Анализ статистических данных

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      Примечание. В дальнейших расчётах, если не будет других указаний, необходимо пользоваться полученными в результате выравнивания уточнёнными выборочными значениями средней, среднеквадратического отклонения и дисперсии.  
 

7. Построение и анализ  корреляционной функции 
ряда распределения 

Величина урожайности  для каждого года является случайной величиной. Значения , рассматриваемые в течение нескольких лет, образуют последовательность случайных величин (случайную функцию, или случайный процесс) . Между любыми двумя случайными величинами из этой последовательности может существовать связь. Для характеристики такой связи служит корреляционная функция .

      Предположим, что урожайность является стационарным и эргодическим случайным процессом. В этом случае, любая реализация урожайности достаточно большой  продолжительности может служить  опытным материалом для получения  её статистических характеристик.

Корреляционная  функция урожайности как стационарного  случайного процесса не зависит от положения первого из рассматриваемых  двух периодов времени. Она является функцией промежутка между ними, т.е. .

Среднее значение корреляционной функции  для каждого может быть получено с помощью формулы 

,                                     (7.1) 

где – оценка (среднее значение) корреляционной функции ;

     и   – центрированные случайные величины соответственно для периодов времени и , ;

        – длина рассматриваемого  интервала времени;

     год – величина шага;

     – число шагов ( );

     – выборочное среднее случайной  величины  ;

        – объём выборки. 

      В формуле (7.1) средняя величина корреляционной функции рассчитывается для каждого  значения в промежутке времени , так как функции и известны вместе только в этом интервале.

      Своё  максимальное значение корреляционная функция (7.1) принимает при   

 

          

,       (7.2) 

где – дисперсия случайной величины .

      Разделив  на своё максимальное значение , получим нормированную корреляционную функцию (коэффициент корреляции)  

.                                                  (7.3) 

      Формулой (7.1) рекомендуется пользоваться при  (где – интервал наблюдения случайной величины ).

      При более высоких значениях  расчётные величины получаются осреднением сравнительно небольшого числа данных. Поэтому их нельзя считать надёжными – погрешность оценки корреляционной функции по формуле (7.1) существенно возрастает.

   При некоторых  значения корреляционной функции могут оказаться отрицательными. Это указывает на то, что в структуре случайной функции наблюдается элемент периодичности.

   В данном случае для выравнивания эмпирических данных может быть выбрана теоретическая корреляционная функция вида 

,                                (7.4) 

где и – параметры, подлежащие подбору.  

         Определить величину и можно методом наименьших квадратов. Для этого задаются диапазоном изменения параметров. Затем для каждого значения одного из них, например , находят сумму квадратов отклонений  расчётных значений от значений, определённых по теоретической зависимости (7.4) 

.                             (7.5) 

   Величина  при заданном является функцией параметра . Для каждой совокупности значений рассчитывают . Искомыми будет та пара значений и , для которой выполняется условие 

min.                                                (7.6)       

   В курсовой работе выравнивание эмпирических значений нормированной корреляционной функции  выполняется с помощью компьютерной программы «Stat 2» (предоставляется преподавателем).

   Рекомендуется следующий порядок расчёта и  построения теоретической нормированной  корреляционной функции  .

   1. Определить отсутствующие данные об урожайности за какие-либо годы рассматриваемого периода, например методом линейной интерполяции. Метод предполагает, что отсутствующие значения урожайности лежат на прямой, соединяющей предыдущее и последующее известные значения урожайности.

   2. Произвести расчёт эмпирической корреляционной функции по формуле (7.1).

   Так, при   

                            =  

   При  

=    -4,47 

   При  

= 0,65

 

и т.д., пока не достигнет величин .  

  Результаты  расчёта занесите в табл. 7.1. 

1. Определить  значения нормированной  эмпирической корреляционной функции согласно выражению (7.3) и также занесите в табл. 7.1.
2. На рисунке  изобразить точки (не соединяя их между собой), соответствующие расчётным значениям нормированной эмпирической корреляционной функции (рис. 7.1).
3. Провести выравнивание экспериментальных данных нормированной эмпирической корреляционной функции с помощью теоретической функции (7.4). Для этого необходимо воспользоваться компьютерной программой «Stat 2». В качестве исходных данных в программу введите то количество расчётных значений эмпирической корреляционной функции , которое удовлетворяет условию . Полученные в результате расчёта параметры и , а также значения аргумента и теоретической нормированной корреляционной функции занесите в табл. 7.2.
4. На рисунке, где изображены точки эмпирической корреляционной функции , построить кривую корреляционной функции . Для этого изобразите рассчитанные с помощью вычислительной программы значения функции и соедините их плавной линией (см. рис. 7.1).

 

   Указание. Исследуйте поведение теоретической нормированной корреляционной функции .