Теории автоматического управления

     

    Запишемо  диференційне рівняння в операторній формі та виконаємо зворотнє перетворення Лапласа:

    

                 Для того, щоб отримати рівняння статики, треба прирівняти до 0 всі похідні:

    

    

    Передаточна функція замкнутої системи за каналом збурюючої дії має вигляд:

    

Запишемо диференційне рівняння в операторній формі:   

Виконаєм зворотнє перетворення Лапласа:

        Для того, щоб отримати рівняння статики, треба прирівняти до 0 всі похідні:

    

      

    Висновок. Під час виконання даного завдання я склав структурну схему досліджуваної системи на основі функціональної схеми, яка була одержана в першому завданні, розрахував передаточні функції замкнутої системи за каналами задаючої та збурюючої дій, а також записав відповідні їм рівняння статики та динаміки. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    4. Провести аналіз стійкості заданої системи та визначити критичне значеня коефіцієнта передачі регулятора, при якому система знаходиться на межі стійкості.  

    Запишемо  характеристичне рівняння  замкнутої системи :

    

    Звідси :

    а₃=0,0315;

    а₂=0,7375;

    а₁=2,2;

    а₀=6,67.

    Складемо  визначник Гурвіца для даного рівняння :

        Знайдемо тепер другий та перший мінори цього визначника:

    Головний  визначник Гурвіца  і його мінори , є більшими 0, тому система з даними параметрами стійка.

    Для того, щоб знайти критичне значення коефіцієнта передачі підсилювача приймемо його за невідомий у виразі передаточної функції, а, отже, відповідно і в характеристичному рівнянні. Після цього прирівняєм до нуля отриманий визначник Гурвіца з невідомим Кп:

    

    

    Характеристичне рівняння замкнутої системи :

    

    Запишемо  другий мінор визначника Гурвіца для цього випадку :

    

    При критичному коефіцієнті передачі ;

    

    Отже, при  система перебуватиме на межі стійкості. 

    Висновок.У даному завданні я провів аналіз стійкості досліджуваної системи за методом Гурвіца. Згідно проведених обрахунків можна зробити висновок, що система є стійкою, оскільки і головний визначник Гурвіца і його діагональні мінори більші 0. Також я визначив критичне значення коефіцієнта підсилення, при якому система перебуватиме на межі стійкості К^кр_п=106,78. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    5. Побудувати годограф  амплітудно-фазової  характеристики розімкнутої системи і визначити запаси стійкості системи за амплітудою та фазою. 

    Запишемо  передаточну функцію розімкнутої  системи:

    

    Введемо заміну для того, щоб одержати комплексну передаточну функцію.

       

    Виділимо  дійсну та уявну частини :

       

       P( ) =

       Q( ) =

       Таблиця 5.1 Дані для побудови годографа

 

       

       Рис.5.1 Амплітудно-фазова частотна характеристика системи

       (Годограф) 

       

       Рис.5.2 Перетин годографа з колом  одиничного радіусу

       (запаси  стійкості) 

            Визначаєм запаси стійкості :

1. графічним методом :

    ;

    

2. аналітичним методом:

    Для того, щоб визначити запас стійкості  за амплітудою прирівняєм уявну частину  передаточної функції до 0:

Q(ω)=0

=0;

>> p=[0.00099 0 0.4054 0 3.365 0 1]

>> roots(p)

ans =

        0 +20.0256i

        0 -20.0256i

        0 + 2.8567i

        0 - 2.8567i

        0 + 0.5556i

        0 - 0.5556i

    Ці  корені ми знайшли для того, щоб виключити їх з усіх можливих коренів цього рівняння, адже знаменник не повинен дорівнювати 0.

=0;

ω=0;

.

    Значення  ω=0 не влаштовує нас тому, що 0 – це початкове значення частоти, а ω=-8,36 – тому, що частота не може бути від’ємною. Підставляєм значення ω=8,36 в вираз для визначення дійсної частини передаточної функції:

Визначаєм точку  перетину годографа з одиничним  колом :

- при перетині годографа з  одиничним колом амплітуда(величина  радіус-вектора) буде рівна 1.

>> p=[0.00000098 0 0.0008 0 0.1709 0 2.69828 0 -0.906 0 -101.452 0 -31.149];

>> roots(p)

ans =

   0.7954 +20.0055i

   0.7954 -20.0055i

  -0.7954 +20.0055i

  -0.7954 -20.0055i

  -0.0000 + 3.7707i

  -0.0000 - 3.7707i

   2.3512         

  -0.0000 + 2.8554i

  -0.0000 - 2.8554i

  -2.3512         

        0 + 0.5556i

        0 - 0.5556i

Беремо значення ω=2,3512, так як частота є величиною дійсною та більшою 0:

Таблиця 5.2 Порівняння отриманих результатів

 

Висновок. Під час виконання даного завдання ми побудували годограф АФЧХ розімкнутої системи та знайшли запаси стійкості за амплітудою та за фазою графічним і аналітичним методами. Похибка графічного методу при визначенні запасу стійкості за амплітудою склала 1,12%, а за фазою – 1,75%. Це спричинено незначними розбіжностями по осях координат, а також похибкою транспортира (при вимірюванні запасу стійкості за фазою), при вимірюванні ж запасу стійкості за амплітудою похибка спричинена тим, що по графіку дуже важко виміряти відповідне значення з достатньою точністю. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    6. Розрахувати та  побудувати перехідну характеристику системи автоматичного регулювання за каналом задаючої дії при нульових початкових умовах

    Запишемо  передаточну функцію замкненої  системи :

    Запишемо  теорему розкладу, згідно якої можна  знайти перехідну характеристику системи :

_,

де p_i- корені характеристичного рівняння N(p)=0;

    М(p_і) – поліном чисельника передаточної функції системи;

    N(p_і) – поліном знаменника передаточної функції системи;

    N’ (p_і) – похідна від полінома знаменника передаточної функції.

    Для нашого випадку:

М(p_і)=5,67;

N(p_і)= 0,0315р³+0,7375р²+2,2р+6,67;

N’ (p_і)=3∙0,0315р²+2∙0,7375р+2,2=0,0945 р²+1,475р+2,2;

М(0)=5,67;

N(0)=6,67;

    Запишемо  характеристичне рівняння системи :

0,0315р³+0,7375р²+2,2р+6,67=0;

    Знайдемо корені характеристичного рівняння за допомогою Matlab:

>> p=[0.0315 0.7375 2.2 6.67]                               \\ ввід полінома в Matlab

p =

    0.0315    0.7375    2.2000    6.6700

>> roots(p) \\ функція для знаходження коренів

ans =

-20.5109         

  -1.4509 + 2.8668i

  -1.4509 - 2.8668i

    Одержали  три корені :

р1=-20.5109         

р2=-1.4509 + 2.8668i

р3=-1.4509 - 2.8668i

    Запишемо  теорему розкладу згідно всіх коренів:

    _{Знайдемо  усі доданки цього  виразу окремо :}

         Запишемо остаточну формулу:

 

    За  отриманою формулою розраховуєм  значення перехідної характеристики замкненої  системи: