Анализ рядов динамики в статистики

      

Формулы расчета  по скользящей средней, в частности, следующим образом:

      

для трехчленной 

 

      

для пятичленной

      

Третий метод – метод аналитического выравнивания, под которым понимается определение основной проявляющейся во времени тенденции развития изучаемого явления. Развитие предстает как бы в зависимости только от течения времени. В итоге выравнивания временного ряда получают наиболее общий, суммарный, проявляющейся во времени результат действия всех причинных факторов. Отклонение конкретных уровней ряда от уровней, соответствующих общей тенденции, объясняют действием факторов, проявляющихся случайно или циклически. В результате приходят к трендовой модели:

    

у_t = f(t) +

e

_t ,

      

где f(t) – уровень, определяемый, тенденцией развития;

      

e

_t – случайное или циклическое отклонение от тенденции.

      

Целью аналитического выравнивания динамического ряда является определение аналитической или графической зависимости  f(t). На практике по имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции f(t), а затем анализируют поведение отклонений от тенденции. Функцию f(t) выбирают таким образом, чтобы она давала содержательное явление изучаемого процесса. Чаще всего при выравнивании используются следующие зависимости:

      

линейная

      

f(t) = а₀ + а₁t

      

- выбирается  в тех случаях, когда в исходном  временном ряду наблюдается более  или менее постоянные абсолютные  цепные приросты, не проявляющие  тенденции ни к увеличению, ни к снижению;

      

параболическая

      

f(t) = а₀ + а₁t + а₂t²

      

- используется, если абсолютные цепные приросты сами по себе обнаруживают некоторую тенденцию развития, но абсолютные цепные приросты абсолютных цепных приростов (разности второго порядка) никакой тенденции развития не проявляют;

      

экспоненциальные

      

f (t) = ехр (а₀ + а₁t)

      

или f (t) = ехр (а₀ + а₁t + а₂t²)

      

- применяются,  если в исходном временном  ряду наблюдается либо более  или менее постоянный относительный  рост (устойчивость цепных темпов роста, темпов прироста, коэффициентов роста), либо (при отсутствии такого постоянства) устойчивость в изменении показателей относительного роста (цепных темпов роста цепных же темпов роста, цепных коэффициентов роста цепных же  коэффициентов или темпов роста и т.п.).

      

Оценка параметров (а₀, а₁, а_2, …) осуществляется следующими методами:

• методом избранных точек;
• методом наименьших расстояний;
• методом наименьших квадратов.

      

В большинстве  расчетов используют методом наименьших квадратов, который обеспечивает наименьшую сумму квадратов отклонений фактических уровней от выровненных:

      

min

å

(y_t - f(t))² .

      

Для линейной зависимости  (f(t) = а₀ + а₁t) параметр а₀ обычно интерпретации не имеет, но иногда его рассматривают как обобщенный начальный уровень ряда; а₁ – сила связи, т.е. параметр, показывающий, на сколько изменяется результат при изменении времени на единицу.

      

Таким образом, а₁ можно представить как постоянный теоретический абсолютный прирост.

      

В качестве примера  рассмотрим число зарегистрированных браков на 1000 жителей России за 1991-2004 гг.

    

Таблица 12

      

Число зарегистрированных браков на 1000 жителей  России за 1991-2004 гг.

 

    

å

- итого

    

å

y = 141,8

    

å

t = 0 

    

`

у₁

×

  t₁ = 11.2 * - 13 = - 145.6

    

`

у₂

×

  t₂ = 10.9 * - 11 =  - 119.9

    

`

у₃

×

  t₃ = 10.7 * - 9 = - 96.3

    

`

у₄

×

  t₄  = 10,6 * - 7= -74,2

    

`

у₅

×

  t₅ = 10,6 * -5 = - 53,2

    

`

у₆

×

  t₆ = 10,4 *- 3= - 21,2

    

`

у₇

×

  t₇ = 10,4 * - 1= - 10,4

    

`

у₈

×

  t₈ = 9,6 * 1 = 9,6

    

`

у₉

×

  t₉ = 9,7 * 3 = 29,1

    

`

у₁₀

×

  t₁₀ = 9,8 * 5 = 49,0

    

`

у₁₁

×

  t_{1 1}  = 9,9 * 7 = 69,3

    

`

у₁₂

×

  t₁₂ = 9,5 * 9 = 85,5

    

`

у₁₃

×

  t₁₃ = 9,4 * 11 = 103,4

    

`

у₁₄

×

  t₁₄ = 9,1 * 13 = 118,3 

    

å

 y

×

 t = - 66,4 

       ( t₁  ) ² = (-13) ² = 169

    

( t₂  ) ² = (-11) ² = 121

    

( t₃  ) ² = (-9) ² = 81

        ( t₄  ) ² = (-7) ² = 49

    

( t₅  ) ² = (-5) ² = 25

    

( t₆  ) ² = (-3) ² = 9

    

( t₇  ) ² = (-1) ² = 1

    

( t₈  ) ² = (1) ² = 1

    

( t₉  ) ² = (3) ² = 9

    

( t₁₀  ) ² = (5) ² = 25

    

( t₁₁ ) ² = (7) ² = 49

    

( t₁₂ ) ² = (9) ² = 81

    

( t₁₃ ) ² = (11) ² = 121

    

( t₁₄ ) ² = (13) ² = 169

    

å

t² = 910

      

Выравнивание  проведено по линейной трендовой  модели.

    

Оценка уравнения  выполнена методом наименьших квадратов. 

    

f(t) = а₀ + а₁t