Управление механическими системами

Для класса рассматриваемых динамических систем механической природы, как оказывается, в качестве функции Ляпунова удается  использовать функции вида (1.1). Это связано с тем, что функцию (1.1) можно рассматривать как некоторую энергетическую характеристику механической системы, которая отражает наиболее важные свойства этого объекта управления.

Выбор функции Ляпунова в форме (1.1) для исследования устойчивости движений механических систем обусловлен также следующим обстоятельством. Оказывается на этой основе, как правило, удается построить такие законы управления, которые явно не содержат динамических параметров механической системы. Это важное обстоятельство, поскольку эти величины согласно постановке задачи не предполагаются заданными, известными, и поэтому не могут явно быть использованы в законе управления (см. гл. I). Различные функции Ляпунова типа (1.1) будут подробно исследоваться ниже. Этот класс функций Ляпунова энергетического типа будет рассматриваться основным.

Функция G в общем случае не является положительно определенной по переменным . Поэтому для оценки влияния величин , как правило, будет вводиться вторая функция Ляпунова которая является положительно определенной по этим переменным. Например, могут исследоваться функции Ляпунова типа

                                                                                                                       (1.4)

G и g можно рассматривать как компоненты вектор функции Ляпунова. На основе функций G и g будет проводиться полный анализ устойчивости движения механической системы. Аналогичные вектор функции Ляпунова будут подробно рассматриваться ниже.

 

 

§ 2. Построение законов управления 

 

Построение закона управления будет осуществляться, исходя из условия  убывания функций G и g на движениях механической системы. Для простоты изложения общей схемы построения законов управления в разделе 2.1 предполагается, что функция Ляпунова является положительно определенной по всем переменным (и функция g пока не будет учитываться). Детальный анализ устойчивости на основе вектор функции (G, g) из § 1 будет осуществлен ниже.

1. Общая схема построения законов управления. Обратная связь будет рассматриваться в качестве закона управления, если выполнено условие

 (2.1)

Через

 (2.2)

в (2.1) обозначено выражение для производной функции в силу системы уравнений (1.2), которые описывают движения механической системы.

Неравенство (2.1) понимается в смысле отрицательно определенных по Ляпунову функций, зависящих явно от времени. Условия, при которых  неравенство (2.1) справедливо, рассматриваются как условия устойчивости движения замкнутой механической системы (1.2) вида

                                           (2.3)

Если неравенство (2.1) справедливо, то движение замкнутой системы (2.3) будет асимптотически устойчиво по Ляпунову. Иначе говоря, из соотношения (2.1) следует, что заданное движение рассматриваемой механической системы (2.3) будет устойчивым, т. е. будет стабилизировано за счет управления М = М¹. Управление, как правило, будет строиться из условия вида

                                   (2.4)

В качестве допустимых здесь рассматривается  введенный класс ограниченных управлений.

                                                                           (2.5)

Иначе говоря, управление будет строиться из условия наибольшего убывания функции G

 

                                              (2.6)

на движениях замкнутой механической системы (локально — в каждой точке  . Управление вида (2.4) в наибольшей степени способствует выполнению условий Ляпунова (2.1) об устойчивости движения.

Условие (2.1) вида

 

.                                          (2.7)

может рассматриваться как необходимое  и достаточное условие существования решения для исследуемой задачи управления (в изучаемом классе функций Ляпунова G и в классе ограниченных управлени (2.5)). Соотношение (2.7) может рассматриваться также как условие существования такого управления из класса (2.5) ограниченных, при которых производная будет отрицательно определенной . В этом смысле соотношение (2.7) выражает собой условие стабилизируемости программного движения . Из рассуждений выше вытекает утверждение.

Теорема 1. Пусть неравенство (2.7) справедливо. Тогда управление вида (2.4) обеспечит устойчивость программного движения механической системы.

Смысл приведенного общего утверждения  состоит в том, что оно проблему синтеза управления движением механической системы позволяет свести к решению двух алгебраических задач (для рассматриваемой функции Ляпунова и в выбранном классе управлений). Первая задача связана с построением управлений, например, из условия (2.4). Вторая задача связана с проверкой справедливости неравенства (2.7) (вопрос о существовании решения поставленной задачи синтеза управления).

Заметим, что функция  в (2.4) может рассматриваться как одно из возможных решений задачи синтеза управления (2.7). Это решение получено в классе (2.5) ограниченных управлений. Иные формы закона управления могут быть получены при учете иных (или дополнительных) ограничений на класс допустимых управлений. Именно, решение задачи (2.7) можно искать не только в классе ограниченных управлений. Можно исследовать, например, классы кусочно-линейных, непрерывных, или гладких управлений, другие классы. Скажем, соотношения

                                                                  (2.8)

можно также исследовать в качестве решения задачи (2.1) в классе линейных функций . Соотношения (2.8) можно также рассматривать как описание линейных законов управления механическими системами. Эти законы являются аналогами известных ПИД-регуляторов, которые широко изучаются во многих исследовательских работах и на практике.

Устойчивость движений замкнутой  механической системы не всегда удается  получить непосредственно на основе теорем Ляпунова. Это связано с  тем, что не всегда удается непосредственно  проверить отрицательную определенность выражений для , например, вида (2.1) или (2.7). Поэтому в работе для функции Ляпунова , как правило, строится дифференциальное неравенство, и характер поведения G исследуется на его решениях.

