Статистика образования

Для моментального  ряда динамики с равными интервалами  средней уровень ряда будет исчисляться  по формуле средней хронологической

                                                                          (8)

Средний уровень моментального ряда динамики с неравными интервалами исчисляется  по формуле:

                                                                                                     (9)

где - среднее уровни в интервале между датами;

– интервал времени

Средний абсолютный прирост представляет собой  обобщенную характеристику индивидуальных абсолютных приростов ряда динамики. Для определения среднего абсолютного  прироста сумма цепных абсолютных приростов делится на их число n:

                                                                                            (10)

Средний темп роста – обобщающая характеристика индивидуальных  темпов роста ряда динамики. Для определения среднего темпа роста  применяется формула:

                                                                                     (11)

где - индивидуальные (цепные) темпы роста (в коэффициентах), n – число индивидуальных темпов роста.

Средний темп прироста можно определить на основе взаимосвязи между темпами роста и прироста. При наличии данных о средних темпах роста для получения темпов прироста используется зависимость:³

                                                                                                                              (12)

Система уравнений для  вычисления параметров уравнения прямой аналитического выравнивания:

.        (13)

Уравнение аналитического выравнивания имеет вид прямой:

,               (14)

где    и – параметры уравнения;

- показатель времени.⁴

Обобщённой количественной характеристикой признака в статистической совокупности в конкретных условиях места и времени является средняя  величина, которая определяется по формуле:

                                                                                                            

                                                                                                                               

                                                                           (15)

 где  - частота или численность отдельных вариант;

  - варианта или отдельное значение варьируемого признака.

Мода – значение признака, наиболее часто встречающееся в  изучаемой совокупности. Вычисляется  по формуле:

                                            

                                  (16)

где - нижняя граница модального интервала;

        - величина модального интервала;

       - частота модального интервала;

       - частота интервала, предшествующего модальному;

       - частота интервала, следующего за модальным.⁵

Медиана – вариант, расположенный  в середине упорядоченного вариационного  ряда, делящего его на 2 равные части. Рассчитывается по формуле:

                                                       (17)                                                                                                                                                                                               

где - нижняя граница медианного интервала;

       - частота медианного интервала;

        - величина медианного интервала;

       -сумма накопленных частот ряда, предшествующего медианного интервала;

- сумма частот ряда.⁶                            

Колеблемость  отдельных значений характеризуют  показатели вариации. Под вариацией  в статистике понимают такие количественные изменения величины исследуемого признака в пределах однородной совокупности, которые обусловлены перекрещивающимся  влиянием действия различных факторов.

Для изменения  степени колеблемости отдельных  значений признака от средней исчисляют  основные обобщающие показатели вариации: дисперсия, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

На  практике меру вариации более объективно отражает показатель дисперсии.

Дисперсия ( ) – это средняя арифметическая квадратов отклонений отдельных значений признака от их средней арифметической.

                                                                              (18)

 

         Среднеквадратическое отклонение находится по формуле:

   ,                                                                                                         (19)

Для определения однородности и неоднородности совокупности применяется  коэффициент вариации:

   ,                                                                                                           (20)

Если  < 33, то совокупность однородная, в противном случае – неоднородная.

При проведении группировки  муниципальных образований, которая  представляет собой процесс образования  однородных групп на основе разбиения  статистической совокупности на части  по существенным для них признакам, используют формулу нахождения количества групп в группировке:

                                                                           (21)

где N- число муниципальных образований.  

Для выявления шага (длины  интервала) в группировке служит формула:

                                                                                           (22)

где - минимальное значение в группировке;

- максимальное значение в  группировке.⁷

Корреляционный анализ имеет  своей задачей количественное определение  тесноты связи между двумя  признаками, либо между результативным и множеством факторных признаков.    Теснота связи количественно выражается величиной коэффициентов корреляции. Коэффициенты корреляции дают возможность определять «полезность» факторных признаков при построении уровней множественной регрессии. Величина коэффициента корреляции служит также оценкой соответствия уравнения регрессии выявленным причинно-следственным связям.          Корреляционно-регрессионный анализ как общее понятие включает в себя измерение тесноты, направления связи и установление аналитического выражения связи.

Регрессионный анализ заключается  в определении аналитического выражения  связи, в котором изменение одной  величины обусловлено влиянием одной  или нескольких независимых величин, а множество всех прочих факторов, также оказывающих влияние на зависимую величину, принимается  за постоянные и средние значения.

