Экономическая интерпретация систем линейных уравнений

    

    Пусть r<n. r переменных x₁,x₂,…, x_r называются основными (или базисными), если определитель матрицы из коэффициентов при них (т.е. базисный минор) отличен от нуля. Остальные n-r называются не основными или свободными.

    Так как каждому разбиению переменных на основные и не основные соответствует  одно базисное решение, а число способов разбиения не превосходит числа  сочетаний C , то и базисных решений конечное число, не превосходящее C , где r m. 

1.4 Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений

    Система m линейных уравнений с n переменными называется системой линейных однородных уравнений, если все их свободные члены равны нулю. Такая система имеет вид: 

                                                                            (2.4) 

    Система линейных однородных уравнений всегда совместна, так как она всегда имеет, по крайней мере, ненулевое решение.

    Если  в системе (2.4) m=n, а ее определитель отличен от нуля, то такая система имеет только не нулевое решение, как это следует из теоремы и формул Крамера. Ненулевые решения возможны лишь для таких систем линейных однородных уравнений, в которых число уравнений меньше числа переменных или при их равенстве, когда определитель системы равен нулю.

    Обозначим решение системы (2.4) x₁=k₁, x₂=k₂,…x_n=k_n в виде строки e₁=(k₁,k₂,…,k_n).

    Решения системы однородных уравнений обладают следующими свойствами:

    2. Если строка e₁=(k₁,k₂,…,k_n) – решение системы (2.4), то строка e₁=( k₁, k₂,…, k_n) – решение этой системы.

    2. Если строка e₁=(k₁,k₂,…,k_n) и e₂=(k₁,k₂,…,k_n) – решения системы (2.4), то при любых с1 и с2 их линейная комбинация с₁е₁+с₂е₂=(с₁k₁+с₂l₁, c₁k₂+c₂l₂,+…,c₁k_n+c₂l_n) – также решение данной системы.

    Обшее решение системы (2.4) линейных однородных уравнений имеет вид: 

    с₁е₁+с₂е₂+…+с_ке_к,                                                                                           (2.5) 

    где е₁,е₂,…,е_к – любая фундаментальная система решений, с₁,с₂,…,с_к – произвольные числа и k=n-r.

 

2 Применение систем линейных уравнений в экономике 

    В этом разделе мы рассмотрим задачи, приводящие к составлению и решению  систем линейных алгебраических уравнений  на основе прогноза выпуска продукции  по известным запасам сырья.

    Предприятие выпускает три вида продукции, используя  сырье трех типов. Необходимые характеристики производства указанны в следующей таблице: 
 

 
 

    Требуется определить объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья. Задачи такого рода типичны при прогнозах и оценках функционирования предприятий, экспертных оценках проектов освоения месторождений полезных ископаемых, а также в планировании микроэкономики предприятий.

    Решение. Обозначим неизвестные объемы выпуска продукции через x₁, x₂, x₃. Тогда при условии полного расхода запасов для каждого вида сырья можно записать балансовые соотношения, которые образуют систему с тремя неизвестными: 

      

    Решая эту систему уравнений любым способом, находим, что при заданных запасах сырья объемы выпуска продукции составят по каждому виду соответственно (в условных единицах): 

    x₁=150, x₂=250, x₃=100. 

    Общая постановка задачи прогноза выпуска  продукции. Пусть 

    C= ; i=1, 2, …, m, j=1, 2, …, n                                                            (3.1) 

-матрица затрат  сырья m видов при выпуске продукции n видов. Тогда, при известных объемах запаса каждого вида сырья, которые образуют соответствующий вектор: 

     =(q₁, q₂, …, q_m)                                                                                             (3.2) 

вектор-план =(x₁, x₂, …, x_n) выпуска продукции определяется из решения системы m уравнения с n неизвестными: 

    C = ,                                                                                                        (3.3) 

Где индекс «T» означает транспонирование вектора-строки в вектор-столбец.  
 

 

3 Модель Леонтьева многоотраслевой экономики 

    Микроэкономика  функционирования многоотраслевого хозяйства  требует баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль, с одной  стороны, является производителем, а с другой – потребителем продукции, выпускаемой другими отраслями. Возникает довольно непростая задача расчета связи между отраслями через выпуск и потребление продукции разного рода. Впервые эта проблема была сформулирована в 1936 г. в виде математической модели в трудах известного американского экономиста В. Леонтьева, который попытался проанализировать причины экономической депрессии в США 1929-1932 гг. Эта модель основана на алгебре матриц и использует аппарат матричного анализа. 

