Лінійні динамічні моделі, динамічна модель Леонтьєва

     

Висновок. На початку року Z=1,02, тому підприємство було фінансово стійким, але протягом року показник знизився до -0,66 і в цьому разі підприємство можна вважати банкрутом. 

      

Загальний висновок. За розрахунком підрозділу 1.5. підприємство ВАТ «Пиво-безалкогольний комбiнат «Славутич» за класом приналежності відноситься до V класу - організації найвищого ризику, практично неплатоспроможні. Проте за підрозділом 1.6. при оцінюванні ступеню ризику банкрутства можна сказати, що за більшістю методик виробник вважаєтья банкрутом, хоча за деяками методиками підприємство визначається, як фінансово стійке. А саме за методами оцінювання «Двохфакторна модель оцінки ймовірності банкрутства підприємства», «Оцінка ймовірності банкрутства підприємства на основі Z-рахунку Альтмана», «Модель Романа Ліса для оцінки фінансового стану», «R- модель прогнозу ризику банкрутства    ІДЕА»  - підприємство має хороші перспективі.

      

Оскільки на початок року показники підприємства були досить непоганими по всім методикам. Можна сказати, що у ВАТ «Пиво-безалкогольний комбiнат «Славутич»  є скритий потенціал, який не розкрився при можливо не правильних діях керівництва у стані кризи. 
 

 

     

РОЗДІЛ 2.

     

Лінійні динамічні моделі. Динамічна модель Леонтьєва

     

2.1. Лінійні динамічні  моделі

     

Лінійні економіко-математичні  моделі часто є неадекватними, тобто  такими, що неточно описують процес, який досліджується, тому доводиться будувати стохастичні, динамічні, нелінійні  моделі. Розв’язувати такі задачі набагато складніше, ніж лінійні, оскільки немає універсального методу їх розв’язання.

     

В залежності від  характеру функцій, що входять до складу моделі, задачі можуть бути лінійними або нелінійними. Якщо цільова функція іфункції всіх обмежень моделі є лінійними, то дана задача являє собою задачу лінійного програмування (ЗЛП).

     

Для окремих  типів нелінійних задач розроблено спеціальні числові методи розв’язання. Проте слід зазначити, що на практиці застосовують, здебільшого, лінійні економіко-математичні моделі. Часто нелінійні залежності апроксимують (наближають) до лінійних. Такий підхід є доволі ефективним.

     

Побудова  моделі задачі лінійного  програмування.

     

1. Пропорційність  означає, що внесок кожної змінної  до цільової функції та загальний обсяг споживання ресурсів є прямо пропорційними величині цієї змінної. Якщо ж, наприклад, підприємство надасть покупцеві знижку, продаючи фарбу першого виду при обсязі закупівлі вище 2 т по ціні на 0,5 тис. г.о. меншій, то питомий прибуток (коефіцієнт цільової функції при x1) дорівнюватиме 3 тис. г.о. при x1 <2 т і 2,5 тис. г.о. при x1³2. Пропорційність між прибутком підприємства та величиною x1 у цьому випадку порушиться.

     

2. Адитивність  полягає в тому, що цільова  функція являє собою суму внесків  від різних змінних. Аналогічно ліва частина кожного обмеження – це сума витрат, в якій кожна складова є пропорційною величині відповідної змінної. Якщо, наприклад, фірма виготовляє два конкуруючих товари, і збільшення збуту одного з них сприяє зниженню обсягів реалізації другого, то модель не матиме властивості адитивності.

     

Підсумовуючи  вище сказане, можна зауважити, що лінійне програмування являє собою теоретичний апарат модельного дослідження, спрямованого на відшукання найкращого способу розподілу обмежених ресурсів за декількома взаємозалежними по меті і використанню ресурсів видами виробничої діяльності. ЛП знайшло широке застосування при розв’язанні багатьох практичних задач організаційно-економічного керування.

     

За фактором часу задачі математичного програмування  поділяють на статичні та динамічні.

     

Динамічні моделі економічного розвитку основані на міжгалузевому балансі традиційно відображають науково-технічний прогрес як покращення середніх показників галузей із року у рік. (зростання продуктивності праці, скорочення коефіцієнтів технологічної таблиці, тобто ресурсів, необхідних на одиницю продукції, скорочення капіталомісткості тощо).

     

 При цьому увага зосереджена на питанні – наскільки середні технологічні параметри наступного року кращі від попереднього?

     

Однак більш глибока постановка питання - наскільки всередині одного і того ж року нові технології запроваджені через інвестиції є кращими від старих; як відбувається поступовий процес заміни старих виробництв новими; як вони співіснують поруч? - може надати моделюванню більш детального характеру і стати кроком у напрямку його подальшого наближення до реальності.

     

Крім того, капітальні вкладення традиційно розглядаються  в моделях як просте додавання до загальної суми основного капіталу (до основних фондів), де вони розчиняються як частка певної однорідної маси. Однак за своїми властивостями нові капітальні вкладення повинні суттєво відрізнятися від загального рівня, бо саме вони втілюють нові технології і саме із ними у першу чергу асоціюється прогрес.

     

Отже адекватне  моделювання прогресу вимагає, щоб виробництво продукції за новою і старою технологіями разом з їхніми таблицями коефіцієнтів витрат-випуску та іншими параметрами розглядалися відокремлено. Це також означає, що такий компонент національних рахунків як валове нагромадження основного капіталу повинен отримати власні характеристики, які б явно показували, що саме валове нагромадження нагромаджує.