Для этого  из равенства в соотношениях (2.1) строится оценка

 

                                                                               (2.9)

 

Построение неравенства (2.9) из равенства (2.1) осуществляется путем мажорирования его правой части. На этом этапе (см. ниже) учитываются особенности динамики механической системы, учитываются предположения изучаемой задачи управления.

При учете свойства положительной  определенности типа (1.3) из неравенства (2.9) строится дифференциальное неравенство

,                                                               (2.10)

которое содержит только величину G. Соотношение (2.10) рассматривается как дифференциальное неравенство относительно переменной G как функции времени. Исследуются решения G = G(t) дифференциального неравенства (2.10) в классе абсолютно непрерывных неотрицательных функций G = G(t). Устанавливаются свойства решений G = G(t) системы (2.10) типа ограниченности, убывания и т. д. На этой основе устанавливаются свойства движения замкнутой механической системы (2.3), например, устойчивость по Ляпунову.

Такова общая схема построения универсальных законов управления механическими системами, принятая в работе. Ниже эта схема рассматривается детально.

       2.2 Производная функции Ляпунова. Для получения закона управления в явном виде построим производные функций Ляпунова G и g в силу уравнений движения механической системы (1.2). Для этого запишем эти уравнения в отклонениях

                                  (2.11)

от  заданного движения

 

                                                                                           (2.12)

Система (1.2) в отклонениях имеет вид

 

                                                             (2.13)

 

Где При построении уравнений (2.13) учитывались уравнения невозмущенного движения объекта управления (1.2) в соответствии с целью, т. е. учитывались тождества вида

                                           (2.14)

Напомним, что через М = M*(t) в (2.14) обозначены функции, которые имеют смысл управлений, отвечающих заданному (невозмущенному) движению . Из уравнений (1.2) при учете (2.14) следует соотношение , затем и далее (2.13).

Уравнения (2.13) представляют собой исходные уравнения движения рассматриваемой механической системы, записанные в новых переменных Правые части уравнений представляют собой функции, которые зависят только от этих переменных и времени t, например,

                     (2.15)

Полные производные функций G и g выше в силу уравнений (2.13) имеют вид

              (2.16)

  Или

                                   ( 2.17)

        2.3 Закон управления. С учетом (2.17) задача (2.4) построения законов управления принимает форму

                   (2.18)

 

Решение задачи (2.18) на минимум  имеет следующий аналитический вид

 

                              (2.19)

 

Через sign(x) в (2.19) обозначена функция знака величины х. Эта функция является разрывной (многозначной) функцией (глава VIII).

Полученное соотношение (2.19) можно  рассматривать как описание одного из возможных законов управления механической системой (рис. 2.1), если в этой системе допустимы релейные (разрывные) законы управления. Подробное обсуждение соотношения (2.19) как закона управления приводится ниже в § 4. Управление (2.19) можно иметь в виду в теореме 1 из § 2 данной главы.

Заметим, что функция  G представляет собой величину типа кинетической энергии механической системы (2.13). Эта система описывает движения исходной механической системы (1.2) в отклонениях от заданного движения . Соотношение (2.17) выражает теорему механики об изменении этой энергии G. Правая часть (2.17) имеет смысл мощности сил, воздействующих на механическую систему (2.13). Релейный закон (2.19) характеризуется тем, что он (например, в отличие от линейных законов (2.8)) обеспечивает в каждой точке наибольшую локальную скорость диссипации энергии G. Поэтому смысл соотношений (2.6) состоит в том, что управления (2.19) обеспечивают убывание энергии отклонений G с наибольшей скоростью.

Рис. 2.1. Блок-схема универсальной системы  управления

Основной вопрос теперь состоит в том, стабилизирует  ли закон (2.19) заданное движение ? Решение этого вопроса приводится ниже.

 

§ 3. Устойчивость механической системы

Построенный закон управления (2.19) стабилизирует заданное движение если функции Ляпунова G и g выше, например, не будут возрастать на движениях замкнутой механической системы. Для установления этого факта рассмотрим выражения (2.17) для производных G и g при учете (2.19)

                      ( 3.1)

Или                        ( 3.2)

Для построения системы  дифференциальных неравенств типа (2.10) оценим (мажорируем) правые части выражений (3.2).

С этой целью рассмотрим неравенства

 

                                                                            (3.3)

которые были введены выше (см. гл. 1). Напомним, что эти неравенства представляют собой усиленные неравенства

                                                                                  (3.4)

которые выражают условие реализуемости заданного движения рассматриваемой механической системы. Напомним также, что поставленная цель управления должна отвечать динамике объекта управления, т. е. движение в соответствии с целью управления должно удовлетворять динамическому описанию объекта управления. Такие цели управления получили название реализуемых. Для реализуемых целей управления должны быть выполнены тождества (2.14) вида в которых функции удовлетворяют условию допустимости управлений (3.4). Константа в (3.3) имеет смысл минимального запаса управления, который в общем случае может быть истрачен для стабилизации цели управления (гарантирует стабилизацию). Эта константа может быть выбрана достаточно малой (если допустимы малые начальные отклонения от заданного движения .

При учете условия реализуемости цели управления в форме неравенств (3.3) из выражений (3.2) следует система

                              (3.5)

Или

                                              (3.6)

где учитываются  также неравенства (1.3) для функции  Ляпунова G.

    При дальнейших преобразованиях  системы (3.6) будет учитываться  ряд формальных условий. В частности,  учитывается свойство гладкости рассматриваемых механических систем, т. е. учитываются неравенства типа

                                                       (3.7)