Сетевое планирование и управление

 

     2.1.1 Критический путь через параметры событий 

     Событие не может наступить прежде, чем  совершаться все предыдущие работы. Поэтому ранний срок t_р(i) совершения i-го события определяется продолжительностью максимального пути, предшествующего этому событию:

     t_р(i) = maxt(L_пi),

где L_пi - любой путь, предшествующий i–му событию, то есть путь  от исходного до i-го события в сети.

     Если  событие j имеет несколько предшествующих путей, а следовательно, несколько предшествующих событий i, то ранний срок свершения события j удобно находить по формуле:

     t_р(j) = max [t_р(i)+t(i,j)].

     Задержка  свершения события i по отношению к своему раннему сроку не отразится на сроке свершения завершающего события (а значит, и на сроке выполнения комплекса работ), до тех пор, пока сумма срока свершения этого события и продолжительности (длины) максимального из последующих за ним путей не превысит длины критического пути.[6, c.328]

     Поэтому поздний (или предельный) срок t_п (i) совершения i – го события равен:

     t_п(i) = t_кр – maxt(L_ci),

где L_ci - любой путь, следующий за i-м событием, т.е. путь от i-го до завершающего события сети.

     Если  событие i имеет несколько последующих путей, а следовательно, несколько последующих событий j, то поздний срок свершения события i удобно находить по формуле:

     t_п(i) = min[t_п(j) - t(i, j)].

     Резерв  времени R(i) i–го события определяется как разность между поздним и ранним сроками его свершения:

     R(i) = [t_п(i) – t_р(i)].

     Резерв  времени события показывает, на какой  допустимый период времени можно  задержать наступление этого  события, не вызывая при этом увеличения срока выполнения комплекса работ.

     Критические события резервов времени не имеют, так как любая задержка в свершении  события, лежащего на критическом пути, вызовет такую же задержку в свершении  завершающего события.

     Таким образом, для того чтобы определить длину и топологию критического пути, не нужно перебирать все полные пути сетевого графика и определять их длины. Определив ранний срок наступления завершающего события сети, мы тем самым определяем длину критического пути, а выявив события с нулевыми резервами времени, определяем его топологию.

     Если  сетевой график имеет единственный критический путь, то этот путь проходит через все критические события, то есть события с нулевыми резервами  времени.  Если критических путей  несколько, то выявление их с помощью критических событий может быть затруднено, так как через часть критических путей могут проходить как критические, так и не критические пути.  В этом случае для определения критических путей рекомендуется использовать критические работы. [6, c. 329] 

     2.1.2 Критический путь через параметры работы

     Отдельная работа может начаться (и окончиться) в ранние, поздние или другие промежуточные  сроки. В дальнейшем при оптимизации сетевого графика, возможно любое размещение работы в заданном интервале.

     Очевидно, что ранний срок t_рн(i,j)начала работы (i,j) совпадает с ранним сроком наступления начального (предшествующего) события i:

     t_рн(i,j) = t_р(i).

     Тогда ранний срок t(i,j) окончания работы (i,j) определяется по формуле:

     t_ро(i,j)= t_р(i)+t(i,j).

     Ни  одна работе не может окончиться позже  допустимого позднего срока своего конечного события. Поэтому поздний  срок t_по(i,j) окончания работы (i,j) определяется соотношением:

       t_по(i,j) =t_н(j),

     а поздний срок t_пн(i,j) начала этой работы – соотношением:

     t_пн(i,j) = t_н(j) - t(i,j).

     Таким образом, в рамках сетевой модели моменты начала и окончания работы тесно связаны с соседними  событиями ограничениями.

     Все некритические пути имеют резерв времени пути.

     Резерв  времени пути определяется как разность между длиной критического и рассматриваемого пути:

     R(L) = t_кр- t(L).

     Он  показывает, насколько в сумме могут быть увеличены продолжительности всех работ, принадлежащих этому пути. Если затянуть выполнение работ, лежащих на этом пути, на время большее, чем R(L), то критический путь переместиться на путь L.

       Отсюда можно сделать вывод,  что любая из работ пути  L на его участке, не совпадающем с критическим путем (замкнутым между двумя событиями критического пути), обладает резервом времени.

     Среди резервов времени работ выделяют 4 разновидности.

     1) Полный резерв времени работы  (i,j) показывает, насколько можно увеличить время выполнения данной работы при условии, что срок выполнения комплекса работ не изменится. Полный резерв R(i, j) определяется по формуле:

     R_п(i,j) = t_п(j) – t_р(i) - t(i,j).

     Полный  резерв времени работы равен резерву  максимального из путей, проходящих через данную работу. Этим резервом можно располагать при выполнении данной работы, если её начальное событие  свершится в самый ранний срок, и можно допустить свершение конечного события в его самый поздний срок (рис. 5,а).

     Важным  свойством полного резерва времени  работы является то, что он принадлежит  не только этой работе, но и всем полным путям, проходящим через неё. При  использовании полного резерва времени только для одной работы резервы времени остальных работ, лежащих на максимальном пути, проходящем через неё , будут полностью исчерпаны. Резерв времени работ, лежащих на других (не максимальных по длительности) путях, проходящих через эту работу, сократятся соответственно на величину использованного резерва.

     Остальные резервы времени работы являются частями её полного резерва.