    3.1   Балансовые соотношения

    Для простоты будем полагать, что производственная сфера хозяйства представляет собой  n отраслей, каждая из которых производит свой однородный продукт. Для обеспечения своего производства каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей (производственное потребление). Обычно процесс производства рассматривается как некоторый период времени; в ряде случаев такой единицей служит год.

    Введем  следующие обозначения:

    x_i-общий объем продукции i–й отрасли (её валовый выпуск);

    x_ij-объем продукции i–й отрасли, потребляемый j–й отраслью при производстве объема продукции x_i;

    y_i-объем продукции i–й отрасли, предназначенный для реализации (потребления) в непроизводственной сфере, или так называемый продукт конечного потребления. К нему относятся личное потребление граждан, удовлетворение общественных потребностей, содержание гос. институтов и т. д. 

    Балансовый  принцип связи различных отраслей промышленности состоит в том, что  валовой выпуск i-ой отрасли должен быть равен сумме объемов потребления в производственной и непроизводственной сферах. В самой простой форме (гипотеза линейности или простого сложения) балансовые соотношения имеют вид: 

    x₁=x_i1+x_i2+…+x_in+_yi,   i=1, 2, …, n.                                                (3.4) 

    Уравнения (3.4) называются соотношениями баланса.

    Поскольку продукция разных отраслей имеет  разные измерения, будем в дальнейшем иметь в виду стоимостный баланс. 

    3.2   Линейная модель многоотраслевой экономики

    В. Леонтьевым на основании анализа  экономики США в период перед второй мировой войной был установлен важный факт: втечении длительного времени величины a_ij=x_ij/x_i, меняются очень слабо и могут рассматриваться как постоянные числа. Это явление становится понятным в свете того, что технология производства остается на одном и том же уровне длительное время, и следовательно, объем потребления j-й отраслью продукции i-й отрасли при производстве своей продукции объемом x_i есть технологическая константа.

    В силу указанного факта можно сделать  допущение: для производства продукции j-й отрасли объемом x_j нужно использовать продукцию i-й отрасли объемом a_ijx_i, где a_ij-постоянное число. При таком допущении технология производства принимается линейной, а само это допущение называется гипотезой линейности. При этом числа a_ij называются коэффициентами прямых затрат. Согласно гипотезе линейности имеем: 

    a_ij=x_ij/x_i;  x_ij=a_ij*x_i; i, j=1, 2, …, n.                                                         (3.5) 

    Тогда уравнение (3.5) можно переписать в  виде системы уравнений: 

                                                                            (3.6)

    Введем  в рассмотрении векторы-столбцы  объемов произведенной продукции (вектор валового выпуска), объемов  продукции конечного потребления (вектор конечного потребления) и матрицу коэффициентов прямых затрат: 

                                                     (3.7) 

    Тогда система уравнений (2.6) в матричной  форме имеет вид 

     =A + .                                                                                                                            (3.8) 

    Обычно  это соотношение называют уравнением линейного межотраслевого баланса. Вместе с описанием матричного представления (3.8) это уравнение носит название модели Леонтьева.

    Уравнение межотраслевого баланса можно использовать в двух целях. В первом, наиболее простом случае, когда известен вектор валового выпуска  , требуется рассчитать вектор конечного потребления .

    Во  втором случае уравнение межотраслевого баланса используется для целей  планирования со следующей формулировкой  задачи: для периода времени Т (например, год) известен вектор конечного потребления и требуется определить вектор валового выпуска. Здесь необходимо решать систему линейных уравнений (3.8) с известной матрицей А и заданным вектором . В дальнейшем мы будем иметь дело именно с такой задачей.

    Между тем система (3.8) имеет ряд особенностей, вытекающих их прикладного характера  данной задачи: прежде всего – все  элементы матрицы А и векторов и должны быть неотрицательными. 

    3.3   Продуктивные модели Леонтьева

    Матрица А, все элементы которой неотрицательны, называется продуктивной, если для  любого вектора  с

      Неотрицательными компонентами  существует решение уравнения  (3.8) – вектор  , все элементы которого неотрицательны. В таком случае и модель Леонтьева называется продуктивной.

    Для уравнения типа (3.8) разработана соответствующая математическая теория исследования решения его особенностей. Укажем некоторые основные её моменты.