Теории автоматического управления

  

Рис.6.1 Перехідна  характеристика САР за каналом задаючої дії

Висновок. В даному завданні ми розрахували перехідну характеристику САР на основі передаточної функції замкненої системи та теореми розкладу, а також провели її побудову в Excel.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    7. Результати розрахунку перехідної характеристики за каналом задаючої дії перевірити шляхом моделювання процесів за допомогою комп’ютерної програми SIAM або SIMULINK. 

    Для моделювання перехідного процесу по каналу задаючої дії використаємо комп’ютерну програму Matlab, пакет Simulink. Моделювання будемо проводити згадно схеми, яка наведена нижче: 

Рис.7.1 Схема системи автоматичного регулювання температури в печі, складена в SIMULINK 

    В результаті моделювання перехідного процесу отримаємо наступну перехідну характеристику:

Рис.7.2 Перехідна характеристика, отримана в SIMULINK 

Висновок. В даному пункті ми провели моделювання перехідних процесів за  допомогою пакету Simulink комп’ютерної програми Matlab. Графіки перехідної характеристики, отримані з допомогою MatLAB та Microsoft Excel майже співпадають, отже розрахунки проведено вірно.

  
 
 

    8. За побудованою перехідною характеристикою системи визначити прямі показники якості регулювання та визначити похибку аналітичного та комп’ютерного методів побудови. 

  Показники якості – це властивості САУ, що забезпечують її ефективне функціонування. Отже, визначивши їх, можна охарактеризувати перехідну характеристику системи (зробити висновки про її параметри).

Рис.8.1 Перехідна  характеристика САУ

h_max1 =1,020; - максимальне значення перехідної характеристики;

h_max2=0,857; - значення другого максимуму перехідної характеристики;

h_уст=0,850; - усталене значення перехідної характеристики;

t_рег= 1,700 с; - час регулювання;

t_п.у=0,760 с; - час, при якому перехідна характеристика вперше досягає усталеного значення;

t_m= 1,130 с; - час досягнення першого максимуму;

T=(3,250 с – 1,130 с)=2,120 с; - період коливань;

ω=2π/T=2,964 с^-1; - частота коливань;

A₁=(hmax1-hуст)=1,020-0,850=0,170; - амплітуда першого коливання;

A₂=(hmax2-hуст)=0,857-0,850=0,007; - амплітуда другого коливання;

δ_уст=1-hуст=1,000-0,850=0,150; - усталена похибка;

-перерегулювання;

- коливальність;

Кількість коливань на протязі часу регулювання – n=1(одне неповне). 

Порівняння  аналітичного та комп’ютерного (в Simulink) методів побудови перехідних характеристик

 

Висновок: В даному розділі ми за побудованою перехідною характеристикою системи визначили прямі показники якості регулювання і провели порівняння аналітичного та комп’ютерного методів побудови перехідних характеристик, визначили похибки. Як видно з графіків та таблиці, перехідні характеристики, отримані розрахунковим та комп’ютерним методами є ідентичними, а це свідчить про те, що обрахунки проведено вірно і з достатньою точністю. Щодо показників якості, то вони знаходяться в допустимих межах (перерегулювання менше 30%, час регулювання менше 2с). 
 
 
 
 
 
 

    9. Шляхом моделювання  процесів на ЕОМ  побудувати перехідну  характеристику системи  за каналом збурюючої  дії

        При побудові перехідної характеристики за каналом збурюючої дії приймають задаючий сигнал =0.

  

Рис.9.1 Схема  для моделювання перехідних процесів САР (системи автоматичного регулювання) в Simulink за каналом збурюючої дії.

Рис.9.2 Перехідна  характеристика системи за каналом  збурюючої дії

Висновок: В даному розділі ми провели побудову перехідної характеристики системи за каналом збурюючої дії з допомогою Simulink. З отриманої перехідної характеристики видно, що при збурюючій дії перехідна характеристика приймає від’ємні значення, тобто температура в печі падає, але за наявності зворотнього зв’язку відбувається самовирівнювання, тобто перехідна характеристика виходить на  усталене значення. 
 
 
 
 

    10. Розрахувати інтегральну квадратичну оцінку системи. За допомогою оцінки знайти оптимальний коефіцієнт підсилення регулятора

    Запишемо  передаточну функцію замкнутої системи для визначення зображення динамічної похибки системи:

  За  методом Мак–Лена знайдемо зображення динамічної похибки системи, згідно якої визначимо коефіцієнти, що фігурують в формулі для обчислення інтегральної квадратичної оцінки якості.

