Лінійні динамічні моделі, динамічна модель Леонтьєва

з граничними умовами:

     

Необхідно відмітити, що, іноді, для розв’язку поставленної задачі, більш зручною може бути заміна , і=1,…, n.

     

Для визначення оптимального керування небхідно розв’язати двохточкову крайову задачу , тобто треба знайти таким чином, щоб основна змінна за час T =t₁ –t₀  перейшла з стану y(t₀)=y₀ в стан y(t₁)=y₁ в силу рівняннь (12).

      

Модель  міжгалузевого балансу

      

Основу інформаційного забезпечення моделі міжгалузевого балансу становить технологічна матриця, що містить коефіцієнти прямих матеріальних витрат на виробництво одиниці продукції. Ця матриця є базою економіко-математичної моделі міжгалузевого балансу.

      

Припускається гіпотеза, згідно з якою для виробництва одиниці продукції в

j

-й галузі  необхідна певна кількість витрат  проміжної продукції 

і-

ї галузі, що становить 

aij

, і ця величина  не залежить від обсягів виробництва  в

j

-й галузі  та є досить стабільною величиною  в часі. Величини 

aij

 називають коефіцієнтами прямих матеріальних витрат та обчислюють таким чином:

      

      (13)  

      

Коефіцієнти прямих матеріальних витрат показують, яку  кількість продукції 

і-

ї галузі необхідно  витратити, якщо враховувати лише прямі  витрати, для виробництва одиниці продукції

j-

ї галузі. З урахуванням  формули (11.4) систему рівнянь балансу (14) можна записати у вигляді

      

^Хі

 

   

Хі

      (15)

      

Якщо ввести до розгляду матрицю коефіцієнтів прямих матеріальних витрат

А

= (

а

ij

), вектор-стовпчик  валової продукції 

X

 та вектор-стовпчик кінцевої продукції

Y

:

      

      

то система  рівнянь (15) у матричній формі  матиме вигляд

      

X = AX + Y . (16)

      

Систему рівнянь (15), чи у матричній формі (16), називають 

е

кономіко-математичною моделлю міжгалузевого балансу

(моделлю Леонтьєва, м

о

деллю «витрати — випуск»

). За допомогою  цієї моделі можна виконати  три варіанти обчислень:

• задаючи в моделі обсяги валової продукції кожної галузі (Хi), можна визначити обсяги кінцевої продукції кожної галузі(Yi):

      

Y = (

E – A

)

X

, (17)

      

де 

Е

 — одинична  матриця 

n

-го порядку;

• задаючи обсяги кінцевої продукції всіх галузей (Yi), можна визначити обсяги валової продукції кожної галузі (Хi):

      

X = (

E

 – 

A

)–1

Y

; (18)

• для низки галузей задаючи обсяги валової продукції, а для решти — обсяги кінцевої продукції, можна відшукати величини кінцевої та валової продукції всіх галузей.

      

У формулах (17) та (18)

Е

 позначає  одиничну матрицю

n

-го порядку,  а (

Е

 – 

А

)–1 — матрицю,  обернену до матриці (

Е

 – 

А

).

      

Якщо визначник  матриці (

Е 

– 

А

) не дорівнює  нулеві, тобто ця матриця не  вироджена, тоді існує матриця, обернена до неї. Позначимо цю матрицю через

В

:

      

B = (

Е

 – 

А

)–1. (19)

      

Систему рівнянь у матричній формі (18) можна записати:

      

X = BY . (20)

      

Елементи матриці 

В

 позначатимемо  через 

bij 

, тоді з матричного рівняння (21) для будь-якої

і

-ї галузі  можна отримати співвідношення:

      

     (21)

      

Із співвідношення (21) випливає, що валова продукція постає як зважена сума обсягів кінцевої продукції, ваговими коефіцієнтами тут є

bіj

, котрі показують,  скільки всього необхідно виробити  валової продукції 

і

-ї галузі  для випуску у сферу кінцевого використання одиниці продукції

j

-ї галузі. На  відміну від коефіцієнтів прямих витрат

aij 

, коефіцієнти 

bіj

 називають

коефіцієнтами повних матеріальних витрат

, і вони включають  у себе як прямі, так і  опосередковані витрати всіх  порядків. Якщо прямі витрати  відбивають кількість засобів  виробництва, використаних безпосередньо на виготовлення певних обсягів даного продукту, то опосередковані стосуються попередніх стадій виробництва і входять у виробництво продукції не прямо, а через інші (проміжні) засоби виробництва.

      

езультат отриманий на моделі полягає у тому, що за деяких переплетінь економічних чинників, повна зайнятість може бути тимчасово неможливою навіть для абсолютно мобільної робочої сили. Типовою є ситуація коли таке безробіття виникає на початку переходу до нової технології, коли нового капіталу (нових робочих місць) ще недостатньо для прийняття робочої сили вивільненої зі старої технології .

      

Динаміку робочої сили в кожній з трьох галузей (зайнятої як на нових, так і на старих технологіях)).

      

Явне відображення старих виробничих потужностей дозволило відобразити ситуації, коли основні фонди залишаються без використання ще до вибуття. В результаті ступінь використання потужностей коливається від 80 до 100 % .

