Имитационное моделирование бизнес-процессов компании

Далее построим гистограмму  эмпирического распределения случайной  величины Х₁ – количества поступивших задач по работе с филиалами по частостям W_i (рисунок 10.1).

 

 

Рисунок 10.1 Гистограмма эмпирического распределения количества поступивших задач по работе с филиалами

Вид полученной гистограммы  позволяет предположить, что исследуемая случайная величина подчиняется нормальному закону.

Выдвигаем гипотезу H₀ о том, что расхождение эмпирических и теоретических частот нормального распределения не значимы.

Проверим гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности при уровне значимости α. Для этого:

1) по заданному эмпирическому  распределению вычислим выборочную  среднюю X_в, выборочное среднее квадратическое отклонение σ, а также среднее арифметическое концов интервалов X_i (см. таблицу 9.1). 

Выборочная средняя:   

Дисперсия:       ,

где S – число интервалов выборочного интервального ряда.

Среднее квадратическое отклонение (СКО):      

2) пронормируем X_i, т.е. перейдем к случайной величине Z, и вычислим концы интервалов по формулам:

          и        

3) найдем вероятность  попадания случайной величины  X в частичный интервал (X_i, X_i+1) по формуле:  ,  где функция Лапласа.

Решение пунктов 2 и 3 сведено в таблицу 10.2.  

Таблица 10.2

Вычисление теоретических  вероятностей попадания в заданный интервал             нормально распределенной случайной  величины Х₁

№ интерв.	Xi	Xi+1	Zi	Zi+1	Ф(Zi)	Ф(Zi+1)	Pi
1	2	3,6	-2,31	-1,66	-0,4893	-0,4515	0,0378
2	3,6	5,2	-1,66	-1,01	-0,4515	-0,3438	0,1077
3	5,2	6,8	-1,01	-0,36	-0,3438	-0,1406	0,2032
4	6,8	8,4	-0,36	0,29	-0,1406	0,1141	0,2547
5	8,4	10,0	0,29	0,94	0,1141	0,3264	0,2123
6	10,0	11,6	0,94	1,59	0,3264	0,4441	0,1177
7	11,6	13,2	1,59	2,24	0,4441	0,4875	0,0434
8	13,2	14,9	2,24	2,89	0,4875	0,498	0,0105

4) вычислим теоретические  частоты по формуле:  , где n – объем выборки (сумма частот).

Вычислим наблюдаемое  значение критерия по формуле:

     

5) сравним эмпирические  и теоретические частоты с  помощью критерия Пирсона, приняв  число степеней свободы  K = S-2-1, где S – число интервалов, и сделаем вывод о достоверности гипотезы.

Решение пунктов 4 и 5 представлено в таблице 9.3.

Таблица 10.3

Сравнение эмпирических и  теоретических частот

№ интерв.	Эмпирич. частота       Mi	Pi	Теоретич. частота    Mi'	(Mi - Mi')2
1	4	0,0378	3,78	0,0484	0,0128
2	9	0,1077	10,77	3,1329	0,2909
3	22	0,2032	20,32	2,8224	0,1389
4	28	0,2547	25,47	6,4009	0,2513
5	23	0,2123	21,23	3,1329	0,1476
6	9	0,1177	11,77	7,6729	0,6519
7	3	0,0434	4,34	1,7956	0,4137
8	2	0,0105	1,05	0,9025	0,8595
Сумма	100				2,7666

Уровень значимости: 

Число степеней свободы:  

Используя таблицу критических  точек распределения χ² Пирсона, по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы K, найдем критическую точку:   .

Т.к.  χ²_набл < χ²_крит, то делаем вывод о том, что выдвинутая статистическая гипотеза о законе распределения принимается, т.е. случайная величина Х₁ - количества поступивших задач по работе с филиалами подчиняется нормальному закону.

При исследовании законов  распределения случайных величин, используемых для создания имитационной модели бизнес-процесса предоставления кредита клиенту, было установлено, что нормальному закону распределения  подчиняются следующие случайные  величины:

• Х₁ – количество поступивших задач по работе с филиалами подчиняется нормальному закону;
• Х₂ - количество задач с найденными решениями по работе с филиалами подчиняется нормальному закону;
• Х₃ - количество решенных задач по работе с филиалами подчиняется нормальному закону;
• Х₄ - количество поступивших задач по работе с клиентами подчиняется нормальному закону;
• Х₅  - количество задач с найденными решениями по работе с клиентами подчиняется нормальному закону;
• Х₆ - количество решенных задач по работе с филиалами подчиняется нормальному закону;
• Х₁₀ - количество поступивших задач технического характера подчиняется нормальному закону.
• Х₁₁ - количество задач с найденными решениями технического характера подчиняется нормальному закону.
• Х₁₂ - количество решенных задач технического характера подчиняется нормальному закону.

Результаты расчета параметров, характеризующих эти случайные  процессы, представлены в таблице  10.4.