  

- формула для визначення зображення  динамічної похибки системи,

  де  - передаточна функція замкненої системи, - зображення вхідної дії.

    Знайдемо  тепер коефіцієнти зображення динамічної похибки системи:

    Тепер знайдемо інтегральну квадратичну  оцінку якості за формулою:

        Далі обчислимо оптимальний коефіцієнт підсилення регулятора, прийнявши його за невідомий у виразі передаточної функції замкнутої системи:

    Аналогічно  до попереднього випадку (коли k_п був відомий) знайдемо зображення динамічної похибки системи та значення інтегральної квадратичної оцінки якості І₂:

           Запишемо коефіцієнти останнього виразу для зручності обрахунків інтегральної квадратичної оцінки якості І₂:

      
            В цьому випадку коефіцієнти вийшли не простими числами, а поліномами від k_п. Підставляємо їх у формулу та визначаємо значення І₂:

         Далі необхідно знайти частинну похідну від І₂ по k_п і прирівняти її до 0 ( ). Шукати цю похідну будемо в Matlab як похідну від частки :

     , де ch і zn – відповідно чисельник та знаменник виразу, від якого шукаємо похідну.

    Використаємо  наступні функції Matlab:

• polyder(p) – функція для знаходження похідної від полінома;
• roots(p) – функція для знаходження коренів полінома;
• conv(p1,p2) – функція для множення поліномів.

    Код програми :

>> p1=[0.00035 0.00783 0.02839 0.02839 0 0];

>> p2=[-0.00002 0.00210 0.02410 0.10370 0.22160 0.23590 0.10020];

>> P1=polyder(p1)

P1 =

    0.0018    0.0313    0.0852    0.0568         0

>> P2=polyder(p2)

P2 =

   -0.0001    0.0105   0.0964    0.3111    0.4432    0.2359

>> PP1=conv(P1,p2)

PP1 =

   -0.0000    0.0000    0.0001    0.0011    0.0058    0.0176    0.0323    0.0358    0.0219    0.0057         0

>> PP2=conv(p1,P2)

PP2 =

   -0.0000    0.0000    0.0001    0.0012    0.0056    0.0151    0.0233    0.0193    0.0067         0         0

>> PP3=conv(p2,p2)

PP3 =

    0.0000   -0.0000    0.0000    0.0001    0.0010    0.0059    0.0224    0.0578    0.1029    0.1253    0.1001    0.0473    0.0100

>> CH=PP1-PP2

CH =

    0.0000    0.0000   -0.0000   -0.0000    0.0002    0.0024    0.0091    0.0165    0.0152    0.0057         0

>> ZN=PP3

ZN =

    0.0000   -0.0000    0.0000    0.0001    0.0010    0.0059    0.0224    0.0578    0.1029    0.1253    0.1001    0.0473    0.0100

    В даній програмі :

    р1 – чисельник інтегральної квадратичної оцінки якості;

    р2 – знаменник інтегральної квадратичної оцінки якості;

    Р1 – похідна від чисельника інтегральної квадратичної оцінки якості;

    Р2 – похідна від знаменника інтегральної квадратичної оцінки якості;

    РР1 – поліном, що являє собою перемножені похідну від чисельника та знаменник інтегральної квадратичної оцінки якості;

    РР2 – поліном, що являє собою перемножені  чисельник та похідну від знаменника інтегральної квадратичної оцінки якості;

    РР3 – квадрат знаменника інтегральної квадратичної оцінки якості;

    СН  – чисельник похідної від інтегральної квадратичної оцінки якості;

    ZN – знаменник похідної від інтегральної квадратичної оцінки якості;

    Ми  одержали чисельник  СН та знаменник  ZN похідної від інтегральної квадратичної оцінки якості(ІКОЯ). Тепер для того, щоб знайти значення оптимального коефіцієнта підсилення, прирівняєм чисельник ІКОЯ до 0 та знайдемо корені цього рівняння. В Matlab:

>> roots(CH)

ans =

        0         

-58.2362         

  17.6154         

   8.6397         

  -2.9965 + 0.9802i

  -2.9965 - 0.9802i

  -2.1187         

  -1.6152 + 0.6772i

  -1.6152 - 0.6772i

  -1.4195         

    Знайдемо  також корені знаменника, щоб виключити  їх з усіх можливих розв’язків: