Коспект лекций "Статистичкские методы прогнозирования в экономике"

   Тогда сглаживающим значением для уровня, стоящего в середине участка сглаживания, будет значение параметра а₀.

   Нет необходимости каждый раз заново вычислять весовые коэффициенты при уровнях ряда, входящих в участок сглаживания, поскольку они будут одинаковыми для каждого участка сглаживания, например, если в интервал сглаживания входит 5 последующих уровней ряда и выравнивание производится по параболе, то коэффициенты параболы находят по методу наименьших квадратов, учитывая, что t = 0.

   Метод наименьших квадратов в этой ситуации дает следующую систему уравнений:

   

   Для нахождения параметра а0 используют 1 и 3 уравнение

   

   -

         34 - =5*34а0-10*10а0

   34 - =а0(170-100)

   а0=

     

   Если  длина интервала сглаживания  равна 7, весовые коэффициенты следующие:

   

     Отметим важные свойства приведенных весов:

     1) Они симметричны относительно центрального уровня.

     2) Сумма весов с учетом общего множителя, вынесенного за скобки, равна единице.

     3) Наличие как положительных, так и отрицательных весов, позволяет сглаженной кривой сохранять различные изгибы кривой тренда.

     Существуют приемы, позволяющие с помощью дополнительных вычислений получить сглаженные значения для Р начальных и конечных уровней ряда при длине интервала сглаживания g=2p+1. 

Весовые коэффициенты при сглаживании по полиномам второго и третьего порядка

 
 

   Тема 5: Методы измерения  и изучения устойчивости временного ряда.

     Категорию устойчивости рассматривают с двух позиций:

• устойчивость уровней ряда;
• устойчивость тренда.

     Согласно  статистической теории, статистический показатель содержит в себе элементы необходимого и случайного. Необходимость проявляется в форме тенденции временных рядов, а случайность в форме колебаний уровней относительно тренда. Тенденцией характеризуется процесс эволюции.

     Расчленение временных рядов на составляющие элементы – условный описательный прием. Тем не менее, решающим фактором, обусловливающим тенденцию является целенаправленная деятельность человека, а главной причиной колеблемости – изменение условий жизнедеятельности.

     Отсюда  следует, что устойчивость не означает обязательного повторения одинакового  уровня из года в год. Слишком узким  было понятие устойчивости ряда как  полное отсутствие любых колебаний  уровней.

     Сокращение  колебаний уровней ряда – одна из главных задач при повышении устойчивости.

     Устойчивость  временных рядов - это наличие необходимой тенденции изучаемого показателя с минимальным влиянием на него неблагоприятных условий.

     Для измерения устойчивости уровней временных рядов используют следующие показатели:

1. размах колеблемости - определяется как разница средних уровней за благоприятные и неблагоприятные по отношению к изучаемому явлению периоды времени:

     R=y благопр – унеблагопр

     К благоприятным периодам времени  относятся все периоды с уровнями выше тренда, а к неблагоприятным – ниже тренда.

     2) индекс устойчивости:

     i=

     3)среднее  линейное отклонение:

     d=

1. среднее квадратическое отклонение:

     S(t)=

     Уменьшение  колеблемости во времени будет равнозначно устойчивости уровней.

     Для характеристики устойчивости рекомендуются также следующие показатели:

1. процентный размах (PR):

     PR=Wmax-Wmin

     Wmax/min – max/min  относительный прирост.

     W=

2. Скользящая средняя (МА) оценивает величину среднего отклонения от уровня скользящих средних (хt):

     МА=

     xt=

3. Среднее процентное изменение (АРС) оценивает среднее значение абсолютных величин, относительных приростов и квадратов относительных приростов:

     АРС=

     Для оценки устойчивости уровней временных  рядов применяются относительные  показатели колеблемости:

     V(t)=

     V(t)=

     K=100 – V(t) – коэффициент устойчивости (в процентах или долях единиц).

     Для измерения устойчивости тенденции динамики (тренда) используют следующие показатели:

1. коэффициент корреляции рангов (коэффициент Спирмена):

     Кр=1- ,

     d - разность рангов уровней изучаемого ряда и рангов номеров периодов или моментов времени.

     d = Ry – Rt

     Для определения этого коэффициента величины уровней нумеруют в порядке  возрастания, а при наличии одинаковых уровней им присваивается определенный ранг равный частному от деления рангов, приходящихся на число этих равных значений.

     Коэффициент Спирмена может принимать значения в пределах от 0 до ±1. Если каждый уровень  исследуемого периода выше, чем предыдущего, то ранги уровней ряда и номера лет совпадают – Кр=+1. Это означает полную устойчивость самого факта роста уровней ряда, то есть непрерывность роста. Чем ближе Кр к +1, тем ближе рост уровней к непрерывному, то есть выше устойчивости роста. Если Кр=0, рост совершенно неустойчив.

