Дослідження виробничо–господарської діяльності підприємств статистичними методами

- Середню арифметичну;

- Середню гармонійну;

- Середню геометричну;

- Середню квадратичну.

         Одним з найпоширеніших видів середньої є середня арифметична. Її застосовують в тих випадках, коли обсяг варіаційної ознаки для всієї сукупності формується як сума значень ознаки в окремих одиниць досліджуваної сукупності. Для того щоб розрахувати середню арифметичну, потрібно скласти всі окремі варіанти (індивідуальні значення ознаки) і суму поділити на їхню кількість.

, де

- сума варіант

n – число повторень варіанти

Середня арифметична зважена  застосовується в тих випадках, коли варіююча ознака (Xi) має різну вагу (fi) у сукупності або дані згруповані. Вона визначається діленням суми зважених варіантів на суму частот

, де

   - сума варіант

 - частоти

- сума частот

Середня гармонійна - це зворотна величина середній арифметичній. Застосовується тоді, коли добуток ознаки і частот представлена одним числом.

Проста                                                                   Зважена

                                                                     

Середня геометрична - знаходиться з кореня в степені n із добутку коефіцієнтів зростання, які характеризують відношення величини кожною послідовною періоду до попереднього:

Середня квадратична - поділяється, та розраховується шляхом вилучення квадратного кореня від частки, яку отримуємо від ділення суми квадратів окремих значень ознаки на їх число:

                      Проста:                                                            Зважена:

                                                       

Окрім середніх степеневих в статистиці використовують описові  характеристики розподілу варіаційної  ознаки:

• мода;
• медіана.

Мода – це варіанта, якій відповідає найбільша частота. Застосовується при визначенні розміру одягу, взуття, які користуються найбільшим попитом у населення.

Для інтервального ряду мода обчислюється за формулою:

 

 

Медіана – це варіанта, що ділить ряд на дві рівні за чисельністю частини.

Для інтервального ряду медіана  обчислюється за формулою:

 

Показники варіації

   Середні величини  характеризують рівень однорідних  масових явищ і процесів, але  не дають ніякого уявлення  про коливання (варіації) ознаки, тому середні величини доповнюють  показниками варіації.

Визначаємо такі показники  варіації:

1 Розмах варіації.

2 Середнє лінійне відхилення.

3 Дисперсію.

4 Середнє квадратичне  відхилення.

5 Коефіцієнти варіації.

1. Розмах варіації – це різниця між найбільшим і найменшим значенням ознаки                         R=Xmax-Xmin

Цей показник характеризує межі, в яких змінюється значення ознаки.

У практиці економіко-статистичного  аналізу широко застосовують характеристики варіації, що ґрунтуються на відхиленнях  індивідуальних значень ознаки від  середньої величини Хі - Х. Оскільки  то при розрахунку такого роду характеристик використовують або модулі, або квадрати відхилень.

У результаті маємо такі характеристики варіації, як середнє  лінійне відхилення, середнє квадратичне  відхилення та дисперсію.

2. Середнє лінійне  відхилення являє собою середню абсолютних відхилень кожної ознаки від їх середньої. Причому абсолютні відхилення беруться без урахування знака (” +” чи “ - “) .

Якщо середня арифметична  відхилень є простою, то середнє  лінійне відхилення розраховують за формулою

 –    проста.

   Якщо середня арифметична  відхилень зважена, то середнє  лінійне відхилення обчислюють  за формулою

  –    зважена.

3. Дисперсія – це середній квадрат відхилень ознаки від їх середньої величини, розраховується за формулами простої і зваженої

   – проста

 – зважена

4.  Середнє квадратичне  відхилення дорівнює кореню квадратному із суми квадратів відхилень індивідуальних значень ознаки від їх середньої

 – проста;

   –  зважена.

  Розглянуті абсолютні  характеристики –  іменовані  величини (крім дисперсії) – мають  одиниці виміру варіюючої ознаки. При порівнянні варіації різних  ознак використовуються відносні  характеристики – коефіцієнти  варіації, що обчислюють як відношення  абсолютних характеристик варіації  до характеристики центру розподілу  (тобто середньої).

Коефіцієнти варіації розраховують за формулами

коефіцієнт варіації лінійний          –  ;

коефіцієнт варіації квадратичний –  ;

коефіцієнт  осциляції                       –  .

  За допомогою коефіцієнтів  варіації проводять порівняння  варіації однієї і тієї самої  ознаки в різних сукупностях.

             Залежно від виду середньої арифметичної середній квадрат відхилень і середнє       квадратичне відхилення може бути простим і зваженим за формою розрахунку.

Дані для знаходження  середніх величин

Таблиця №5

№ групи	Інтервал	Число під-в у групі,  fi	xi	xi * fi	|xі - ͞x|	|xі - ͞x| *fi	(xі - ͞x)²	(xі - ͞x)² *fi
I	9664-12391	3	11027	33081	-6135,05	-18405,15	37638838,5	112916515,5
II	12391-15117	4	13754	55016	-3408,05	-13632,2	11614804,8	46459219,21
III	15117-17844	4	16480	65920	-682,05	-2728,2	465192,202	1860768,81
IV	17844-20570	4	19207	76828	2044,95	8179,8	4181820,5	16727282,01
V	20570-23297	4	21934	87736	4771,95	19087,8	22771506,8	91086027,21
VI	23297-26024	1	24660	24660	7497,95	7497,95	56219254,2	56219254,2
Разом		20	-	343241	-	69531,1	132891417	325269067

 

   Для розрахунку показників варіації необхідно знайти середню величину, в даному випадку середню арифметичну. Наші дані згруповані, тому застосовуємо середню арифметичну зважену:

1. Ознака дана в інтервальному вигляді, тому треба знайти середину інтервалів. Інтервальний ряд переводимо в дискретний:

I    (9664+12391) / 2 = 11027

II   (12391+15117) / 2 = 13754

III   (15117+17844) / 2 = 16480

IV   (17844+20570) / 2 = 19207

V    (20570+23297) / 2 = 21934

VI   (23297+26024) / 2 = 24660

2. Знаходимо середню арифметичну. Для цьго треба знайти ∑xi*fi.

х₁* f₁ = 11027*3 = 33081 і т.д.

∑xi*fi = 343241

∑ fi = 20

͞x = 343241/ 20 = 17162,05

Знаходимо розмах варіації і середнє лінійне відхилення.

R = Xmax – Xmin = 24175 – 9664 = 14511

Так як середня арифметична  відхилень зважена, то середнє лінійне  відхилення обчислюють за формулою:

  =  69531,1 / 20 = 3476,555

3. Розрахуємо зважену дисперсію за формулою:

Для цього знаходимо 

∑(xі - x)²*fi = 325269067

D² = 325269067/ 20 = 16263453,35

4. Розраховуємо середні показники квартилі і децилі

Квартилі:

Q1 = Xн + i                        

Q2 = Me + i*                      

Q3 = Xн + i                      

Q1 = 12391+2727/((5-3)/2) = 15118

Q2 = 15117+2727/((10-5)/6) = 24207 - Me

Q3 = 17844+2727/((15-11)/4) = 20571

 

Децилі:

D1 =            D5 = 10         D9 = 18

D = Xн + i

D1 = 9664 + 2727 * (2/3) = 11482

D5 = 15117 + 2727 * (5/6) = 24207- Me

D9 = 20570 + 2727* 1= 23297

5. Розрахуємо середньоквадратичне відхилення та коефіцієнти варіації за такими формулами:

;     * 100%;     * 100%;    .

δ = √16263453,35= 4032,8

V_d = (3476,555/ 17162,05) * 100% = 20,26%

V_δ = (4032,8/ 17162,05) * 100% = 23,5%

V_R = (14511 / 17162,05) = 0,84

Дисперсійний аналіз

Усі явища і процеси суспільного життя та їхні ознаки тісно пов’язані між собою і залежать одне від одного. У сукупності виділяють взаємодіючі фактори: факторні ознаки (Х_і), які впливають на результативну ознаку (У_і). Загальну варіацію ознаки характеризує дисперсія.

Дисперсія, або середній квадрат відхилення, займає особливе місце в статистичному аналізі соціально-економічних явищ.

Для визначення впливу всіх факторів на розмір варіації потрібно розчленувати всю сукупність на групи  за формулою Стерджеса і знайти, як зміниться результативна ознака під дією факторної ознаки. Для  аналізу після групування в кожній групі обчислюється середня величина результативної ознаки, групової дисперсії, середню з групових та міжгрупову дисперсії.

Групова дисперсія результативної ознаки розраховується за формулами:

                        

Середня з групових (часткових) дисперсій - це середня арифметична, зважена з групових дисперсій:

Міжгрупова дисперсія  дорівнює середньому квадрату відхилень  групових середніх від загальної  середньої:

  де - середня кожної окремої групи;

- загальна середня всієї сукупності;

- частоти (ваги).

   Між наведеними типами дисперсій існує певне співвідношення –   „правило додавання дисперсій”: загальна дисперсія ( ) дорівнює сумі середніх з групових дисперсій ( ) та міжгрупової дисперсії ( ):

   У статистичному аналізі широко використовують показник, що виражає частку міжгрупової дисперсії в загальній дисперсії – емпіричний коефіцієнт детермінації:

   Корінь квадратний з емпіричного коефіцієнта детермінації називають емпіричним кореляційним відношенням. Його застосовують для оцінки зв’язку між групувальною і результативною ознакою:

   У нашому випадку основною ознакою буде показник „Накладні витрати”, а результативною – „Обсяг продукції”.

   Для проведення дисперсійного аналізу необхідно розрахувати відповідні дані. Обрахунки будемо проводити на основі даних первинного групування (Таб.6).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№ групи	Інтервал	№ п\п	Результативна ознака		Угр.-			-			y2
І	9664-12391	34	10198	11881,3333	-1683,33	2833611,1	1466856	6292,679	39597811,09	118793433,3	103999204
		31	12449		567,6667	322245,44					154977601
		32	12997		1115,667	1244712,1					168922009
Усього І групи		3	35644			4400568,7					427898814
ІІ	12391-15117	44	14484	15303,25	-819,25	671170,56	980549,7	9714,596	94373372,21	377493488,8	209786256
		47	14270		-1033,25	1067605,6					203632900
		35	15746		442,75	196027,56					247936516
		41	16713		1409,75	1987395,1					279324369
Усього ІІ групи		4	61213			3922198,8					940680041
ІІІ	15117-17844	42	16391	16578,5	-187,5	35156,25	299516,8	10989,85	120776711,4	483106845,8	268664881
		38	16117		-461,5	212982,25					259757689
		33	16295		-283,5	80372,25					265527025
		29	17511		932,5	869556,25					306635121
Усього ІІІ  групи		4	66314			1198067					1100584716
IV	17844-20570	43	18800	19833,25	-1033,25	1067605,6	1035632	14244,6	202908510,5	811634041,8	353440000
		30	18943		-890,25	792545,06					358837249
		45	20330		496,75	246760,56					413308900
		46	21260		1426,75	2035615,6					451987600
Усього ІV групи		4	79333			4142526,8					1577573749
V	20570-23297	48	22300	23319,75	-1019,75	1039890,1	1130321	17731,1	314391759,5	1257567038	497290000
		36	22497		-822,75	676917,56					506115009
		40	23497		177,25	31417,563					552109009
		39	24985		1665,25	2773057,6					624250225
Усього V групи		4	93279			4521282,8					2179764243
VI	23297-26024	37	24857	24857	0	0	0	19268,35	371269151,2	371269151,2	617870449
Усього VI групи		1	24857			0					617870449
Разом І-V групи		20	360640	5588,65417		18184644			1143317316	3419863999	6844372012