      

В цілому модель відбила постійне прагнення економіки  до нового потенційного рівня, визначеного новою технологією, і з цього погляду безперервний інноваційний розвиток реальних економік можна розуміти як послідовне додавання і перекриття все більш і більш прогресивних технологій, що відкривають нові і нові потенційні можливості. Відповідно стагнація означає відсутність таких нових можливостей і надто довгу затримку у стадії насичення.

     

У практичних розрахунках типові схеми регулювання не завжди дозволяють відобразити всю різноманітність регулюючих впливів в економіці. Розбивка системи на підмножини регулюючих і регульованих показників може бути здійснена в результаті ряду перетворень, що мають на меті упорядкування елементів за характером зв’язків між змінними. У нашому випадку під перетворенням структури, що описує економічну систему, будемо розуміти приведення її до такого упорядкованого вигляду, що забезпечує визначення контурів прямих і зворотних зв’язків, які інтерпретуються як причинно-наслідкові. При цьому під упорядкуванням системи, що моделюється, будемо вважати таке розташування її елементів, при якому кожний наступний елемент залежить від найбільшої кількості попередніх і найменшого числа наступних елементів. Викладені принципи побудови розширеної моделі МГБ можуть бути подані у вигляді такої блок-схеми.

Рис. 1. Блок-схема основних взаємозв’язків комплексу  моделей аналізу і розвитку економіки

     

Сформульовані цілі і методологічні основи побудови комплексної моделі економіки, що враховує процеси державного регулювання, значною мірою визначають її специфікацію. До ендогенних змінних у межах цієї специфікації насамперед необхідно віднести ті економічні характеристики, що так чи інакше відображають процес прийняття рішень у загальнодержавному масштабі. Тобто це показники, що кількісно описують процеси державного регулювання – елементи державних витрат, змінні, що виражають податкові і кредитно-грошові відносини тощо.

     

Розходження в цільових настановах і орієнтирах під час побудови будь-яких моделей мають дуже суттєве значення і впливають на зміну набору екзогенних змінних. Важливою відмітною ознакою запропонованого підходу від більшості моделей економічної динаміки є виключення змінних, що відображають основні напрями державної економічної політики, з набору екзогенних показників. Виходячи з цього, усі показники, що характеризують процеси державного регулювання, розглядаються в подальших модельних побудовах як органічна частина об’єкта, що моделюється, тобто, включаються до ендогенних змінних. Рівень деталізації змінних визначається вибором розумного компромісу між суперечливими вимогами: по-перше, необхідністю досить повно описувати об’єкт у тому аспекті, який відповідає цільовій настанові моделі; по-друге, потребою забезпечити компактність її конструкції, що дозволяє оперативно використовувати модель.

     

Передбачувана блок-схемою (рис. 1) попередня структура модифікованої динамічної моделі міжгалузевого балансу складається зі змінних, об’єднаних у 6 блоків відповідно до основних функціональних підрозділів ринкової економіки.

     

Блоки описують формування показників за такими групами:

     

1) кінцевий попит  – у тому числі за видами інвестицій і споживання;

     

2) чисельність  зайнятих за основними категоріями  працюючих і чисельність безробітних;

     

3) доходи населення  за групами; 

     

4) виробництво  продукції і матеріальні витрати  на виробництво; 

     

5) державні фінанси  за видами;

     

6) кредитно-грошові відносини.

     

Важливим блоком у модифікованій динамічній моделі МГБ є блок моделювання державних витрат, однак його розробка пов’язана з багатьма труднощами соціально-політичного характеру. У більшості вітчизняних і закордонних моделей показники державних витрат розглядаються як екзогенні. У той же час з упевненістю можна стверджувати, що динаміка державних витрат визначається не тільки зовнішніми стосовно економіки чинниками, але й станом і можливостями поточного розвитку. Такий підхід дозволяє розглядати діяльність держави в системі економічних відносин.

     

Величина кінцевого  попиту з боку держави вимірюється, в основному, військовими витратами, більша частина яких має відповідний  товарний еквівалент. Цивільні витрати також впливають на кінцевий попит, однак значна частина їх спрямовується на оплату праці державних службовців у невиробничих галузях і побічно стимулює попит через витрати на особисте споживання.

     

Розроблена в  результаті теоретичних і експериментальних  досліджень економетрична версія моделі МГБ надає широкі можливості для проведення імітаційних і прогнозних розрахунків соціально-економічного розвитку країни. При цьому імітаційні розрахунки здійснюються, в основному, для оцінки точності апроксимації фактичного руху параметрів, що описуються.

     

Імітаційні можливості моделі визначаються надійністю параметрів рівнянь та її структурою, що дозволяє врахувати найважливіші закономірності поводження системи в середньостроковому аспекті, а також короткострокові циклічні зміни. Процеси середньо- і довгострокового характеру відображаються лаговими чинниками і ланцюгами позитивних зворотних зв’язків, а короткострокові коливання економічної кон’юнктури – механізмом функціонування негативних зворотних зв’язків, і, крім того, можуть бути описані прирісними показниками.