     При отрицательных значениях чем ближе Кр к -1, тем устойчивее уменьшение изучаемого показателя.

2. индекс корреляции (ИК):

     I=

     Индекс  корреляции показывает степень сопряженности  колебаний исследуемых показателей с совокупностью факторов, изменяющих их во времени. Приближение индекса корреляции к 1 означает, большую устойчивость изменения уровней временных рядов.

     Число уровней ряда у двух показателей  должно быть одинаково.

     Применяются также комплексные показатели устойчивости, сущность которых заключается в определении их не через уровни временных рядов, а через показатели их динамики.

1. Показатель Каякиной определяется как отношение среднего прироста линейного тренда, т.е. параметра а1 к среднему квадратическому отклонению уровней от тренда:

     Кк=

     Чем больше величина этого показателя, тем менее вероятно, что уровень  ряда в следующем периоде будет меньше предыдущего.

2. Показатель опережения, который получают, сопоставляя темпы роста уровней ряда с темпами значения колеблемости:

     К0=

     Если  показатель опережения > 1, то это свидетельствует  о том, что уровни ряда в среднем растут быстрее колебаний или снижаются медленнее колебаний. В таком случае коэффициент колеблемости уровней будет уменьшаться, а коэффициент устойчивости уровней увеличиваться. Если показатель опережения меньше 1, то колебания растут быстрее уровней тренда и коэффициент колеблемости растет, а коэффициент устойчивости уровней уменьшается, то есть показатель опережения определяет направление динамики коэффициента устойчивости уровней. 

Тема 6. Анализ периодических колебаний во временных рядах  

     Временной ряд содержит, как правило, 2 основных элемента:

• тенденцию динамики;
• колеблемость.

     Эти составляющие в разных временных  рядах находятся в неодинаковом соотношении. А в крайних случаях  остается один элемент, т.е. ряд без  колебаний представляет собой тренд  в чистом виде; а ряд без тенденции  динамики, но с колебаниями уровней  около постоянной средней величины – это стационарный временной ряд.

     Колеблемость  представляет собой важный предмет  статистического исследования временного ряда и позволяет выдвинуть гипотезы о причинах колебаний, о путях влияния на них. Кроме того, на основе параметров колеблемости, ее можно прогнозировать или учитывать как факторы ошибки прогноза (рассчитывать резервы, т.е. страховой запас, необходимый для преодоления вредных последствий колебаний уровней).

     Изучение  колебаний целесообразно начать с графического изображения.

     Все многообразие встречаемых во временных  рядах колебаний обычно сводят к 3 основным типам:

1. пилообразные (маятниковые);
2. долгопериодические циклы колебаний;
3. случайно распределенная во времени колеблемость.

     Графическое изображение каждого из этих типов  и описание основных свойств каждого типа колеблемости, во-первых, помогают по виду фактического ряда определить, какой тип колебаний является преобладающим в нем, и, во-вторых, помогают понять, какие последствия могут иметь колебания и как их устранить.

     Характерной чертой пилообразной колеблемости является правильное регулярное чередование отклонений от тренда вверх и вниз, т.е. положительных по знаку и отрицательных через одно.

     Свойства  пилообразной колеблемости таковы:

     - из-за частой смены знака отклонения от тренда не происходит аккумуляции ни положительных, ни отрицательных отклонений, следовательно, нет необходимости создавать для их компенсации значительный страховой запас;

     - регулярность чередования отклонений  обеспечивает их надежное прогнозирование, причем число положительных отклонений при достаточно большой длине ряда = числу отрицательных отклонений, а общее количество локальных экстремумов = числу уровней.

     Распознать  наличие пилообразных колебаний  можно подсчетом числа локальных  экстремумов в ряду отклонений от тренда. Чем ближе это число к числу уровней ряда, тем большую роль играют пилообразные колебания.

     Кроме того, существует еще один способ распознавания  пилообразных колебаний по знаку  и величине коэффициента автокорреляции отклонений от тренда 1-го порядка (зависимость уровней ряда между собой). В рядах динамики экономических процессов может существовать взаимосвязь между уровнями. Это явление называется автокорреляцией. Измеряют автокорреляцию при помощи коэффициента автокорреляции, который может рассчитываться не только между соседними уровнями, т.е. сдвинутыми на 1 период, но и между сдвинутыми на любое число единиц времени. Этот сдвиг называется временным лагом. Он определяет порядок коэффициента автокорреляции.