Средние величины в статистическом анализе деятельности предприятий

      При расчете средних по сгруппированным  данным следует учитывать, что большое  значение имеет обоснование и  выбор веса при расчете средней  арифметической взвешенной.

    Приведем  пример: Имеются данные о доли экспорта в стоимости товарной продукции предприятий, выпускающие минеральные удобрения.

                                                       

 

        Средняя доля экспорта, исчисленная как средняя арифметическая взвешенная по числу предприятий, является формальной средней

 

 

       Логически обоснованным можно считать выбор в качестве весов объемов товарной продукции в каждой группе предприятий с определенной долей экспорта, поскольку доля экспорта получается деление объема экспорта на товарную продукцию предприятия.  

 

     Теперь, в числители мы получили общую стоимость экспортной продукции, а в знаменателе — общую стоимость всей товарной продукции (6 предприятий). Таким образом, в результате расчета определенна средняя доля экспорта предприятий исследуемой совокупности, равная 0,24 (24 %).

      Средняя арифметическая взвешенная применяется также при вычислении общей средней для всей совокупности из частных (групповых) средних. Например, одним из современных индикаторов качества жизни населения являются его вклады на счета государственных и коммерческих банков с целью получения дополнительных доходов. Располагая данными о числе вкладчиков и размере вклада за 1-й квартал 1995 г. по трем филиалам Сбербанка одного района города, определим средний размер вклада (на 30.03.95).

                                                       

 

      Для определения среднего остатка вклада по трем филиалам в целом следует общую сумму остатков по вкладам для всех вкладчиков разделить на общее число вкладчиков. Использую таблицу, имеем формулу:

      ,где Х_i — среднее значение признака по каждой группе (в нашем примере — средний остаток по вкладу отдельного филиала);

w_i  — веса средней (число вкладчиков по каждому филиалу).

      Средняя арифметическая обладает некоторыми свойствами, которые определяют ее широкое применение в экономических расчетах и в практике статистического исследования.

      Свойство 1. Средняя арифметическая постоянной величины равна этой постоянной А = А при А const.

      Свойство 2. (нулевое) Алгебраическая сумма линейных отклонений (разностей) индивидуальных значений признака от средней арифметической равна нулю: для первичного ряда и для сгруппированных данных (d_i — линейное (индивидуальные) отклонения от средней, т.е. ).

    Это свойство можно сформулировать следующим  образом: сумма положительных отклонений от средней равна сумме отрицательных  отклонений. Логически оно означает, что все отклонения от средней в ту или другую сторону, обусловленные случайными причинами, взаимно погашаются.

      Свойство 3 (минимальное). Сумма квадратов  отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической есть число  минимальное:

 или  , где

, что означает: сумма квадратов отклонений индивидуальных  значений признака каждой единицы  совокупности от средней арифметической  всегда меньше суммы квадратов  отклонений вариантов признака  от любого значения (А), сколь угодно отличающегося от средней у выбранной единицы исследуемой совокупности.

      Для сгруппированных данных имеем:

 или  .

      Минимальное и нулевое свойства средней арифметической применяются:

- для проверки правильности расчета среднего уровня признака;

- при изучении закономерностей уровня ряда динамики;

- для нахождения параметров уравнения регрессии при изучении корреляционной связи между признаками.

    Рассмотренные свойства выражают сущностные черты средней арифметической. Существуют также расчетные (вычислительные) свойства средней арифметической, имеющие прикладное значение:

• Если значения признака каждой единицы совокупности (все усредняемые варианты) уменьшить или увеличить на одну и ту же величину А, то и со средней арифметической произойдут аналогичные изменения;
• Если значения признака каждой единицы совокупности разделить или умножить на какое-либо постоянное число А, то средняя арифметическая уменьшится или увеличится в А раз;
• Если вес (частоту) каждого значения признака разделить на какое-либо постоянное число А, то средняя арифметическая не изменится.

