1. исходный временной ряд ранжируют;
2. определяют медиану из этого ряда; Nме =
3. образуют последовательность знаков из «+» и «-» по следующему правилу:

      Si=

      Если  Yt = Me, Ye опускается

4. подсчитывается общее число серий V(n) и протяженность самой длинной серии imax (n).
5. Проверяется гипотеза о наличии или отсутствии тренда. Если нарушается хотя бы одно из следующих неравенств, то гипотеза об отсутствии тренда отвергается:

        

      Метод Фостера-Стьюарта реализуется в следующей последовательности шагов:

1. каждый уровень ряда сравнивается со всеми предшествующими и определяются значения вспомогательных характеристик

      

      

2. вычисляется характеристика dt=mt-lt
3. находится Д =
4. определяется характеристика t наблюдаемое:

      t наблюдаемое =

5. расчетное значение t наблюдаемое сравнивается с t критическое, взятым из таблицы;
6. если t наблюдаемое > t критическое, то гипотеза об отсутствии тренда отвергается.

 

Тема 3. Прогнозирование  на основе обобщающих показателей

   динамики развития

      Для количественной оценки динамики явлений применяются статистические показатели: абсолютные приросты, темпы роста, темпы прироста, причем они могут разделяться на цепные, базисные и средние.

      В основе расчета этих показателей динамики лежит сравнение уровней временного ряда. Если сравнение осуществляется с одним и тем же уровнем, принятым за базу сравнения, то эти показатели называются базисными. Если сравнение осуществляется при переменной базе, и каждый последующий уровень сравнивается с предыдущим, то вычисленные таким образом показатели называются цепными.

Абсолютный прирост    равен разности двух сравниваемых уровней.

Темп роста Т характеризует отношение двух сравниваемых уровней ряда, выраженное в процентах.

      Темп прироста К характеризует абсолютный прирост в относительных величинах. Определенный в % темп прироста показывает, на сколько процентов изменился сравниваемый уровень по отношению к уровню, принятому за базу сравнения. В таблице приведены выражения для вычисления базисных и цепных приростов, темпов роста, темпов прироста. При этом использованы следующие обозначения:

y₁,y₂, ... ,y_t, ... ,y_n- уровни временного ряда t=1, 2, ... , n;

n- длина временного ряда;

 ^y_б ^{-уровень временного ряда, принятый за базу сравнения.}

   

      Для получения обобщающих показателей динамики развития определяются средние величины: средний абсолютный прирост, средний темп роста и прироста.

   Описание динамики ряда с помощью среднего  прироста соответствует его представлению в виде прямой, проведенной через две крайние точки. В этом случае, чтобы получить прогноз на один шаг вперед, достаточно к последнему наблюдению добавить значение среднего абсолютного прироста

   

- значение среднего прироста, рассчитанное для временного ряда y₁,y₂, ... ,y_n . 

     Очевидно, что такой подход к получению прогнозного значения корректен, если характер развития близок к линейному. На такой равномерный характер развития могут указывать примерно одинаковые значения цепных абсолютных приростов.

     Применение среднего темпа роста ( и среднего темпа прироста) для описания динамики ряда соответствует его представлению в виде показательной или экспоненциальной кривой, проведенной через две крайние точки. Поэтому использование этого показателя в качестве обобщающего целесообразно для тех процессов, изменение динамики которых происходит примерно с постоянным темпом роста. В этом случае прогнозное значение на i шагов вперед может быть получено по формуле:

   

       Т - средний темп роста, рассчитанный для ряда y₁,y₂, ... ,y_n (не в % выражении). 

     К недостаткам среднего прироста и среднего темпа роста следует отнести то, что они учитывают лишь конечный и начальный уровни ряда, исключают влияния промежуточных уровней. Тем не менее, эти показатели имеют весьма широкую область применения, что объясняется чрезвычайной простотой их вычисления. Они могут быть использованы как приближенные, простейшие способы прогнозирования, предшествующие более глубокому количественному и качественному анализу.

   Тема 4: Сглаживание временных рядов с помощью скользящей средней.

 

     Распространенным приемом при выявлении тенденции развития является сглаживание временного ряда. Суть различных приемов сглаживания сводится к замене фактических уровней временного ряда расчетными уровнями, которые подвержены колебаниям в меньшей степени. Это способствует более четкому проявлению тенденции развития. Иногда сглаживание применяют как предварительный этап перед использованием других методов выделения тенденции

   Скользящие средние позволяют сгладить как случайные, так и периодические колебания, выявить имеющуюся тенденцию в развитии процесса, и поэтому, являются важным инструментом при фильтрации компонент временного ряда.

