Средние величины в статистическом анализе деятельности предприятий

    Таким образом, у половины предприятий  уровень себестоимость единицы  продукции превышает 125,19 тыс. руб., половина всего объема продукции производится с уровнем затрат на изделие больше 124,79 тыс. руб. и 50 % общей суммы затрат образуется при уровне себестоимости одного изделия выше 125,07 тыс. руб. Заметим также, что наблюдается некоторая тенденция к росту себестоимости, так как Ме₂ = 124,79 тыс. руб., а средний уровень равен 123,15 тыс. руб.

    При расчете модального значения признака по данным интервального ряда надо обращать внимание на то, чтобы интервалы  были одинаковыми, поскольку от этого зависит показатель повторяемости значений признака X. Для интервального ряда с равными интервалами величина моды определяется как:

,

,где Х_Mo – нижнее значение модального интервала; 
m_Mo – число наблюдений или объем взвешивающего признака в модальном интервале (в абсолютном либо относительном выражении); 
m_Mo-1 – то же для интервала, предшествующего модальному; 
m_Mo+1 – то же для интервала, следующего за модальным;  
h – величина интервала изменения признака в группах.

    Для нашего примера можно рассчитать три модальных значения исходя из признаков числа предприятий, объема продукции и суммы затрат. Во всех трех случаях модальный интервал один и тот же, так как для  одного и того же интервала оказываются наибольшими и число предприятий, и объем продукции, и общая сумма затрат на производство:

    Таким образом, чаще всего встречаются  предприятия с уровнем себестоимости 126,75 тыс. руб., чаще всего выпускается продукция с уровнем затрат 126,69 тыс. руб., и чаще всего затраты на производство объясняются уровнем себестоимости в 123,73 тыс. руб. 
 
 
 

3. Расчёт средней через показатели структуры

    Средние арифметические и средние гармонические могут быть как простыми, так и взвешенными. Веса в формулах средних показывают повторяемость  данного значения признака. Поэтому абсолютные данные о повторяемости можно заменить относительными величинами структуры. Так, для расчета среднего коэффициента выполнения плана можно применить формулу

,

,где d_пл.i – доля, удельный вес данного предприятия в общем объеме выпуска продукции по плану.

    При использовании формулы средней  гармонической вычисление можно  выполнить с учетом доли каждого предприятия в общем фактическом объеме произведенной продукции d_факт.i :

,

    Умение  производить взвешивание по относительным  величинам структуры упрощает расчеты  и сбор исходных данных. Кроме того, формулы вычисления средних значений по показателям структуры показывают зависимость среднего уровня не только от индивидуальных значений осредняемого показателя, но и от структуры совокупности. При изменении структуры меняется и средняя величина, хотя индивидуальные значения осредняемого признака могут оставаться прежними. Это обстоятельство используется в индексном методе анализа.

    В заключение приведу краткий перечень формул расчета средних значений наиболее употребительных экономических  показателей через относительные величины структуры.

1. Средняя трудоемкость  изготовления изделия одного  и того же вида несколькими  рабочими (t):

   или    ,

,где t_i – трудоемкость изготовления еденицы продукции конкретным рабочим;

  - доля рабочего в общей объеме произведенной продукции;

d_Ti - доля рабочего в общих затратах времени.

2. Средний уровень  выработки продукции в единицу  рабочего времени (W):

 или   ,

, где W_i – уровень выработки для отдельного объекта (предприятия, цеха, рабочего);

d_Ti – доля данного объекта  (предприятия, цеха, рабочего) в общих по всей совокупности затратах рабочего времени;

d_qi – доля объекта i в общем выпуске продукции.

3. Средний уровень оплаты труда (f):

 или   ,

, где f_i – уровень оплаты в единицу времени на объекте i;

d_Ti – доля объекта i в общих трудозатратах;

d_Fi – доля объекта i в общем суммарном фонде оплаты труда.

4. Средний уровень фондоотдачи (H):

 или  ,

, где H_i – уровень фондоотдачи (стоимость произведенной продукции (в руб.) на 1 руб. основных производственных фондов) по объекту (отрасли, предприятию) i;

d_Фi – доля объекта i в общей стоимости фондов по всей изучаемой совокупности;

d_qi – доля объекта i в общем выпуске продукции.

5. Средний уровень затрат на производство  единицы продукции одного и того же вида (себестоимость) на нескольких предприятиях (Z):

 или  ,

, где  Z_i – затраты на производство продукции отдельному предприятию;

d_qi – доля предприятия в общем объеме произведенной продукции;

dз_i – доля предприятия в общих затратах на производство.

