Анализ статистических данных

      2. Фактическое значение F-критерия Фишера больше табличного . В этом случае в сравниваемых частях ряда дисперсии существенно различаются, и для проверки равенства средних уровней и расчёт t-критерия Стьюдента проводится по формуле 

.                                               (10.5) 

            Полученное по формуле (10.5) фактическое значение критерия Стьюдента сравнивается с табличным (см. приложение 2) при числе степеней свободы, равном 

.                                   (10.6) 

      Если  фактическое значение t-критерия Стьюдента , вычисленное по формуле (10.5), меньше табличного (см. приложение 2), найденного при уровне значимости , то различия между средними уровнями и следует признать несущественными.

      Результаты  расчётов оформите в виде табл. 10.1. 

Таблица 10.1

Данные  для проверки гипотезы о постоянстве  среднего уровня

временного  ряда

 

   Проанализируйте полученные результаты. 

   Замечание. Стационарный временной ряд, для которого вероятностное осреднение по множеству всех возможных реализаций можно заменить осреднением по времени одной, но достаточно продолжительной реализации, называют эргодическим. 

   Суждение  о стационарности и эргодичности изучаемого в курсовой работе временного ряда можно сделать и на основе изучения  поведения теоретической  нормированной корреляционной функции  (см. раздел 7). Если выравненная нормированная корреляционной функции имеет явную тенденцию стремиться к нулю с ростом : при , то предположение об эргодичности, а значит и стационарности, временного ряда является правильным.

   Исследуйте  вид корреляционной функции  (см. раздел 7)  и сделайте вывод относительно эргодичности урожайности (функции ). 
 

11. Сглаживание временного  ряда 
методом скользящей средней 
 

   В курсовой работе операцию сглаживания предлагается использовать для устранения случайных  отклонений экспериментальных значений исходного временного ряда .

   При сглаживании  по методу скользящей средней фактические уровни временного ряда необходимо заменить средними уровнями, рассчитанными для последовательно подвижных интервалов.

   Так, например, при сглаживании с помощью  трёхчленной средней по значениям  первых трёх уровней  и рассчитывается средняя (сглаженная) величина для уровня  

.                                           (11.1)      

   Затем по следующей тройке уровней  и находится средняя величина для уровня  

                                           (11.2)

и т. д.

   Крайние точки ряда и сглаживают по специальным формулам. Для уровня сглаженное значение равно 

                            .                                    (11.3) 

   Для  уровня сглаженное значение находится по формуле 

                        

,                             (11.4)

где    и   – уровни в начале и в конце исходного ряда;

        и – уровни сглаженного ряда в крайней левой ( ) и крайней правой ( ) точках исходного ряда соответственно. 

      Результаты  расчёта сглаженных значений временного ряда занесите в таблицу 11.1. 

   Примечание. Если временной ряд представлен не полностью, то недостающие данные необходимо определить, например, методом линейной интерполяции. 

   Изобразите  сглаженный с помощью трёхчленной  скользящей средней временной ряд  на рисунке, где ранее была построена  линейная диаграмма исходного ряда динамики (см. раздел 8).  

Таблица 11.1 
 

Результаты  сглаживания временного ряда методом скользящей средней

 
 
 
 
 

12. Аналитическое выравнивание  временного ряда 
с помощью линейной функции 

Для получения  математической модели, выражающей общую  тенденцию (тренд) изменения уровней  временного ряда, проводят его аналитическое выравнивание.

   Суть  выравнивания заключается в замене сглаженных уровней ряда уровнями, вычисленными на основе определённой аппроксимирующей функции. При выборе аппроксимирующей функции часто  прибегают к анализу графического изображения сглаженного временного ряда.

   Рассмотрим  выравнивание сглаженного с помощью  трёхчленной скользящей средней  временного ряда линейной функцией (линейным трендом) 

,                                                (12.1) 

где  – выровненные уровни временного ряда;

     – порядковый номер периода времени (фактор времени).

   Параметры и тренда (12.1) рассчитываются по методу наименьших квадратов. МНК позволяет определить параметры модели (12.1), при которых минимизируется сумма квадратов отклонений выровненных уровней от уровней сглаженного временного ряда  

.                                       (12.2) 

   Поиск параметров уравнения (12.1) упростится, если отсчёт времени производить так, чтобы сумма факторов времени временного ряда удовлетворяла условию 

.                                                 (12.3) 

   При нечётном числе уровней ряда для выполнения условия (12.3) уровень, находящийся в  середине ряда принимается за условное начало отсчёта – ему присваивается нулевое значение . Более ранние от начала отсчёта периоды времени обозначаются натуральными числами со знаком минус: , а более поздние – натуральными числами со знаком плюс:  .

   Если  число уровней временного ряда чётное, то нулевое значение фактора времени  отсутствует. В этом случае периоды времени, относящиеся к середине ряда, имеют номера и . Более ранние значения фактора времени ряда  нумеруются , а более поздние и т.д. 

   Тогда, при выполнении условия (12.3) параметры  уравнения (12.1) находятся по формулам 

          =11,12                                     (12.4)

    

=0,3                                           (12.5)

     

где  – уровни сглаженного временного ряда.  

      Среднюю ошибку аппроксимации  временного ряда линейным трендом можно определить как величину среднеквадратического отклонения выровненных уровней ряда от сглаженных 

=1,88                                         (12.6) 

где и – соответственно выровненные и сглаженные уровни временного ряда. 

      Результаты  расчётов  сведите  в  таблицу 12.1.

      На  рисунке, где изображены вместе линейная диаграмма исходного временного ряда и временной ряд, сглаженный методом скользящей средней, постройте  график линейного тренда (12.1). 

      Указание. Проанализируйте полученные результаты. 

Таблица 12.1 
 
 

Результаты  выравнивания временного ряда

с помощью линейной функции