Сетевое планирование и управление

 

     Через работу (1,4) проходят семь полных путей:

L₁   0 1 4 6 7 10 11                    39 

L₂   0 1 4 6 8 9 10 11             48

L₃   0 1 4 6 8 9 11                      46             Продолжительность,

L₄   0 1 4 6 9 10 11                    49                  сутки

L₅   0 1 4 6 9 11                             47

L₆   0 1 4 6 10 11                           35

L₇   0 1 4 7 10 11                            40

     Отсюда, максимальным из путей, проходящих через  работу (1,4), является путь L₄ продолжительностью 49 (суток), резерв времени которого R(L₄)=61-49=12 (cуток).

     Как видим, полный резерв времени работы (1,4) оказался равным резерву пути L₄ – максимального из путей, проходящих через эту работу.  Если увеличить продолжительность выполнения работы t(1,4) на 12 суток, то есть с 6 до 18 суток, то полностью будет исчерпан резерв времени пути L₄, то есть этот путь станет также критическим, а резервы времени других путей уменьшатся соответственно на 12 суток.

     Частный резерв времени работы (1,4) первого  вида: R₁(1,4)=t(4) – t(1)-t(1,4)= 26-9-6=11(суток) или R₁ (1,4) = R(1,4)-R(1)=12-1=11 (суток), то есть при сохранении общего срока выполнения проекта на 11 суток может быть задержано выполнение работы (1,4) и последующих работ без затрат резерва времени предшествующих ей работ (в данном случае без затрат резерва времени одной предшествующей работы (0,1)).

     Частный резерв времени второго вида, или свободный резерв времени, работы (1,4): R_c(1,4) = t(4)-t(1)-t(1,4) = 23-8-6=9 (суток) или R_c(1,4) = R_g(1,4)-R(1)=12-3=9 (cуток), то есть при сохранении общего срока выполнения проекта на 9 суток может быть задержано выполнение работы (1,4) и предшествующих ей работ – в данном случае работы (0,1) – без нарушения резерва времени последующих работ.

     Независимый резерв времени работы (1,4): R_н(1,4)=t_р(4) – t_п(1) – t(1,4) = 23-9-6=8 (суток) или R_н(1,4)=R_п(1,4)-R(1)- R(4) = 12-1-3=8 (суток), то есть на 8 суток может быть увеличена продолжительность работы (1,4) без изменения резервов времени всех остальных работ.

     Независимые резервы работ (1,2),(2,7) и (4,7) отрицательны, например, R_н(2,7)=t_р(7)-t_п(2)-t(2,7) = 33 – 40 - 3= -10. Это означает, что работа (2,7) продолжительностью 3 (суток) должна закончиться на 33-и сутки после начала комплекса работ, а начаться на 40-е сутки, что невозможно.

     Резервы критических работ (0,3),(3,5),(5,6),(6,9),(9,10),(10,11), так же, как и резервы критических событий, равны нулю. 

     3.4 Оценка вероятности выполнения проекта в срок 

     Необходимо  оценить вероятность выполнения проекта в срок Т = 63 суткам, если дисперсии продолжительности работ критического пути равны: σ²(0,3) = 2,5; σ²(3,5) = 2,1; σ²(5,6) = 3,2; σ²(6,9) = 4,0; σ²(9,10) = 1,5; σ²(10,11) = 3,5.

     Найдем  σ_кр= = .

     Теперь  искомая вероятность (значения Ф(0,49) и z_0,95=1,96 определяем по таблице значений функции Лапласа):

     Р(t_кр≤63)= + Ф( )= + Ф(0,49)=0,5+0,5*0,376=0,688 0,69, то есть можно с известным риском предполагать выполнение проекта в срок.

     Для решения обратной задачи необходимо оценить максимально возможный срок выполнения проекта с надежностью β=0,95:

     Т = 61+z_0,95*4,1=61+1,96*4,1 69, то есть с надежностью 0,95 срок выполнения проекта не превысит 69 суток. 

     3.5 Частная оптимизация заданного сетевого графика 

     Проведем  частную оптимизацию заданного  на рисунке 6 сетевого графика. Граничные значения продолжительности работ a(i,j) и b(i,j), их стоимости c(i,j), коэффициенты затрат на ускорение работ h(i,j) известны.

     Свободные резервы времени работ R_c(i,j) были вычислены ранее, их ненулевые значения заданы в таблице 4.

     Стоимость первоначального варианта сетевого графика или плана равна сумме  стоимостей всех работ (включая работы, не имеющие резервов):

     С=694+50+45+82+55+72+30+26+75+42+35+10=1216 (усл. руб.).