    Аналогичным образом через относительные  величины структуры находятся и другие средние величины экономических  показателей (средняя фондоемкость, средний уровень затрат на 1 руб. продукции, средняя оборачиваемость запасов или незавершенного производства и т. д.) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

4. Показатели вариации

    Для характеристики совокупностей и  исчисленных величин важно знать, какая вариация изучаемого признака скрывается за средним. Для характеристики колеблемости признака используется ряд  показателей. Наиболее простой из них - размах вариации.

    Размах  вариации - это разность между наибольшим ( ) и наименьшим ( ) значениями вариантов.

    

,

    Достоинством  этого показателя является простота расчёта. Точнее характеризует вариацию признака показатель, основанный на учёте всех значений признака. К таким показателям относится среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение, представляющие собой среднюю арифметическую из отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической.

    Чтобы дать обобщающую характеристику распределению  отклонений, исчисляют среднее линейное отклонение d, которое учитывает  различие всех единиц изучаемой совокупности.

    Среднее линейное отклонение определяется как  средняя арифметическая из отклонений индивидуальных значений от средней, без учета знака этих отклонений:

    

.

Порядок расчета среднего линейного отклонения следующий:

    1) по значениям признака исчисляется  средняя арифметическая:

    

,

    2) определяются отклонения каждой варианты от средней:

    

,

    3) рассчитывается сумма абсолютных  величин отклонений:

    

,

    4) сумма абсолютных величин отклонений  делится на число значений:

    

.

    Если  данные наблюдения представлены в виде дискретного ряда распределения с частотами, среднее линейное отклонение исчисляется по формуле средней арифметической взвешенной:

    

Порядок расчета  среднего линейного отклонения взвешенного  следующий:

    1) вычисляется средняя арифметическая взвешенная:

    

,

    2) определяются абсолютные отклонения  вариант от средней: 

    /

/,

    3) полученные отклонения умножаются  на частоты: 

    

,

    4) находится сумма взвешенных отклонений  без учета знака:

    

,

    5) сумма взвешенных отклонений  делится на сумму частот:

    

.

    5. Расчет дисперсии и среднего квадратического отклонения по индивидуальным данным и в рядах распределения.

    Основными обобщающими показателями вариации в статистике являются дисперсии и среднее квадратическое отклонение.

    Дисперсия - это средняя арифметическая квадратов  отклонений каждого значения признака от общей средней. Дисперсия обычно называется средним квадратом отклонений и обозначается . В зависимости от исходных данных дисперсия может вычисляться по средней арифметической простой или взвешенной:

      — дисперсия невзвешенная (простая);

      — дисперсия взвешенная.

    Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии и обозначается S:

      — среднее квадратическое  отклонение невзвешенное;

      — среднее квадратическое  отклонение взвешенное.

    Среднее квадратическое отклонение - это обобщающая характеристика абсолютных размеров вариации признака в совокупности. Выражается оно в тех же единицах измерения, что и признак (в метрах, тоннах, процентах, гектарах и т.д.).

    Среднее квадратическое отклонение является мерилом  надежности средней. Чем меньше среднее квадратическое отклонение, тем лучше средняя арифметическая отражает собой всю представляемую совокупность.

    Вычислению  среднего квадратического отклонения предшествует расчет дисперсии.

    Порядок расчета дисперсии взвешенную:

    1) определяют среднюю арифметическую взвешенную

    

,

    2) определяются отклонения вариант  от средней:

    

,

    3) возводят в квадрат отклонение  каждой варианты от средней: 

    

,

    4) умножают квадраты отклонений  на веса (частоты):

    

,

    5) суммируют полученные произведения 

    

,

    6) Полученную сумму делят на  сумму весов

    

.

    Расчет  дисперсии по формуле  по индивидуальным данным и в рядах распределения.

  Техника вычисления дисперсии сложна, а при больших значениях вариант и частот может быть громоздкой. Расчеты можно упростить, используя свойства дисперсии 
 

5.1. Свойства дисперсии.

    Уменьшение  или увеличение весов (частот) варьирующего признака в определенное число раз дисперсии не изменяет.

    Уменьшение  или увеличение каждого значения признака на одну и ту же постоянную величину А дисперсии не изменяет.

    Уменьшение  или увеличение каждого значения признака в какое-то число раз  к соответственно уменьшает или  увеличивает дисперсию в раз, а среднее квадратическое отклонение - в к раз.