     Частный резерв времени первого вида R₁ работы (i,j) есть часть полного резерва времени, на которую можно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом позднего срока её начального события. Этим резервом можно располагать при выполнении данной работы в предположении, что её начальное и конечное события свершаются в свои самые поздние сроки (рис. 5, б). R₁ находится по формуле:

     R₁(i,j) = t_п(j) – t_п(i) – t(i,j),

     R₁(i,j) = R_п (i,j) – R(i).

     

     Рисунок 5 – Резервы времени работы.

     Частный резерв времени второго вида, иди  свободный резерв времени R_c работы (i,j), представляет часть полного резерва времени, на которую модно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом раннего срока её конечного события. Эти резервом можно располагать при выполнении данной работы в предположении, что её начальное и конечное события свершаться в свои самые ранние сроки (рис. 5,в). R_c находится по формуле:

     R_c(i,j) = t_р(j) – t_р(i) – t(i,j),

     R_с(i,j) = R_п (i,j) – R(i).

     Свободным резервом времени можно пользоваться для предотвращения случайностей, которые могут возникнуть в ходе выполнения работ. Если планировать выполнение работ по ранним срокам их начала и окончания, то всегда будет возможность при необходимости перейти на поздние сроки начала и окончания работ.

     Независимый резерв времени R_н работы (i,j) – часть полного резерва времени, получаемая для случая, когда все предшествующие работы заканчиваются в поздние сроки, а все последующие работы начинаются в ранние сроки (рис. 5, г),

     R_н(i,j) = t_р(j) – t_п(i) – t(i,j),

     или

     R_н(i,j) = R_п (i,j) – R(i).

     Использование независимого резерва времени не влияет на величину резервов времени других работ. Независимые резервы стремятся использовать тогда, когда окончание предыдущей работы произошло в поздний допустимый срок, а последующие работы хотят выполнить в ранние сроки. Если величина независимого резерва равно нулю или положительна, то такая возможность есть. Если же величина R_н(i,j) отрицательна, то этой возможности нет, так как предыдущая работа ещё не окончательна, а последующая уже должна начаться. Поэтому отрицательное значение R_н(i,j) не имеет реального смысла. А фактически независимый резерв имеют лишь те работы, которые не лежат на максимальных путях, проходящих через их начальные и конечные события.

     Следует отметить, что резервы времени  работы (i,j), показанные на рисунке 5, могут состоять из двух временных отрезков, если интервал продолжительности работы t(i,j) занимает промежуточную позицию между двумя его крайними положениями, изображенными на графиках.

     Таким образом, если частный резерв времени  первого вида может быть использован  на увеличение продолжительности данной и последующих работ без затрат резерва времени предшествующих работ, а свободный резерв времени – на увеличение продолжительности данной и предшествующих работ без нарушения резерва времени последующих работ, то независимый резерв времени может быть использован для увеличения продолжительности только данной работы.

     Работы, лежащие на критическом пути, так  же, как и критические события, резервов времени не имеют.

     Если  на критическом пути лежит начальное  событие i, то

     R_п(i,j) =R₁(i,j).

     Если  на критическом пути лежит конечное событие j, то

     R_п(i,j) =R_с(i,j).

     Если  на критическом пути лежат начальное  и конечное события i и j, но сама работа не принадлежит этому пути, то

     R_п(i,j) =R₁(i,j)=R_с(i,j) =R_н(i,j).

     Данное  соотношение можно использовать при проверке правильности расчетов резервов времени отдельных работ. [6, c. 335] 

     2.2 Сетевое планирование в условиях неопределенности

     При определении временных параметров сетевого графика до сих пор предполагалось, что время выполнения каждой работы точно известно. Такое предположение в действительности выполняется редко: система СПУ обычно применяется для планирования сложных разработок, не имевших в прошлом никаких аналогов. Чаще всего продолжительность работы по сетевому графику заранее не известна и может принимать лишь одно из ряда возможных значений. То есть  продолжительность работы t(i,j) является случайной величиной, характеризующей своим законом распределения, а значит, своими числовыми характеристиками  - средним значением, или математическим ожиданием, t(i,j) и дисперсией σ²(i,j).

     Практически во всех системах СПУ априори принимается, что распределение продолжительности  работ обладает тремя свойствами: а) непрерывностью; б) унимодальностью, т.е. наличием единственного максима у кривой распределения; в) двумя точками пересечения кривой распределения с осью Ох, имеющими неотрицательные абсциссы.

     Кроме того, установлено, что распределение  продолжительности работ обладает положительной асимметрией, то есть максимум кривой смещен влево относительно медианы. Распределение, как правило, более круто поднимается при удалении от минимального значения t и полого опускается при приближении к максимальному значению t. (рис. 3).

     Простейшим  распределением с подобными свойствами является известное в математической статике β-распределение . Анализ большого числа статистических данных показывает, что β-распределение можно использовать в качестве априорного для всех работ.

     Для определения числовых характеристик  t(i,j) и σ²(i,j) этого распределения для работы (i,j) на основании опроса ответственных исполнителей проекта и экспертов определяют три временные оценки (рис.3):

1) оптимистическую  оценку t₀(i,j), то есть продолжительность работы (i,j) при самых благоприятных условиях;

2) пессимистическую оценку t_п(i,j), то есть продолжительность работы (i,j) при самых неблагоприятных условиях;

3) наиболее вероятную оценку t_нв(i,j), то есть продолжительность работы (i,j) при нормальных условиях.

     Предположение о β-распределении продолжительности работы (i,j) позволяет получить следующие оценки её числовых характеристик:

t(i,j) = [t₀(i,j)+4t_нв(i,j)+t_п(i,j)]/6,