Коспект лекций "Статистичкские методы прогнозирования в экономике"

        

   

     Ширина доверительного интервала зависит от уровня значимости, периода упреждения, среднего квадратического отклонения от тренда и степени полинома. Чем выше степень полинома, тем шире доверительный интервал при одном и том же значении S_р, так как дисперсия уравнения тренда вычисляется как взвешенная сумма дисперсий соответствующих параметров уравнения

      Доверительные интервалы прогнозов, полученных с использованием уравнения экспоненты, определяют аналогичным образом. Отличие состоит в том, что как при вычислении параметров кривой, так и при вычислении средней квадратической ошибки используют не сами значения уровней временного ряда, а их логарифмы.

      По такой же схеме могут быть определены доверительные интервалы для ряда кривых, имеющих асимптоты, в случае, если значение асимптоты известно (например, для модифицированной экспоненты).

   

Проверка адекватности выбранных моделей

     Проверка  адекватности выбранных моделей  реальному процессу строится на анализе  случайной компоненты. Случайная (остаточная) компонента получается после выделения из исследуемого ряда тренда и периодической составляющей. Предположим, что исходный временной ряд описывает процесс, не подверженный периодическими колебаниями, то есть примем гипотезу об аддитивной модели временного ряда:

     У_t=u_t+e_t

     Тогда ряд случайной компоненты будет  получен как отклонение фактических  уровней временного ряда (y_t) от выровненных, расчетных

     

     Принято считать, что модель адекватна описываемому процессу, если значения остаточной компоненты удовлетворяют свойствам независимости и подчиняются закону нормального распределения.

      При правильном выборе вида тренда отклонения от него будут носить случайный характер. Это означает, что изменение остаточной случайной величины не связано с изменением времени. Таким образом, по выборке, полученной для всех моментов времени на изучаемом интервале, проверяется гипотеза о зависимости последовательности значений e_t от времени, или, что то же самое, о наличии тенденции в ее изменении. Поэтому для проверки данного свойства может быть использован один из критериев, например, критерий серий.

     Если  вид функции, описывающей тренд, выбран неудачно, то последовательные значения ряда остатков могут не обладать свойствами независимости, так как они могут коррелировать между собой. В этом случае имеет место явление автокорреляции.

     В условиях автокорреляции оценки параметров модели будут обладать свойствами несмещенности и  состоятельности.

     Существует  несколько приемов обнаружения  автокорреляции. Наиболее распространенным является метод, предложенный Дарбиным и Уотсоном.

     Критерий  Дарбина-Уотсона связан с гипотезой о существовании автокорреляции первого порядка (то есть между соседними остаточными уровнями ряда). Значение этого критерия определяется по формуле:

     d=

Можно показать, что величина d приближенно равна:

      

     ^{где r}₁^{- коэффициент автокорреляции первого порядка (т.е. парный коэффициент корреляции между двумя рядами e}₁^{, e}₂^{, ... ,e}_n-1 ^{и e}₂^{, e}₃^{, ..., e}_n^).

     Из последней формулы видно, что если в значениях e_t имеется сильная положительная автокорреляция  ,то величина d=0 , в случае сильной отрицательной автокорреляции d=4.  При отсутствии автокорреляции .

      Для этого критерия найдены критические границы, позволяющие принять или отвергнуть гипотезу об отсутствии автокорреляции. Авторами критерия границы определены для 1, 2,5 и 5% уровней значимости.

     Рассчитанные  значения d сравнивают с табличными значениями. Здесь ( в таблице):  d1 и d2 - соответственно нижняя и верхняя доверительная граница критерия d;

     К – число переменных в модели

     n – длина ряда.

     При сравнении величины d с d1 и d2 возможны следующие ситуации:

2. d< d2, то гипотеза об отсутствии автокорреляции отвергается;
3. d> d2, то гипотеза об отсутствии автокорреляции не отвергается;
4. d1≤ d≤ d2, то нет достаточных основании для принятия решений, величина попадает в область неопределенности.

      Рассмотренные варианты относятся к случаю, когда в остатках имеется положительная автокорреляция. Когда же расчетное значение d превышает 2, то можно говорить о том, что в e_t существует отрицательная автокорреляция. Для проверки отрицательной автокорреляции с критическими значениями d₁ и d₂ сравнивается не сам коэффициент d, а 4-d.

     Поскольку временные ряды экономических показателей, как правило, небольшие, то проверка распределения на нормальность может быть произведена лишь приближенно на основе исследования показателей ассиметрии и эксцесса.

     При нормальном распределении показатели ассиметрии и эксцесса равны нулю.

     Можно рассчитать показатель ассиметрии и  эксцесса, их средние квадратические ошибки:

     А=  

       

     Э=

     

     Если  одновременно выполняются следующие  неравенства:

      ,

     то  гипотеза о нормальном характере  распределения случайной компоненты не отвергается.