      В настоящее время вычислительные свойства средней арифметической потеряли свою актуальность в связи с использованием ЭВТ при расчете обобщающих статистических показателей.  
 Средняя гармоническая величина является преобразованной средней арифметической величиной. Применяется она тогда, когда необходимые веса (f_i) в исходных данных не заданы непосредственно, а входят сомножителем в одни из имеющихся показателей. Она также может быть простой и взвешенной. Средняя гармоническая простая рассчитывается по формуле:

,

,т.е. это обратная величина средней арифметической простой из обратных значений признака.

Формула средней гармонической взвешенной:

,

    Например, необходимо определить среднюю урожайность  всех технических культур на основании следующих данных:

Валовой сбор и урожайность технических  культур по одному из районов во всех категориях хозяйств.

 

    Здесь в исходной информации веса (площадь  под культурами) не заданы, но входят сомножителем в валовой сбор, равный урожайности, умноженной на площадь M_i=x_i*f_i ,  поэтому

, а средняя урожайность будет равна .

 

      При применении средней геометрической индивидуальные значения признака представляют собой, как правило, относительные величины динамики, и построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики (причем временные отрезки ряда динамики одинаковы). Средняя характеризует, таким образом, средний коэффициент роста.

      Средняя геометрическая величина используется также для определения равноудаленной величины от максимального и минимального значений признака.

      Формула средней квадратической используется для измерения степени колеблемости индивидуальных значений признака вокруг средней арифметической в рядах распределения. Так, при расчете показателей вариации среднюю вычисляют из квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической величины.

    Логическая  формула вытекает из сущности средней, ее социально-экономического содержания. Средняя величина признака — это отношение. Поэтому прежде чем оперировать цифрами, нужно выяснить, соотношением каких показателей является средняя в данном конкретном случае. Это исходное соотношение необходимо записать словами в виде формулы, которую и называют логической формулой средней. 

 

      После того как записана логическая формула  средней, которую нужно вычислить, необходимо внимательно рассмотреть  имеющиеся для вычисления данные и заменить словесные обозначения числителя и знаменателя логической формулы средней соответствующими цифровыми данными, после чего остается только провести необходимые вычисления.

      Этот  принцип обеспечивает правильный выбор  формы средней, а, следовательно, и правильное определение величины средней. И еще одно важное свойство принципа логической формулы в том, что здесь не возникает проблема выбора весов средней.  

2.2. Структурные средние величины

    Особый  вид средних величин – структурные  средние – применяется для изучения внутреннего строения рядов распределения значений признака, а также для оценки средней величины (степенного типа), если по имеющимся статистическим данным ее расчет не может быть выполнен (например, если бы в рассмотренном примере отсутствовали данные и об объеме производства, и о сумме затрат по группам предприятий).

    В качестве структурных средних чаще всего используют показатели совокупности значение признака не превышает медианного уровня, а у другой – не меньше его.

    Если  изучаемый признак имеет дискретные значения, то особых сложностей при  расчете моды и медианы не бывает. Если же данные о значениях признака Х представлены в виде упорядоченных  интервалов его изменения (интервальных рядов), расчет моды и медианы несколько усложняется. Поскольку медианное значение делит всю совокупность на две равные по численности части, оно оказывается в каком-то из интервалов признака X. С помощью интерполяции в этом медианном интервале находят значение медианы:

,

,где X_Me – нижняя граница медианного интервала; 
h_Me – его величина; 
(Sum m)/2 – половина от общего числа наблюдений или половина объема того показателя, который используется в качестве взвешивающего в формулах расчета средней величины (в абсолютном или относительном выражении); 
S_Me-1 – сумма наблюдений (или объема взвешивающего признака), накопленная до начала медианного интервала; 
m_Me – число наблюдений или объем взвешивающего признака в медианном интервале (также в абсолютном либо относительном выражении).

Пример:

    В нашем примере могут быть получены даже три медианных значения –  исходя из признаков количества предприятий, объема продукции и общей суммы затрат на производство: