Система автоматического регулирования станка с ЧПУ в режиме от маховичка

           2.2.   Критерий Михайлова. 

     Формулировка  критерия: система автоматического регулирования устойчива, если годограф Михайлова начинается при на положительной действительной полуоси и, с увеличением частоты от 0 до , проходит в положительном направлении (против часовой стрелки) последовательно, нигде не обращаясь в нуль, n квадрантов (n – порядок дифференциального уравнения системы).

     Проверим  полученное ранее заключение о неустойчивости системы с помощью критерия Михайлова.

     Характеристическое  уравнение можем представить  в виде:

                                                      (4)

     Подставляя  в (3) соответствующие числовые значения, получим:

     

     На  основании полученных зависимостей можно построить годограф Михайлова на комплексной плоскости (см. рис. 6).

     

     Рис. 6  Годограф Михайлова.

     Из  анализа поведения годографа  видно, что нарушена последовательность обхода квадрантов. Он не прошел через 2-й и 3-й квадрант, хотя порядок системы равен 4. данное заключение подтверждает, что система неустойчива. 

           2.3.   Критерий Найквиста. 

     Формулировка  критерия: система автоматического регулирования, устойчивая или нейтрально устойчивая в разомкнутом состоянии, устойчива и в замкнутом состоянии, если годограф комплексной частотной характеристики разомкнутой системы, при изменении частоты от 0 до , не охватывает на комплексной плоскости точку с координатами или охватывает ее на угол , где k – число корней в правой полуплоскости комплексной плоскости.

     Комплексная частотная характеристика системы  может быть получена путем замены в передаточной функции разомкнутой системы. Она представлена следующим образом: 

                                                             (5) 

     Для системы с передаточной функцией (1): 

                                                                        (6) 

     Выполним  необходимые подстановки и получим: 

     

     Рис. 7. Годограф Найквиста.

     Проанализировав годограф Найквиста, можем сказать, что данная система неустойчива, т.к. кривая охватывает точку . 

           2.4.   Критерий, основанный на логарифмических частотных характеристиках. 

     Проведем  анализ исходной системы. С помощью передаточной функции разомкнутой системы (1) построим в асимптотах ее логарифмическую амплитудно- и фазо-частотную характеристики (рис. 8). 

     

     Рис. 8. Логарифмические частотные характеристики исходной разомкнутой системы в асимптотах. 

     Согласно  полученным частотным характеристикам, можем сказать, что данная система  неустойчива, т.к. ЛАЧХ и ФЧХ пересекаются над осью -180°.

3. Анализ качества регулирования САР.

 

     Для данного анализа используем передаточную функцию замкнутой системы (2): 

                                                    (7) 

     Ее  частотная характеристика имеет следующий вид:

     

     После соответствующих преобразований, получим: 

     

Выделим действительную часть и получим  следующее выражение для вещественной частотной характеристики (ВЧХ) замкнутой системы: 

     Выполним  необходимые подстановки: 

       Она позволяет оценить качество системы по характеристикам переходного процесса. Для рассматриваемой системы с передаточной функцией (7) и , ВЧХ представлена на рис. 9.

     

     Рис. 9.  Вещественная частотная характеристика исходной замкнутой системы.

     С ее помощью осуществляется оценка показателей  качества переходного процесса: перерегулирования  и длительности переходного процесса:

                                                                               (9)

     где - значение ВЧХ при , - максимальная высота и частота основания низкочастотной трапеции ВЧХ. В данном случае:

     Таким образом, для рассматриваемой системы, перерегулирование: и длительность переходного процесса: . На этапе анализа исходной САР такой точности оценки ее качества достаточно.

     Величина  ошибок в установившемся режиме зависит  от характера входных воздействий, порядка астатизма системы, ее коэффициента усиления и наибольшей постоянной времени. Таким образом, качество установившегося режима работы определяется параметрами низкочастотной части ЛАЧХ. Для того, чтобы максимальные ошибки, возникающие в синтезируемой системе, не превышали заданных допустимых значений, необходимо правильно выбирать параметры низкочастотной части желаемой ЛАЧХ.