   Если  рассматриваемое явление носит  линейный характер, то применяется простая скользящая средняя. Алгоритм сглаживания по простой скользящей средней может быть представлен в виде следующей последовательности шагов:

      1. Определяют длину интервала сглаживания g, включающего в себя g последовательных уровней ряда (g<n). При этом надо иметь в виду, что чем шире интервал сглаживания, тем в большей степени взаимопогашаются колебания, и тенденция развития носит более плавный, сглаженный характер. Чем сильнее колебания, тем шире должен быть интервал сглаживания.

      2. Разбивают весь период наблюдений на участки, при этом интервал сглаживания как бы скользит по ряду с шагом, равным 1.

      3. Рассчитывают арифметические средние из уровней ряда, образующих каждый участок.

      4. Заменяют фактические значения ряда, стоящие в центре каждого участка, на соответствующие средние значения.

      При этом удобно брать длину интервала сглаживания g в виде нечетного числа: g=2p+1, т.к. в этом случае полученные значения скользящей средней приходятся на средний член интервала.

      Наблюдения, которые берутся для расчета среднего значения, называются активным участком сглаживания.

      При нечетном значении g все уровни активного участка могут быть представлены в виде:  ^yt-p^{, y}t-p+1^{, ... , y}t-1^{, y}t^{, y}t+1^{, ... , y}t+p-1^{, y}t+p^,

   а скользящая средняя определена по формуле: 

   

      Процедура сглаживания приводит к полному устранению периодических колебаний во временном ряду, если длина интервала сглаживания берется равной или кратной циклу, периоду колебаний.

     Для устранения сезонных колебаний желательно было бы использовать четырех- и двенадцатичленную скользящие средние, но при этом не будет выполняться условие нечетности длины интервала сглаживания. Поэтому при четном числе уровней принято первое и последнее наблюдение на активном участке брать с половинными весами:

   

     Тогда для сглаживания сезонных колебаний при работе с временными рядами квартальной или месячной динамики можно использовать следующие скользящие средние:

   

   При использовании скользящей средней с длиной активного участка g=2p+1 первые и последние p уровней ряда сгладить нельзя, их значения теряются. Очевидно, что потеря значений последних точек является существенным недостатком, т.к. для исследователя последние "свежие" данные обладают наибольшей информационной ценностью. Рассмотрим один из приемов, позволяющих восстановить потерянные значения временного ряда. Для этого необходимо:

   1.Вычислить средний прирост на последнем активном участке  y_t-p, y_t-p+1, ... , y_t, ... , y_t+p-1, y_t+p

   

  2.Получить P сглаженных значений в конце временного ряда путем последовательного прибавления среднего абсолютного прироста к последнему сглаженному значению.

      Аналогичную процедуру можно реализовать для оценивания первых уровней временного ряда.

      Метод простой скользящей средней применим, если графическое изображение динамического ряда напоминает прямую. Когда тренд выравниваемого ряда имеет изгибы, и для исследователя желательно сохранить мелкие волны, применение простой скользящей средней нецелесообразно.

      Если для процесса характерно нелинейное развитие, то простая скользящая средняя может привести к существенным искажениям. В этих случаях более надежным является использование взвешенной скользящей средней.

     При построении взвешенной скользящей средней на каждом участке сглаживания значение центрального уровня заменяется на расчетное, определяемое по формуле средней арифметической взвешенной, т.е. уровни ряда взвешивают.

     Взвешенная  скользящая средняя приписывает  каждому уровню вес, зависящий от удаления данного уровня до уровня, стоящего в середине участка сглаживания.

     При сглаживании по взвешенной скользящей средней используются полиномы второго (парабола) или третьего порядка.

     Сглаживание с помощью взвешенной скользящей средней осуществляется следующим  образом: для каждого участка  сглаживания подбирается полином  вида:

     Y_i = a_j + a₁t

   Y_i = a_o + a₁t + a₂t²+… a_pt^p

   Параметры полинома находятся по методу наименьших квадратов.

   При этом начало отсчета переносится  в середину участка сглаживания, например, если длина интервалов сглаживания = 5, то индексы уровней участка сглаживания будут равны: -2, -1, 0, 1, 2.