Экономическая интерпретация систем линейных уравнений

Курсовая  работа

На  тему: «Экономическая интерпретация систем линейных уравнений»

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Содержание 

Введение.......................................................................................................................3

1 Системы линейных уравнений………………………………………………..….5

    1.1  Основные понятия и определения..............................................................5

    1.2 Система n линейных уравнений с n переменными. Метод обратной матрицы и формулы Крамера.....................................................................................6

    1.3 Метод Гаусса................................................................................................7

    1.4 Система n линейных уравнений с m переменными...............................11

    1.5 Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений......................................................................................................................12

2 Применение систем линейных уравнений в экономике....................................13

3 Модель Леонтьева многоотраслевой экономики...............................................15

    3.1 Балансовые соотношения.........................................................................15

    3.2 Линейная модель многоотраслевой экономики.....................................15

    3.3 Продуктивные модели Леонтьева............................................................17

4 Экономические задачи..........................................................................................21

Заключение.................................................................................................................26

Список  использованных источников.......................................................................27

 

     Введение 

    Экономика как наука об объективных причинах функционирования и развития общества еще со времен своего возникновения  пользуется разнообразными количественными  характеристиками, а потому вбирает  в себя большое количество математических методов. Одним из таких методов и является решение систем линейных уравнений.

    Многие  теоретические и практические вопросы  приводят не к одному уравнению, а  к целой системе уравнений  с несколькими неизвестными. Особенно важен случай системы линейных уравнений, т.е. системы m уравнений 1ой степени с n неизвестными:

    

      a₁₁x₁ + …+ a_1n x_n = b₁ ;

     a₂₁x₁ + …+ a_2n x_n = b₂ ;                            

      ………………………

     a_m1x₁+…+ a_mnx_n  = b_m .     

    Здесь x₁, … , x_n – неизвестные, а коэффициенты записаны так, что индексы при них указывают на номер уравнения и номер неизвестного. Значение систем 1ой степени определяется не только тем, что они простейшие. На практике часто имеют дело с заведомо малыми величинами, старшими степенями которых можно пренебречь, так что уравнения с такими величинами сводятся в первом приближении к линейным. Не менее важно, что решение систем линейных уравнений составляет существенную часть при численном решении разнообразных прикладных задач. Ещё Г.Лейбниц (1693) обратил внимание на то, что при изучении систем линейных уравнений наиболее существенной является таблица, состоящая из коэффициентов, и показал, как из этих коэффициентов (в случае m = n) строить так называемые определители, при помощи которых исследуются системы линейных уравнений. Впоследствии такие матрицы, или матрицы, стали предметом самостоятельного изучения, так как обнаружилось, что их роль не исчерпывается приложениями к теории систем линейных уравнений. Современная алгебра, понимаемая как учение об операциях над любыми математическими объектами, является одним из разделов математики, формирующих общие понятия и методы для всей математики. Для современной алгебры характерно то, что в центре внимания оказываются свойства операций, а не объектов, над которыми проводятся данные операции. Классическим разделом алгебры является линейная алгебра, т.е. теория векторных пространств и модулей, частью которых являются  сформировавшиеся ещё в XIX веке теория линейных уравнений и теория матриц. Идеи и методы линейной алгебры применяются во многих разделах математики. Так, основным предметом изучения функционального анализа являются бесконечномерные векторные пространства.

    Г.Крамером в 1750 году было установлено правило, применимое к любой системе n линейных уравнений c n неизвестными. Оно носит название правила Крамера. Построение полной теории произвольных систем линейных уравнений было закончено только спустя 100 лет Л.Кронекером.

    Применение  правила Крамера при практическом решении большого числа линейных уравнений может встретить различные трудности, так как нахождение определителей высокого порядка связано с весьма большими вычислениями. Поэтому были разработаны методы численного (приближённого) решения систем линейных уравнений, наиболее известным из которых является метод Гаусса. Система линейных уравнений может иметь как одно единственное решение (определённая система), так и несколько (и даже бесконечное множество) решений (неопределённая система); может также оказаться, что система линейных уравнений не имеет ни одного решения (несовместная система). Вопрос о совместности системы линейных уравнений, т.е. вопрос о существовании решения системы линейных уравнений, решается сравнением ранга матриц [а_ij] и [a_ij, b_j ]. Если ранги совпадают, то система совместна; если ранг матрицы В строго больше ранга матрицы А, то система несовместна (теорема Кронекера-Капелли).