     Изображение сигнала ошибки будет иметь вид:

                                                                   (10)

     где  - передаточная функция разомкнутой системы по задающему воздействию (1); - передаточная функция разомкнутой системы по возмущающему воздействию : .

     В статическом режиме все воздействия  постоянны во времени. Полагая, что  получаем выражение установившейся ошибки:

                                                                           (11)

     Анализируя  выражение, можем сказать, что система  обладает астатизмом 4 порядка по задающему воздействию и 3 порядка - по возмущающему.

     Принимаем y_З(t) = y_Зуст = const и f(t) = f_уст = const, тогда передаточную функцию разомкнутой системы можно представить в виде:

  

,

     где K_p = 967,68 – коэффициент усиления разомкнутой системы.

     Т.к. на устойчивость системы наибольшее влияние оказывает низкочастотная часть ЛАЧХ, то для анализа устойчивости САР можно пренебречь  постоянными времени выше 2-го порядка.

  

,

     где T_max = T_Суп1 = 1,5 – наибольшая постоянная времени системы.

     Тогда, передаточная функция системы для  ошибки по входу:

  

,

  

.

     Очевидно, что максимальное значение ошибки будет  наблюдаться на частоте . Тогда, пренебрегая Tjω, получим:

  

.

     Статическая ошибка будет:

  

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     

4. Синтез  корректирующего  устройства.

 

               4.1.  Построение  желаемой ЛАЧХ  системы. 

     На  этом этапе следует выбрать метод  синтеза корректирующего устройства, способ его включения, определить его структуру, параметры и рассчитать его электрический аналог.

     Необходимо  выполнить следующие этапы:

1. Формирование низкочастотной части желаемой ЛАЧХ, исходя из требований точности;
2. Построение среднечастотной части желаемой ЛАЧХ по заданному быстродействию и устойчивости;
3. формирование высокочастотной части желаемой ЛАЧХ (ведется из условий минимума сложности корректирующих устройств).

     САР должна удовлетворять следующим  трем основным требованиям: по точности в установившихся режимах работы, по устойчивости и по качеству переходных процессов.

     Методика  формирования желаемой ЛАЧХ для статических  и астатических систем определяется характером задающих воздействий и требуемыми показателями качества. Поскольку для данной системы задаются и , допустимая ошибка (или коэффициенты ошибок ), время переходного процесса и максимальное перерегулирование , то мы выбираем методику В.А. Бесекерского.

     Учитывая, что передаточная функция разомкнутой  и нескорректированной системы - (1), а постоянные времени, согласно заданию, равны: а коэффициент усиления разомкнутой системы: , тогда:

     

     На  входе системы необходимо обеспечить максимальную скорость слежения: 

      ,

     и максимальное ускорение:

      .

     Тогда можем вычислить максимальную ошибку:

     

     Учитывая  это и то, что максимальное значение перерегулирования  , по таблице 5 [1]  выберем значение показателя колебательности: .

     Определим параметры запретной зоны по точности.

     

     Построим  зону устойчивости.

     Определим по полученному графику необходимый  коэффициент усиления скорректированной системы: .

     При этом

     На  частоте качки:

     

     Таким образом, низкочастотный участок ЛАЧХ находится выше запретной зоны (т.к. ). Базовая частота, согласно таблице 3 [1], равна:

     

     Определим другие постоянные времени:

     

     Тогда:

     Частоту среза системы найдем из формулы:

     

     Так как высокочастотные наклоны  желаемой и исходной ЛАЧХ должны совпадать, то, чтобы сделать наклон -80 дБ, необходимо еще три равных друг другу постоянных времени, сумма которых будет равняться 0,03.

     Тогда:

      

     Передаточная  функция скорректированной системы  примет следующий вид:

                                                   (12)

     Необходимо  проверить, удовлетворяет ли система  допустимому значению показателя колебательности .

     Так как  , то то можем утверждать, что система обеспечивает нужные показатели качества процесса управления. 

 

     Рис. 10.  ЛАЧХ проектируемой системы и ЛАЧХ корректирующего устройства.