Управление механическими системами

Введение

 

 

  Системы механической природы занимают существенное место среди других динамических объектов. Такие системы включают практически важные объекты управления: роботы-манипуляторы и другие подобные системы типа крана, центрифуги и т.д., летательные и плавательные аппараты, транспортные средства различного назначения. Изучается проблема синтеза законов управления механическими системами, которая является одной из центральных задач теории и практики управления.

  Основы решения этой задачи заложены в работах Н.Г. Четаева, В.В. Румянцева, Д.Е. Охоцимского, Ф.Л. Черноусько, В.М. Матросова, Е.П. Попова, А.М. Формальского, А.А. Первозванского.

  Задача синтеза управления решается при неполной информации о динамике механической системы, когда ее параметры (характеристики, свойства, коэффициенты) предполагаются не полностью известными, доступными.

 

  В главе I дана постановка задачи настоящей работы. Представлено описание динамики механической системы как объекта управления, введены основные предположения о свойствах механической системы. Формализовано понятие универсального закона управления. Сформулирована задача построения таких законов управления, указаны ее особенности и трудности решения .

В главе I I главе дано общее решение поставленной задачи синтеза управления механическими системами. Описывается класс функций Ляпунова, которые будут использоваться для исследования устойчивости движения системы. Приводится общая схема построения универсального закона управления. Описывается метод обоснования устойчивости замкнутой механической системы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ

 

В главе дана постановка задачи настоящей работы. Представлено описание динамики механической системы  как объекта управления, введены  основные предположения о свойствах  механической системы. Формализовано  понятие универсального закона управления. Сформулирована задача построения таких законов управления, указаны ее особенности и трудности решения .

§ 1. Механическая система как объект управления

 

1. Уравнения динамики объекта. Объектом исследования в работе являются динамические системы, движение которых может быть описано в форме уравнений Лагранжа второго рода

                                                       ( 1.1)

Уравнения (1.1) описывают движения таких объектов, которые имеют механическую природу, а также движения электрических систем с сосредоточенными параметрами и движения электромеханических систем. Введенные уравнения описывают движения многозвенного манипулятора, который будет одним их основных объектов исследования в работе.

В системе (1.1) и далее используются общепринятые, стандартные обозначения: обобщенные координаты и скорости механической системы. соответствующие обобщенные силы. Часть обобщенных сил Mi рассматривается как управляющие силы.

Через Т в уравнении (1.1) обозначена кинетическая энергия системы. Для склерономных механических систем Т = T(q,) и

                            (1.2)

 

а система (1.1) в развернутом виде принимает форму

                            (1.3)

 

Будем рассматривать общий случай Т = T(q,q,t), когда

 

 

                                                                    (1.4)

Тогда система (1.1) будет  записываться в общей форме

 

 

                                                                            (1.5)

 

Где A – матрица       - матрица-строка. Для квадратичной формы

 

                                                                           (1.6)

Из выражения (1.4) будут  предполагаться выполненными неравенства 

 

                                                         (1.7)

 

 

   При любых значениях и .

В качестве входа в механическую систему рассматриваются управляющие силы (управления) .

Выходом являются обобщенные координаты и скорости (рис. 1.1).

Рис 1.1 Вход-выход объекта управления механической природы.

Функции и в соотношениях выше определяются динамическими параметрами р механической системы и внешней среды (массы и размеры элементов механической системы, коэффициенты трения и т.д. — см. ниже). Иначе говоря,

                                           (1.8)

Одним из основных в работе является предположение о том, что  параметры р не являются известными. Поэтому описания самих функций ,… и считаются неизвестными. Известно только, что они изменяются в некоторых конечных интервалах

 

                                                        (1.9)

 

.

Предполагается, что неравенства (1.9) выполнены для всех функций  и и их производных при всех и , D > 0 — некоторая единая константа. Условия типа (1.9) являются основными формальными предположениями в работе. Они вводятся для упрощения доказательств утверждений ниже. В частности, будет предполагаться, что заданное движение q*(t) является гладким — имеет ограниченные производные. Состояние ( ) системы (1.1) предполагается доступным.

 

2. Класс допустимых управлений. Допустимым классом управлений в работе рассматривается класс ограниченных управлений. Иначе говоря, предполагается, что значения величин в уравнениях

(1.1)  должны удовлетворять неравенствам

 

        ,                                                    (1.10)

 

 

Неравенства (1.10) описывают естественные ограничения на величину выходного сигнала управляющих устройств механической системы. Эти ограничения задают известные константы Hi > 0.

3. Особенности динамики объекта управления. Введенные выше предположения относительно свойств исследуемого объекта управления поясним на примере манипуляционного робота (рис. 1.2), который является типичным объектом управления механической природы.

                       Рис. 1.2. Многозвенный манипулятор

 

В этом случае обобщенные координаты в уравнениях (1.1) могут иметь смысл межзвенных углов манипулятора (см. рис. 1.2). Величины Mi являются управляющими обобщенными силами, которые приложены к звеньям манипулятора. Силы Mi соответствуют моментам на выходном валу управляющих приводов манипулятора. Неравенства (1.10) отражают ограниченность динамических возможностей приводов — выходные переменные Mi, приводов могут принимать значения только из интервала [—Hi,+Hi], Константы Hi отвечают максимальному размаху выходных моментов на валу электроприводов манипулятора (см. рис. 1.2).

Величины Qi в уравнениях (1.1) описывают силы веса звеньев манипулятора, силы трения и другие возможные силы сопротивления. Функции , описывают инерционные свойства механической системы. Заметим, что функции ,… и полностью определяют уравнения Лагранжа (1.1).

Поэтому, если указанная информация задана, то динамика механической системы  также задана (рис. 1.3)

Рис 1.3 Информация полностью задает динамику

механической  системы.

Функции и в (1.8) строятся известными методами с учетом информации о динамических параметрах р объекта управления. Именно, величины определяются массами, размерами и моментами инерции звеньев манипулятора. Величины зависят от коэффициентов трения в шарнирах, коэффициентов сопротивления внешней среды (например, для подводных роботов-манипуляторов) и т. д.

Заметим, что получение информации об инерционных характеристиках механической системы и внешних силах, как правило, представляет собой существенную проблему. Например, значения указанных выше параметров не всегда могут быть получены в результате прямых оперативных измерений. Действительно, некоторые динамические параметры (массы и моменты инерции, размеры звеньев механической системы) могут быть измерены заранее. Однако, другие динамические параметры, например, коэффициенты трения, объем присоединенных масс и т. д. могут существенно изменяться в процессе движения механической системы и заранее не могут быть измерены в общем случае. Более того, некоторые динамические параметры могут быть практически недоступны для прямых оперативных измерений, например, коэффициент сцепления с дорогой. Они могут быть построены, например, в результате процесса наблюдений, оценок, т. е. с большими вычислительными и временными затратами.

Динамические  параметры некоторых механических систем могут быть измерены заранее. В этом случае обобщенные силы и коэффициенты строятся как функции и переменных состояния. В связи с этим заметим, что координаты и скорости механической системы обычно бывают доступны прямым оперативным измерениям. Однако на этом пути возникают следующие проблемы. Как правило, точность описания функций оказывается достаточно низкой. Более того само описание оказывается достаточно громоздким. Это связано с тем, что функ17

ции и зависят от многих аргументов. В частности, функции зависят от п координат ,  и времени t, а функции — от 2п переменных , Поэтому оперативное получение значений указанных функций может потребовать значительных вычислительных затрат и времени.

В некоторых частных случаях  указанные затруднения удается  преодолеть и упростить описание указанных функций. Это возможно, например, если вместо произвольных целевых движений q*(t) механической системы исследовать только некоторые ее положения q*(t)=const. Или, если механическую систему рассматривать как линейный объект управления, или, например, предполагать, что некоторые обобщенные силы малы и т. д. (соответствующие области значений переменных иногда удается обнаружить).

Иначе говоря, получение информации о динамических параметрах объекта  управления в общем случае требует  значительной доли изобретательности, по существу искусства. Поэтому регуляторы, использующие такую информацию, могут оказаться не эффективными, не универсальными. Именно в связи с этими обстоятельствами в работе введено более естественное предположение (1.9).

Соотношение (1.9) означает, что для  функций  и известны только грубые оценки, например, интервалы, в которых изменяются эти величины и их производные. Физически соотношение (1.9) выражает тот факт, что внешние силы, действующие на механическую систему, являются ограниченными вместе с производными. Аналогичным свойством обладают коэффициенты матрицы кинетической энергии механической системы. Подобные предположения могут вводиться и для других величин ниже. Предположение типа соотношений (1.9) о достаточной гладкости исследуемых механических систем будет далее рассматриваться в качестве основного формального предположения.

В связи с изложенным выше, в настоящей работе механическая система рассматривается как объект управления, динамика которого известна не полностью. Иначе говоря, следуя Н. Винеру, объект управления рассматривается по существу как «черный ящик» механической природы (Пятницкий, 1989, рис. 1.4).

Неравенства (1.7) выражают известное  свойство кинетической энергии Т механической системы. Именно, ее компонента Т² в (1.6)

Рис. 1.4. В задаче управления механическая система рассматривается как  «черный ящик» механической природы

 

 

является положительно определенной по обобщенным скоростям  системы. Это важное свойство будет использовано ниже при построении функции Ляпунова, которая будет лежать в основе анализа устойчивости движений механической системы.

                                     § 2. Цель управления механической системой

 

Цель  управления механической системой (1.1) будет рассматриваться в виде 

 

                                                                                   (2.1)

 

где q*(t) заранее заданные программы (функции времени). Это значит, что управления должны обеспечить изменение каждой обобщенной координаты механической системы в соответствии с заданной программой . Или, иначе говоря, необходимо, чтобы движение (2.1) являлось устойчивым по Ляпунову в соответствующей замкнутой механической системе (как по обобщенным координатам, так и по обобщенным скоростям).

В качестве допустимых целей  управления рассматриваются реализуемые движения механической системы, т. е. такие движения, которые отвечают ее динамическим возможностям. Это значит, что функция в (2.1) должна удовлетворять уравнениям (1.1), т. е. должны быть выполнены тождества