     Таблица 4 – Данные для частной оптимизации  сетевого графика

(i,j)	Продолжительность работы, в сутки			Свободный резерв времени работы, сутки, Rc(i,j)	Стоимость работы с(i,j)	Коэф-т  затрат на ускорение работы. h(i,j)	Уменьшение  стоимости проекта, усл. руб. ∆С(i,j)
	a(i,j)	t(i,j)	b(i,j)
(0,5) (1,4) (1,3) (2,7) (3,6) (4,7) (4,6) (5,8) (5,9) (6,10) (7,10) (8,9) (9,11)	5 4 3 2 4 3 1 5 3 2 1 2 11	9 6 4 3 6 8 3 10 6 5 5 4 17	14 10 6 7 9 14 6 18 12 10 15 8 23	11 9 1 13 10 2 3 7 16 14 10 1 2	60 28 37 86 92 48 64 15 86 44 74 20 40	8 4 12 6 10 5 12 1 7 5 4 3 4	5*8=40 4*4=16 1*12=12 4*6=24 3*10=30 2*5=10 3*12=36 7*1=7 6*7=42 5*5=25 10*4=40 1*3=3 2*4=8
Итого					694		293

     В таблице представлены параметры  лишь тех работ, которые имеют  свободный резерв времени, стоимости остальных работ: c(0,1)=50; c(0,3)=45; c(1,2)=82; c(3,4)=55; c(3,5)=72; c(5,6)=30; c(6,7)=26; c(6,9)=75; c(6,8)=42; c(9,10)=35; c(10,11)=10 (усл. руб.).

     Стоимость нового плана равна С-∆С = 1216-293=923 (усл. руб.), то есть уменьшилась почти на 25 %.  Новый оптимизированный сетевой график представлен на рисунке 7. Появились новые критические пути длиной t_кр=61 (сутки), например:

1) 0 1 3 4 7 10 11;

2) 0 3 5 8 9 11;

3) 0 1 3 4 6 7 10 11;

4) 0 3 5 6 8 9 11 и т.д.

     Итак, в результате оптимизации сети, позволяющему выполнить комплекс работ в срок t_кр=61 (сутки) при минимальной его стоимости С=923 (усл. руб.). 

     

Рисунок 7- Оптимизированный сетевой график. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Заключение 

     В настоящее время сетевое планирование играет большую роль. Методы сетевого планирования могут широко и успешно применяются для оптимизации планирования и управления сложными разветвленными комплексами работ, которые требуют участия большого числа исполнителей и затрат ограниченных ресурсов.

     Следует отметить, что сетевое планирование представляет собой метод управления, основывающийся на использовании математического  аппарата теории графов и системного подхода для отображения и  алгоритмизации комплексов взаимосвязанных работ, действий или мероприятий для достижения четко поставленной цели; главной целью сетевого планирования является сокращение до минимума продолжительности проекта.

     При создании сетевого графика в основе построения сети лежат понятия "работа", "событие" и "путь".

     В настоящее время происходит расширение методов и приемов использования  сетевых методов.

     Итак, сетевая модель позволяет:

     · четко представить структуру  комплекса работ, выявить с любой  степенью детализации их этапы и  взаимосвязь;

     · составить обоснованный план выполнения комплекса работ, более эффективно по заданному критерию использовать ресурсы;

     · проводить многовариантный анализ разных решений с целью улучшения  плана;

     · использовать для обработки больших  массивов информации компьютеры и компьютерные системы. 
 
 
 

Список  литературы 

     1) Гармаш А.Н. , Федосеев В.В. Экономико-математические методы и прикладные модели. –М.: Юнити, 2002. – с.391 с.

     2) Ермакова В.И. Общий курс высшей математики для экономистов. – М.: ИНФРА – М, 2000. – 656с.

     3) Миненко С. Н., Казаков О. Л. Экономико-математическое моделирование производственных систем: Учебное пособие.- М.: ГИНФО, 2002 г.- 136 с.

     4) Миненко С. Н., Казаков О. Л., Подзорова В. Н. Экономико-математическое моделирование производственных систем: Учебно-методическое пособие.- М.: ГИНФО, 2002 г.- 128 с.

     5) Коробейников О.П., Хавин Д.В.,  Ноздрин  В.В. Экономика предприятия. Учебное пособие. - Нижний Новгород, 2003. – 233 с.     

     6) Кремер Н.Ш. исследование операций в экономике: учебное пособие – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Издательство Юрайт; ИД Юрайт, 2011.- 430с. 

     7) Шелобаев С.И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе: Учеб. пособие для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 367 с.