Вычисление параметров корреляционных линейных уравнений по первичным  данным. Параметры уравнения прямой и определяются путем решения системы нормальных уравнений, полученных методом наименьших квадратов:

,            (23)

где   – индивидуальные значения результативного признака;

  – индивидуальные значения  факторного признака;

 – число единиц наблюдения;

 – параметры уравнения  прямой (уравнения регрессии).

Параметр  показывает усреднённое влияние на результативный признак неучтённых факторов, параметр показывает изменение результативного признака при изменении факторного признака на единицу.

Уравнение прямой (регрессии) имеет вид:

,              (24)

где – теоретическое значение результативного признака.

Линейный коэффициент  корреляции ( ) характеризует тесноту и направление связи между двумя коррелируемыми признаками в случае наличия между ними линейной зависимости и находится по итоговым значениям исходных переменных по формуле:

.          (25)

По значению коэффициента корреляции судят о степени тесноты  связи. Количественные критерии оценки тесноты связи представлены в  таблице 1.⁸

Таблица 1 – Количественные критерии оценки тесноты связи 

Величина коэффициента корреляции	Характер связи
1	2
до	практически отсутствует
	слабая
	умеренная
	сильная

 

Формула вычисления среднего квадратического отклонения результативного  признака:

.              (26)

Формула среднего квадратического  отклонения факторного признака:

.              (27)

Формула нахождения коэффициента вариации результативного признака:

.                     (28)

Формула вычисления коэффициента вариации факторного признака:

.                     (29)

Линейный коэффициент  корреляции можно определить по формуле:

.             (30)

Формула вычисления факторной  дисперсии, характеризующей вариацию результативного признака под влиянием признака фактора, включённого в  модель:

.⁹                                                    (31)

Силу влияния факторного признака на результативный можно измерить с помощью коэффициента детерминации и эмпирического корреляционного  отношения.

Коэффициент детерминации равен:

.               (32)

Корень квадратный из коэффициента детерминации называется эмпирическим корреляционным отношением:

.               (33)

По абсолютной величине коэффициента определяют связь результативного  признака с факторным.

Формула нахождения остаточной дисперсии:

.             (34)

Остаточная дисперсия  характеризует вариацию результативного  признака под влиянием прочих неучтённых факторов.

Формула вычисления индекса  корреляционной связи:

.              (35)

Проверка адекватности однофакторной  регрессионной модели и значимости показателей тесноты корреляционной связи. Адекватность регрессионной  модели при малой выборке оценивается  с помощью F-критерия Фишера:

,              (36)

где   – число параметров модели;

 – число единиц наблюдения.¹⁰

Эмпирическое значение критерия сравнивается с критическим значением  при уровне значимости 0,01 или 0,05 и  с числом степеней свободы (m-1), (n-m). Если , то уравнение регрессии признается значимым (адекватным).

Значимость коэффициентов  линейного уравнения регрессии  оценивается с помощью t-критерия Стьюдента:

,              (37)

.             (38)

Эмпирическое значение t-критерия сравнивается с критическим значением t-критерия распределения Стьюдента при уровне значимости 0,01 или 0,05 и с числом степеней свободы (n-2). Если , то параметр уравнения регрессии признается значимым (адекватным).

Аналогично проводится оценка коэффициента корреляции с помощью  t-критерия Стьюдента:

.              (39)

Формула нахождения ошибки аппроксимации:

.             (40)

В конце анализа сравниваются найденные значения линейного коэффициента корреляции, индекса корреляционной связи и эмпирическое корреляционное отношение и дается общая оценка тесноты связи между факторами:

.¹¹  

Индексы – обобщающие показатели сравнения во времени и в пространстве не только однотипных явлений, но и  совокупностей, состоящих из несоизмеримых  элементов. Методики построения и расчета  индексов как для временных, так  и для пространственных сравнений  одинаковы. Не различаются между  собой и методы построения индексов различных явлений.

Изменения совокупностей, состоящих  из элементов, непосредственно не сопоставимых изучают с помощью групповых  или общих индексов (I).

Формула вычисления агрегатного  индекса физического объема:

,              (41)

где   – индексируемая величина;

 – соизмеритель, фиксируемый  на уровне одного и того  же периода.

Формула вычисления агрегатного  индекса цен Пааше:

.              (42)

Формула вычисления агрегатного  индекса цен Ласпейреса: