Анализ статистических данных

 
 

13. Экспоненциальное  сглаживание 
временного ряда 
 

   Сущность  данного метода заключается в  сглаживании исходного временного ряда с помощью взвешенной скользящей средней, в которой веса распределяются по экспоненциальному закону. Это  позволяет построить такое описание ряда, при котором более поздним  наблюдениям придаются бόльшие  веса по сравнению с ранними.

   В расчётах экспоненциальной средней предполагается задание начальных условий, которые  находятся по следующим формулам.

   Начальное значение экспоненциальной средней 1-го порядка 

.                                           (13.1) 

   Начальное значение экспоненциальной средней 2-го порядка 

.                                        (13.2) 

   Здесь  и – параметры линейного тренда (12.1), рассчитанные по формулам (12.4) и (12.5);

           – параметр (коэффициент)  сглаживания, который можно определить  из выражения  

;                                                   (13.3) 

      – число уровней наблюдаемого  временного ряда. 

   Затем находят текущие значения экспоненциальных средних 1-го и 2-го порядка для чего используют реккурентные формулы 

;                                        (13.4) 

,                                      (13.5) 

где  – -й уровень исходного временного ряда;

       и   – значения экспоненциальной средней соответственно 1-го и 2-го порядка, относящиеся к -му периоду времени (уровню) временного ряда;

       и   – значения экспоненциальной средней соответственно 1-го и 2-го порядка, относящиеся к рассчитываемому -му периоду времени (уровню) временного ряда. 

   Результаты  расчёта экспоненциальных средних  занесите в табл. 13.1.

   На  одном рисунке изобразите вместе

   1)  линейную диаграмму исходного  временного ряда  ;

   2)  временной ряд, сглаженный методом скользящей средней ;

   3) временной ряд, сглаженный методом  экспоненциальной средней 1-го  порядка  ;

   4) временной ряд, сглаженный методом  экспоненциальной средней 2-го  порядка  .

      При построении графиков по оси абсцисс  откладывайте время (годы), а по оси  ординат – значения , , и . Проанализируйте полученные результаты. 

Таблица 13.1 
 
 

Результаты  сглаживания временного ряда 

методом экспоненциальной средней

 

14. Прогнозирование   временного ряда 
на основе экспоненциального сглаживания 
 

   При экспоненциальном сглаживании существует возможность  построения прогнозных оценок  уровней временного ряда. Для этого строится прогнозный линейный тренд 

,                                          (14.1) 

где  – период упреждения или срок, на который осуществляется прогноз. 

   В настоящей  работе предлагается построить прогноз  на 1 год, т. е. период упреждения принимается равным  год. Параметры и уравнения (14.1) находятся из выражений 

;                                         (14.2)

,

,                                       (14.3)

, 
 

где  и – соответственно экспоненциальные средние 1-го и 2-го порядка, относящиеся к последнему -му году наблюдаемого периода;

 – параметр сглаживания.  

   Рекомендуемая величина  параметра сглаживания  находится в диапазоне  .

   Если  необходимо придать бóльший вес  последним данным, то значение выбирается близким к единице. В этом случае значительный вклад в формирование тренда оказывают последние по времени наблюдения.

   Если  необходимо учесть значительную часть  имеющихся данных, то берутся небольшие  значения коэффициента сглаживания.

   Параметр  сглаживания можно также определить по формуле (13.3).

   Результаты  расчёта параметров и , а также прогнозного значения уровня временного ряда (урожайности) для момента времени (для следующего за наблюдаемым периодом года) свести в табл. 14.1.

   Сравните  прогнозное значение уровня временного ряда с фактическим (узнать у преподавателя).

   Определите  абсолютную и относительную ошибки прогноза по формулам 

=6,3                                          (14.4) 

  (%)=1,11                                 (14.5)  

   Сделайте  вывод относительно полученного  результата краткосрочного прогнозирования  урожайности. 

Таблица 14.1 

Определение прогнозного значения урожайности 

 

15. Количественная оценка  риска

        Под риском обычно понимают возможность наступления одного или нескольких случайных событий, являющихся причиной отклонения полученного результата от ожидаемого значения.

   При традиционном подходе к измерению  риска используются показатели вариации (дисперсия, среднеквадратическое отклонение и коэффициент вариации), которые  характеризуют рассеяние наблюдаемого статистического показателя вокруг своего среднего значения. Чем больше величина показателя вариации, тем  выше рассеяние и больше риск.

     Оцените риск изучаемого экономического  показателя, в нашем случае риск  неурожайности  , с помощью коэффициента вариации . Для расчёта последнего воспользуйтесь формулой

    

,                                         (15.1)

 

где  и – соответственно выборочное среднее и среднеквадратическое отклонение урожайности. 

   Выборочное  среднее для урожайности определяется по формуле (3.1), а среднеквадратическое отклонение равно 

,                                              (15.2) 

где  – дисперсия урожайности, для нахождения которой используется выражение (3.2).

   Рассчитайте значение коэффициента вариации урожайности  для последних четырёх лет, используя  сведения об урожайности предыдущих, относительно рассматриваемого периода,  пяти лет (объём выборки  лет).

   Возьмём, например, 2007 год. Для него коэффициент  вариации (уровень риска) 

  

(%). 

   Выборочное  среднее урожайности за предшествующий пятилетний период

.

      Выборочное  среднеквадратическое отклонение урожайности  за тот же период 
 

 . 

   В этих расчётах лет – объём используемой выборки, а – урожайность отдельного года. В нашем примере пятилетний период это 2002, 2003, 2004, 2005 и 2006 годы.

      Аналогично  следует рассчитать уровень риска (коэффициент вариации) для 2006, 2005 и 2004 годов. 

   Результаты  расчётов занесите в табл. 15.1. 

Таблица 15.1

Расчёт  уровня риска неурожайности

 
 

   Постройте  график (линейную диаграмму) изменения  уровня риска (коэффициента вариации) за последние четыре года.

      Проанализируйте полученный результат.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Диаграмма  накопленных частот 
 

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Гистограмма  выборки 

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Линейная диаграмма временного ряда