     Если  выполняется хотя бы одно из следующих  неравенств:

      , 

     то  гипотеза о нормальном характере  распределения отвергается.

Характеристики  точности моделей

     Чтобы судить о качестве выбранной модели необходимо проанализировать систему показателей, характеризующих как адекватность модели, так и ее точность. О точности прогноза судят по величине ошибки прогноза.

     Ошибка  прогноза – это величина, характеризующая  расхождения между прогнозным значением  показателя и фактическим значением.

     Абсолютная  ошибка прогноза определяется по формуле:

      у _прогн. – yt

     Относительная ошибка прогноза:

     δt=

     Используются  также средние ошибки по модулю.

     Абсолютная  ошибка по модулю:

     

     Относительная средняя ошибка по модулю:

     S=  

     Если  абсолютная и относительная ошибка >0, то это свидетельствует о  завышенной прогнозной оценке, а если <0, то прогноз был занижен. Эти характеристики могут быть вычислены после того, как период упреждения уже закончился и имеются фактические данные о прогнозируемом показателе.

     При проведении сравнительной оценки моделей  прогнозирования применяются также  дисперсия и среднее квадратическое отклонение:

     S²=

     S=

     Чем меньше значение дисперсии и среднее  квадратическое отклонение, тем выше точность модели.

     О точности модели нельзя судить по одному значению ошибки прогноза, поскольку  единичный хороший прогноз может быть получен и по плохой модели, поэтому о качестве применяемых моделей можно судить лишь по совокупности сопоставлений прогнозных значений с фактическими.

     Простой мерой качества прогнозов может  служить характеристика . Это относительное число случаев, когда фактическое значение охватывалось интервальным прогнозом:

      ,

     где Р – число прогнозов, подтвержденных фактическими данными;

     q – число прогнозов, не подтвержденных фактическими данными.

     Сопоставление характеристик  для разных моделей может иметь смысл при условии, что доверительные вероятности приняты одинаковыми. 

Тема 9: Адаптивные методы  прогнозирования.

     При обработке временных рядов наиболее ценной является информация последнего периода. Адаптивные методы позволяют учитывать различную информационную ценность уровней временных рядов.

     В адаптивных методах различную ценность уровней, в зависимости от их возраста, можно учесть с помощью системы весов, придаваемых этим уровням.

     Допустим, модель находится в некотором  состоянии, для которого определены текущие значения ее параметров. На основе этой модели делается прогноз. При поступлении фактического значения оценивается ошибка прогноза. Ошибка прогноза через обратную связь поступает в модель и учитывается в ней в соответствии с принятой процедурой от одного состояния к другому. В результате вырабатываются компенсирующие изменения, состоящие в корректировке параметров для большего согласования поведения модели с динамикой ряда. Затем рассчитывается прогнозная оценка на следующий момент времени, и весь процесс повторяется вновь.

     Таким образом, адаптация осуществляется итеративно с получением каждой новой фактической точкой ряда. Модель постоянно впитывает новую информацию, приспосабливается к ней и поэтому отражает тенденцию развития, существующую в данный момент. На рисунке приведена общая схема построения адаптивных моделей прогнозирования

     Скорость  или быстроту реакции модели на изменение  в динамике процесса характеризует так называемый параметр адаптации. Он должен быть выбран таким образом, чтобы обеспечивалась адекватное отображение тенденции при одновременной фильтрации случайных отклонений. Значение параметра адаптации может быть определено на основе эмпирических данных, выведено аналитическим способом или получено на основе метода проб. В качестве критерия оптимальности при выборе параметра адаптации обычно принимают критерий минимума среднего квадрата ошибок прогнозирования.

     Адаптивными называются методы прогнозирования, позволяющие строить самокорректирующиеся (самонастраивающиеся) экономико-математические модели, которые способны оперативно реагировать на  изменение условий путем учета результата прогноза, сделанного на предыдущем шаге, и учета различной информационной ценности уровней ряда. Благодаря указанным свойствам адаптивные методы особенно удачно используются при краткосрочном прогнозировании (при прогнозировании на один или на несколько шагов вперед)

     Экспоненциальное сглаживание

     Наиболее  часто на практике применяются методы, используемые процедуру экспоненциального сглаживания.

     Для экспоненциального сглаживания  ряда используется следующая формула:

     St =

     St – значение экспонентной средней в момент времени t;

      - параметр адаптации; 0≤ ≤1

      =1-

     Если  последовательно использовать данное соотношение, то экспоненциальную среднюю можно выразить через предшествующие значения уровней временных рядов:

     St =

     Таким образом, величина экспоненциальной средней оказывается взвешенной суммой всех уровней ряда, причем веса отдельных уровней ряда убывают по мере их удаления в прошлое соответственно экспоненциальной функции.