     

В інших підходах таке розрізнення випуску продукції  з нового і старого обладнання, яке працює бік-обіч в межах одного і того ж року, вже запроваджено у моделях загальної рівноваги, що базуються на виробничій функції Кобба-Дагласа. Але ця функція виходить з припущення повної взаємозамінності праці та капіталу, коли збільшення будь якого з цих факторів обов’язково призводе до зростання виробництва, а це не завжди відповідає дійсності. У той же час моделі Леонтьєва навпаки розглядають робочу силу як суттєве обмеження для зростання, яке за певних обставин не можна „обійти” будь яким нарощуванням інших факторів. Таким чином перехід до явного відображення нових технологій також і в моделях Леонтьєва1 дозволить подолати недоліки вказаного попереднього підходу і посилити адекватність моделювання.

      

До таких спрощень насамперед варто віднести те, що у  статичних міжгалузеві балансові  моделі  не аналізуються розподіл, використання та виробнича ефективність інвестицій. Інвестиції винесено зі сфери виробництва до сфери кінцевого використання разом із предметами споживання та невиробничих витрат, тобто включено до кінцевого продукту.

            

Економічна динаміка відображається, таким чином, поза рамками побудованих моделей, що, очевидно, вносить певне спрощення та звужує можливості аналізу.

      

2.1.Динамічна  модель Леонтьєва

     

Pозглядається  відкрита динамічна система ( модель) В. Леонтьєва стан якої в кожен момент часу t визначається n- вимірним вектором х(t)= (x₁(t),x₂(t),…,x_n(t)), який характеризує валовий випуск економіки з n галузями. Збалансована система  динамічних рівняннь “витрат-випуску” В.Леонтьєва має вигляд

     

x - A õ - [ d õ ( t)  / d t  ) ] = ó ( t ),                                   (1 )

     

де x = ( x ₁, x₂,...., x _n ) – означає вектор валового випуску економіки з n галузями ,

`

A=I – А- матриця Леонтьєва, А=( a _ij )- n

´

n –матриця, яка описує структуру міжгалузевих зв’язків; =( b_ij )- n

´

n – матриця яка характеризує структуру основного капіталу, основних фондів;  y (t)- вектор кінцевого попиту ( вектор споживання) [1].

     

 Динамічна модель витрат- випуску (1)  може  бути представлена як система керування [2]

     

= Аx (t) +В u( t ) ,                                        ( 2 )

     

де u(t) - функція керування. Задача оптимального керування динамічною системою В. Леонтьєва полягає в тому, щоб на даному скінченному проміжку часу ( ) знайти такий вектор керування u(t) із Rⁿ при якому система ( 2 ) переходить із заданого початкового стану x(t₀)=x₀  в заданий кінцевий (запланований) стан x(t₁)=x₁ за час Т=t₁-t₀. При цьому випуклий функціонал - інтеграл достатку досягає свого максимального значення.

     

                                   ( 3)

     

Необхідно відмітити, що в функціоналі (3  є множник дисконтинування, який свідчить про те, що негайне споживання важливіше ніж в майбутньому, W(u(t))- функція корисності [3].

     

Таким чином, керована динамічна система В. Леонтьєва дозволяє дати прогноз розвитку всіх галузей економіки так, щоб за певний період часу досягти заданого рівня їх росту.

     

Покладемо                                   ( 4 )

і розглянемо розв’язок в вимірному просторі для кожного керування u(t). Нехай К – сукупність кінцевих точок траекторії в вимірному просторі, які відповідають довільним допустимим керуванням u(t), t є (t_0, t₁). Якщо система керована, то множина К випукла та замкнута [4]. При цьому необхідно врахувати природні обмеження: споживання невідємне і змінюється в межах від до , де -деякі задані додатні числа.

     

Розглянемо керовану автономну систему в  загального вигляду:

     

,     i=1,…,n          (5)

або у векторній  формі  , де y(t)={y₁(t),y₂(t),…,y_n(t)}-вектор координат стану, u(t)={u₁(t),u₂(t),…,u_n(t)}-вектор керування, вектор початкових умов.

     

Якщо вести  заміну змінних вектора стану  системи (2) де нові змінні, при цьому i=1,…,n,то вона набуває вигляду (5) з правими частинами

.                                                        ( 6 )

     

Зазначимо, що система (1), а також (2) має додатній зростаючий розв’язок, якщо функція керування u(t) змінюється в межах від до таким чином , що для довільних t , де При цьому споживання у(t)=u(t) невід’ємне і не перевищує випуск.

     

Розглянемо   функціонал

     

                     ( 7  )

     

де  - множники Лагранжа, які визначаються граничними умовами на правому кінці фазової траекторії.

     

Нехай -допоміжні змінні що задовільняють систему рівняннь

     

  i=1,2,…,n+1,               ( 8 )

     

та граничним  умовам

     

, і=1, 2,…, n+1,                                     ( 9 )

     

де       .

     

Для оптимального керування u(t), оптимального вектора стану y(t), який описується системою (5) з правими частинами (6) функціонал має мінімальне значення, а функція Гамільтона- Понтрягіна досягає максимуму по відношенню до свого керування на всьому проміжку часу

     

Функція Гамільтона- Понтрягіна має вигляд

     

      (10)

     

Пряму та спряжену систему можна  записати як:

     

,                                     (11)

     

Оптимальне керування знаходиться з умови:

     

 

     

     

,

якщо де W(u) квадратична функція корисності , матриця Р від’ємно визначена, вектор додатній, а к 1- деякий коофіцієнт пропорційності .

     

Функції та задовільняють рівнянням , ,i=1,2,…n, 

     

                   ( 12 )