами, указанными в таблице.

 

4  Экономические задачи 

    Пример  1. Из некоторого листового материала необходимо выкроить 360 заготовок типа А, 300 заготовок типа Б и 675 заготовок типа В. При этом можно применять три способа раскроя. Количество заготовок, получаемых из каждого листа при каждом способе раскроя, указано в таблице: 
 

 
 

    Записать  в математической форме условия  выполнения задания.

    Решение. Обозначим через x, y, z количество листов материала, раскраиваемых соответственно первым, вторым и третьим способами. Тогда при первом способе раскроя x листов будет получено 3x заготовок типа А, при втором - 2y, при третьем - z.

    Для полного выполнения задания по заготовкам типа А сумма 3x +2y +z должна равняться 360, т.е. 

    3x+2y+z =360. 

    Аналогично  получаем уравнения 

    x+6y+2z=300

    4x+y+5z=675, 

которым должны удовлетворять неизвестные x, y, z для того, чтобы выполнить задание по заготовкам Б и В. Полученная система линейных уравнений и выражает в математической форме условия выполнения всего задания по заготовкам А, Б и В. Решим систему методом исключения неизвестных. Запишем расширенную матрицу системы и приведем ее с помощью элементарных преобразований к треугольному виду. 

      

      

    Следовательно, исходная система равносильна следующей:                                                     

    x+6y +2z=300,

    2y+9z=570,

    -67z=-4020. 

    Из  последнего уравнения находим z = 60; подставляя найденное значение z во второе уравнение, получим y = 15 и, наконец, из первого имеем x = 90. Итак, вектор C (90, 15, 60) есть решение системы.

    Пример 2. Три судна доставили в порт 6000 т чугуна, 4000 т железной руды и 3000 т апатитов. Разгрузку можно производить как непосредственно в железнодорожные вагоны для последующей доставки потребителям, так и на портовые склады. В вагоны можно разгрузить 8000 т, а остаток груза придется направить на склады. Необходимо учесть, что поданные в порт вагоны не приспособлены для перевозки апатитов. Стоимость выгрузки 1 т в вагоны составляет соответственно 4,30, 5,25 и 2,20 ден. ед.

    Записать  в математической форме условия полной разгрузки судов, если затраты на нее должны составить 58850 ден. ед.

    Решение. По условию задачи, доставленные в  порт чугун, железную руду и апатиты  можно разгрузить двумя способами: либо в железнодорожные вагоны, либо в портовые склады. Обозначим через x i j количество груза (в тоннах) i-го вида (i= 1,2,3), которое предполагается разгрузить j-м способом (j = 1, 2). Таким образом, задача содержит шесть неизвестных. Условие полной разгрузки чугуна можно записать в виде 

    x₁₁ + x₁2 = 6000,                                                                                          (4.1) 

где x₁₁, x₁₂ - части чугуна, разгружаемого соответственно в вагоны и на склады. Аналогичное условие должно выполняться и для железной руды: 

    x₂₁+x₂₂=4000.                                                                                                   (4.2) 

    Что же касается апатитов, то их можно разгружать только на склады, а поэтому неизвестное x₃₁=0, и условие полной разгрузки апатитов принимает вид: 

    x₃₂=3000.                                                                                                          (4.3) 

    Условие полной загрузки всех поданных в порт вагонов запишется так:

    x₁₁+x₂₁=8000.                                                                                                  (4.4) 

    Затраты на разгрузку, по условию, определены в 58850 ден. ед., что можно выразить записью: 

    4,3x₁₁+7,8x₁₂+5,25x₂₁+6,4x₂₂+3,25x₃₂=58850.                                              (4.5) 

    Итак, с учетом сложившейся в порту ситуации условия полной разгрузки судов выражаются в математической форме системой линейных уравнений (4.1) - (4.5). С учетом (4.3) уравнение (4.5) перепишется в виде: 

    4,3x₁₁+7,8x₁₂+5,25x₂₁+6,4x₂₂=49100, 

и теперь мы имеем  систему из четырех уравнений с четырьмя неизвестными x₁₁, x₁₂, x₂₁, x₂₂, расширенная матрица которой имеет вид: 

      

    Преобразуем к треугольному виду: 

      

      

    Наша  система равносильна следующей: 

    x₁₁+x₁₂=6000,

    -x₁₂+x₂₁=2000,

    x₂₁+x₂₂=4000,

    -2,35x₂₂=-4700, 

откуда x₂₂=2000, x₂₁=2000, x₁₂=0, x₁₁=6000.

    Пример  3.На предприятии имеется четыре технологических способа изготовления изделий А и Б из некоторого сырья. В таблице указано количество изделий, которое может быть произведено из единицы сырья каждым из технологических способов.

    Записать  в математической форме условия  выбора технологий при производстве из 94 ед. сырья 574 изделий А и 328 изделий  Б.