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 10.4

Параметры, характеризующие  нормальный закон распределения 

моделируемых случайных  величин

Случайная величина	Выборочная средняя, Хв	СКО, σ
Кол-во поступивших задач по работе с филиалами подчиняется нормальному закону	7,69	2,48
Кол-во найденных решений по работе с филиалами подчиняется нормальному закону	7,45	2,24
Кол-во решенных задач по работе с филиалами подчиняется нормальному закону	7,66	2,54
Кол-во поступивших задач по работе с клиентами подчиняется нормальному закону	4,93	0,98
Кол-во найденных решений по работе с клиентами подчиняется нормальному закону	6,55	1,13
Кол-во решенных задач по работе с клиентами подчиняется нормальному закону	6,39	1,27
Кол-во поступивших задач технического типа подчиняется нормальному закону	6,98	1,07
Кол-во найденных задач технического типа подчиняется нормальному закону	4,71	1,19
Кол-во решенных задач технического типа подчиняется нормальному закону	4,67	1,18

 

Рассмотрим случайную величину Х₇ – количество поступивших задач по созданию проекта. Это непрерывная случайная величина. Проверка статистической гипотезы осуществляется с использованием электронной таблицы Microsoft Excel. Статистические данные о количестве оформленных заявок на потребительский кредит рассматриваются за 100 дней, т.е. произведена выборка объемом n=100. Преобразуем эту выборку в интервальный ряд, рассчитаем частоты попадания данной случайной величины в полученные интервалы и определим числовые характеристики эмпирического распределения.

В качестве первого приближения  разбиения имеющейся выборки  на интервалы будем использовать формулу Стерджесса:

        ,

где n – число единиц совокупности; S – число интервалов. В нашем случае  , т.е. принимаем число интервалов S = 8.

Длина интервала:   

Числовые характеристики эмпирического распределения представлены в таблице 10.5.

Таблица 10.5

Эмпирическое распределение  СВ Х₅ количество поступивших задач по созданию проекта и его числовые характеристики

№ интервала	Начало интервала      Xi	Конец интервала Xi+1	Частота     Mi	Частость Wi	Центр интервала Xi¯	Mi*Xi¯	Откл. от среднего Xi - Xв¯	Кв. откл.     (Xi -Xв¯)2	Mi*(Хi-Хв¯)2
1	0	0,9	31	0,31	0,4	13,56	-1,99	3,95	122,30
2	0,9	1,8	23	0,23	1,3	30,19	-1,11	1,23	28,40
3	1,8	2,6	15	0,15	2,2	32,81	-0,24	0,06	0,84
4	2,6	3,5	13	0,13	3,1	39,81	0,64	0,41	5,30
5	3,5	4,4	9	0,09	3,9	35,44	1,51	2,29	20,62
6	4,4	5,3	6	0,06	4,8	28,88	2,39	5,71	34,24
7	5,3	6,1	2	0,02	5,7	11,38	3,26	10,65	21,30
8	6,1	7,0	1	0,01	6,6	6,56	4,14	17,13	17,13
Сумма			100			198,625			250,14

 

Далее построим гистограмму  эмпирического распределения случайной  величины Х₅ –количество поступивших задач по созданию проекта по частостям W_i (рисунок 9.2).

Рисунок 9.2 Гистограмма эмпирического  распределения количества количество поступивших задач по созданию проекта

Вид полученной гистограммы  позволяет предположить, что исследуемая  случайная величина подчиняется показательному (экспоненциальному) закону.

Далее выдвигаем гипотезу H₀ о том, что расхождение эмпирических и теоретических частот экспоненциального распределения не значимы.

Проверим гипотезу о распределении  генеральной совокупности по показательному закону при уровне значимости α. Для  этого:

1) по заданному эмпирическому  распределению вычислим выборочную  среднюю X_в:

Выборочная средняя:   

где S – число интервалов выборочного интервального ряда

2) примем в качестве  оценки параметра λ показательного  распределения величину, обратную  выборочной средней: 

                 

3) найдем вероятность  попадания случайной величины  X в частичные интервалы (X_i, X_i+1) по формуле:

    

Решение пункта 3 сведено  в таблицу 10.6.

Таблица 10.6

Вычисление теоретических  вероятностей попадания в заданный интервал             экспоненциально распределенной случайной  величины 5

№ интер-вала	Xi	Xi+1	-λ· Xi	-λ· Xi+1	e-λ· Xi	e-λ· Xi+1	Pi
1	0,00	0,88	0,00	-0,44	1,00	0,64	0,36
2	0,88	1,75	-0,44	-0,88	0,64	0,41	0,23
3	1,75	2,63	-0,88	-1,32	0,41	0,27	0,15
4	2,63	3,50	-1,32	-1,76	0,27	0,17	0,10
5	3,50	4,38	-1,76	-2,20	0,17	0,11	0,06
6	4,38	5,25	-2,20	-2,64	0,11	0,07	0,04
7	5,25	6,13	-2,64	-3,08	0,07	0,05	0,03
8	6,13	7,00	-3,08	-3,52	0,05	0,03	0,02