    Несколько уравнений вида  a₁x₁ + …+ a_nx_n= b образуют систему линейных уравнений

    a_j1x₁ + …+ a_jnxn = b_j ,   j = 1, …, m,

    которую можно записать как

    _x1a1 + …+ x_na_n = b,

где а₁, …, а_n, b m-мерные векторы, являющиеся столбцами расширенной матрицы b системы. Отсюда следует, что различные линейные уравнения в функциональных пространствах, линейные дифференциальные уравнения, линейные интегральные уравнения являются бесконечномерными аналогами обычных систем линейных уравнений.

    Экономическая интерпретация систем линейных уравнений  – очень интересная и важная тема. Цель моей работы заключается в том, чтобы изучить различные способы  решения систем линейных уравнений для применения их в экономике.

 

1 Системы линейных уравнений 

     1.1  Основные понятия  и определения

    Система m линейных уравнений с n переменными  имеет вид: 

              (1.1)

    где a_ij, b_i(i = 1,2,…,m; j = 1,2,…n) – произвольные числа, называемые соответственно коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений.

    В более краткой записи с помощью  знаков суммирования систему можно  записать в виде: 

                                                                                         (1.2) 

    Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и  несовместной, если она не имеет  решений.

    Совместная  система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет  более одного решения. Например, система уравнений 

     - совместная и определенная, так как имеет единственное  

    решение (10;0); система    - несовместная; 

    Система уравнений - совместная и неопределенная, так как  

имеет более  одного, а точнее бесконечное множество  решений(x₁=c, x₂=10-2c, где с – любое число).

    Две системы уравнений называются равносильными, или эквивалентными, если они имеют  одно и то же множество решений. С  помощью элементарных преобразований системы уравнений получается система (1.1), равносильная данной.

    Запишем систему (1.1) в матричной форме. Обозначим: 

        

где А  – матрица коэффициентов при  переменных, или матрица системы, X – матрица-столбец переменных; В – матрица столбец свободных членов.

    Так как число столбцов матрицы А_{m n} равно числу строк матрицы X_n-1, то их произведение  

      

есть  матрица-столбец. Элементами полученной матрицы являются левые части системы (1.1). На основании определения равенства матриц систему (2.1) можно записать в виде: 

    AX=B.                                                                                                              (1.3) 

  1.2 Система n линейных уравнений с n переменными. Метод обратной матрицы и формулы Крамера

    Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными: 

                                                      (1.4) 

    Определителем системы (1.4) называется определитель, составленный из коэффициентов а_ij.   

                a₁₁     a₁₂     …     a_1n 

    ∆  =    a₂₁     a₂₂     …     a_2n 

              ……………………..

               a_n1      a_n2     …     a_nn 

    Рассмотрим  случай, когда ∆ ≠ 0. Докажем, что  в этом случае система (1.4) является определенной, т.е. имеет одно единственное решение. Как и ранее, через А_ij будем обозначать алгебраическое дополнение элемента а_ij в определителе ∆.

    Умножим каждое уравнение системы (1.4) на алгебраические дополнения элементов i-го столбца определителя ∆, т.е. первое уравнение умножим на А_1i, второе – на А_2i и т.д., наконец, последнее уравнение – на А_ni, а затем все полученные уравнения системы сложим. В результате будем иметь 

    (a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + …+ a_1ix_i + …+ a_1nx_n) A_1i + (a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + …+ a_2ix_i +

+ …+ a_2nx_n) A_2i + …+ (a_n1x₁ + a_n2x₂ + …+ a_nix_i + …+ a_nx_nn) A_ni = b₁A_1i + b₂A_2i + …+ b_nA_ni

     

или, сгруппировав члены относительно известных x₁, x₂, …, x_n, получим 

    (a₁₁A_1i + a₂₁A_2i + …+ a_n1A_ni) x₁ + … + (a_1iA_1i + a_2iA_2i + …+ a_niA_ni) x_i + …

    + (a_1nA_1i + a_2nA_2i + …+ a_nnA_ni) x_n = b₁A_1i + b₂A_2i + …+ b_nA_ni.                     (1.5) 

    Коэффициент при неизвестной х_i равен определителю ∆, а коэффициенты при всех других неизвестных равны нулю. Свободный член уравнения (1.5) отличается от коэффициента при х₁ тем, что коэффициенты а_1i, а_2i, …, а_ni заменены свободными членами b₁, b₂, …, b_n уравнения (1.4). Следовательно, выражение b₁A_1i + b₂A_2i + …+ b_nA_ni  есть определитель i-го порядка, отличающийся от определителя    только i-м столбцом, который заменен столбцом свободных членов. Обозначив этот определитель ∆x_i, будем иметь 

              a₁₁    a₁₂   …    b₁    …    a_1n

    ∆x_i = a₂₁    a₂₂   …    b₂    …    a_2n   

             …………………………….

             a_n1    a_n2 …    b_n    …    a_nn